Номер 722, страница 185 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

722. Докажите, что при осевой симметрии: а) прямая, параллельная оси, отображается на прямую, параллельную оси; б) прямая, образующая с осью угол φ, отображается на прямую, также образующую с осью угол φ.

а)

Пусть $l$ — ось симметрии, а прямая $a$ параллельна оси $l$ ($a \parallel l$). Осевая симметрия является движением, поэтому она преобразует прямую в прямую. Пусть образом прямой $a$ при симметрии относительно оси $l$ является прямая $a'$.

Так как $a \parallel l$, то все точки прямой $a$ находятся на одинаковом расстоянии от прямой $l$. Обозначим это постоянное расстояние $d$ (где $d > 0$, так как прямая $a$ не совпадает с осью $l$).

По определению осевой симметрии, каждая точка $X$ на прямой $a$ отображается в точку $X'$ так, что ось $l$ является серединным перпендикуляром к отрезку $XX'$. Это означает, что расстояние от точки $X'$ до оси $l$ также равно $d$.

Следовательно, все точки прямой $a'$ (образа прямой $a$) находятся на постоянном расстоянии $d$ от прямой $l$. Геометрическое место точек плоскости, находящихся на заданном расстоянии от данной прямой, есть пара параллельных ей прямых. Поскольку все точки $X'$ лежат в одной полуплоскости относительно $l$ (противоположной той, где лежит прямая $a$), они образуют одну прямую, параллельную $l$. Таким образом, $a' \parallel l$.

Ответ: Утверждение доказано.

б)

Пусть $l$ — ось симметрии, а прямая $a$ образует с осью $l$ угол $\phi$.

Если прямая $a$ параллельна оси $l$, то угол между ними $\phi = 0$. Согласно доказанному в пункте а), образ $a'$ также параллелен оси $l$, и, следовательно, угол между $a'$ и $l$ также равен 0. Утверждение для этого случая верно.

Рассмотрим основной случай, когда прямая $a$ пересекает ось $l$. Пусть точка их пересечения — $O$. Поскольку точка $O$ лежит на оси симметрии, она отображается сама на себя.

Выберем на прямой $a$ произвольную точку $A$, не совпадающую с $O$. Пусть $A'$ — ее образ при симметрии относительно $l$. Тогда образом прямой $a$ (проходящей через $O$ и $A$) будет прямая $a'$, проходящая через точки $O$ и $A'$.

Опустим из точки $A$ перпендикуляр $AH$ на прямую $l$. Точка $H$ лежит на прямой $l$. В прямоугольном треугольнике $\triangle AHO$ угол $\angle AOH$ является одним из углов между прямой $a$ и осью $l$. По условию, его величина равна $\phi$.

По определению осевой симметрии, точка $A'$ симметрична $A$ относительно $l$. Это значит, что $l$ является серединным перпендикуляром к отрезку $AA'$. Следовательно, $AH = A'H$ и $AA' \perp l$, что означает $\angle OHA' = 90^\circ$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle OHA$ и $\triangle OHA'$. У них:
1. Катет $OH$ — общий.
2. Катеты $AH$ и $A'H$ равны по определению симметрии ($AH = A'H$).

Следовательно, $\triangle OHA \cong \triangle OHA'$ по двум катетам. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: $\angle AOH = \angle A'OH$.

Угол $\angle A'OH$ — это угол между образом (прямой $a'$) и осью $l$. Так как $\angle AOH = \phi$, то и $\angle A'OH = \phi$.

Таким образом, в любом случае прямая, образующая с осью угол $\phi$, отображается на прямую, также образующую с осью угол $\phi$.

Ответ: Утверждение доказано.