Номер 717, страница 179 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

717. Угол между диагональю АС₁ прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ и каждым из рёбер AB и AD равен 60°. Найдите ∠CAC₁.

Пусть дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Обозначим длины его рёбер, выходящих из вершины $A$, как $AB = a$, $AD = b$ и $AA_1 = c$. Длину главной диагонали $AC_1$ обозначим как $d$.

Рассмотрим угол между диагональю $AC_1$ и ребром $AB$. Ребро $AB$ перпендикулярно грани $BCC_1B_1$, так как оно перпендикулярно двум пересекающимся прямым в этой плоскости: $BC$ (как стороны прямоугольника $ABCD$) и $BB_1$ (как боковое ребро, перпендикулярное основанию). Так как отрезок $BC_1$ лежит в плоскости $BCC_1B_1$, то ребро $AB$ перпендикулярно $BC_1$. Следовательно, треугольник $\triangle ABC_1$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $B$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle ABC_1$ косинус угла $\angle C_1AB$ равен отношению прилежащего катета $AB$ к гипотенузе $AC_1$. По условию, $\angle C_1AB = 60^\circ$. $\cos(\angle C_1AB) = \frac{AB}{AC_1}$ $\cos(60^\circ) = \frac{a}{d}$ Поскольку $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$, мы получаем $\frac{a}{d} = \frac{1}{2}$, откуда $d = 2a$.

Аналогично рассмотрим угол между диагональю $AC_1$ и ребром $AD$. Ребро $AD$ перпендикулярно грани $DCC_1D_1$. Отрезок $DC_1$ лежит в этой грани, значит $AD \perp DC_1$. Таким образом, треугольник $\triangle ADC_1$ — прямоугольный с прямым углом при вершине $D$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle ADC_1$ косинус угла $\angle C_1AD$ равен отношению прилежащего катета $AD$ к гипотенузе $AC_1$. По условию, $\angle C_1AD = 60^\circ$. $\cos(\angle C_1AD) = \frac{AD}{AC_1}$ $\cos(60^\circ) = \frac{b}{d}$ Отсюда $\frac{b}{d} = \frac{1}{2}$, и $d = 2b$.

Сравнивая два полученных выражения для длины диагонали $d$, имеем $d=2a$ и $d=2b$, из чего следует, что $a=b$. Это означает, что основание параллелепипеда $ABCD$ является квадратом.

Теперь найдём искомый угол $\angle CAC_1$. Рассмотрим треугольник $\triangle ACC_1$. Так как параллелепипед прямоугольный, ребро $CC_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCD$. Следовательно, $CC_1 \perp AC$. Это означает, что треугольник $\triangle ACC_1$ — прямоугольный с прямым углом при вершине $C$.

В этом прямоугольном треугольнике косинус угла $\angle CAC_1$ определяется как отношение прилежащего катета $AC$ к гипотенузе $AC_1$: $\cos(\angle CAC_1) = \frac{AC}{AC_1}$.

Длину диагонали основания $AC$ найдем по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $\triangle ABC$: $AC^2 = AB^2 + BC^2$. Поскольку $a=b$, $BC = AD = a$. $AC^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$, откуда $AC = a\sqrt{2}$.

Длина главной диагонали $AC_1 = d = 2a$. Подставим найденные значения $AC$ и $AC_1$ в формулу для косинуса: $\cos(\angle CAC_1) = \frac{a\sqrt{2}}{2a} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Угол, косинус которого равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$, — это $45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.