Номер 729, страница 185 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

729. Докажите, что при движении: а) параллельные прямые отображаются на параллельные прямые; б) параллельные плоскости отображаются на параллельные плоскости.

Для доказательства обоих утверждений мы воспользуемся определением движения и методом доказательства от противного.

Движение (или изометрия) — это преобразование пространства, которое сохраняет расстояние между точками. Ключевые свойства движения, которые нам понадобятся:

• Движение является взаимно-однозначным отображением (биекцией). Это значит, что каждая точка пространства имеет единственный образ, и каждая точка является образом единственной точки-прообраза.
• При движении образом прямой является прямая.
• При движении образом плоскости является плоскость.

а) параллельные прямые отображаются на параллельные прямые

Пусть даны две параллельные прямые $a$ и $b$. По определению, они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек ($a \parallel b \implies a \cap b = \emptyset$). Пусть $f$ — некоторое движение. Нам нужно доказать, что их образы — прямые $a' = f(a)$ и $b' = f(b)$ — также параллельны.

Доказательство проведем методом от противного. Предположим, что прямые $a'$ и $b'$ не параллельны.

Поскольку исходные прямые $a$ и $b$ параллельны, они задают единственную плоскость $\pi$. При движении $f$ образом плоскости $\pi$ будет некоторая плоскость $\pi' = f(\pi)$. Так как прямые $a$ и $b$ лежат в плоскости $\pi$, их образы $a'$ и $b'$ будут лежать в плоскости $\pi'$.

Если две прямые ($a'$ и $b'$) лежат в одной плоскости и не параллельны, то они должны пересекаться в некоторой точке. Обозначим эту точку пересечения как $M'$. Таким образом, $M' \in a'$ и $M' \in b'$.

Так как движение $f$ является биекцией, для точки $M'$ существует единственная точка-прообраз $M$ такая, что $f(M) = M'$.

Поскольку $M'$ принадлежит прямой $a'$, её прообраз $M$ должен принадлежать прообразу прямой $a'$, то есть прямой $a$. Итак, $M \in a$.

Аналогично, поскольку $M'$ принадлежит прямой $b'$, её прообраз $M$ должен принадлежать прообразу прямой $b'$, то есть прямой $b$. Итак, $M \in b$.

Из этого следует, что точка $M$ является общей точкой для прямых $a$ и $b$, то есть $a \cap b = \{M\}$. Но это противоречит исходному условию, что прямые $a$ и $b$ параллельны и не пересекаются.

Следовательно, наше предположение о том, что прямые $a'$ и $b'$ не параллельны, было неверным. Значит, они параллельны.

Ответ: Утверждение доказано. При движении параллельные прямые отображаются на параллельные прямые.

б) параллельные плоскости отображаются на параллельные плоскости

Пусть даны две параллельные плоскости $\alpha$ и $\beta$. По определению, они не имеют общих точек ($\alpha \parallel \beta \implies \alpha \cap \beta = \emptyset$). Пусть $f$ — некоторое движение. Нам нужно доказать, что их образы — плоскости $\alpha' = f(\alpha)$ и $\beta' = f(\beta)$ — также параллельны.

Снова воспользуемся методом доказательства от противного. Предположим, что плоскости $\alpha'$ и $\beta'$ не параллельны.

Если две различные плоскости не параллельны, то они пересекаются по прямой. Пусть плоскости $\alpha'$ и $\beta'$ пересекаются по прямой $l'$.

Возьмем на этой прямой $l'$ произвольную точку $M'$. Поскольку точка $M'$ лежит на прямой пересечения, она принадлежит обеим плоскостям: $M' \in \alpha'$ и $M' \in \beta'$.

Так как движение $f$ является взаимно-однозначным отображением, для точки $M'$ существует единственный прообраз — точка $M$ такая, что $f(M) = M'$.

Поскольку точка $M'$ принадлежит плоскости $\alpha'$, её прообраз $M$ должен принадлежать прообразу плоскости $\alpha'$, то есть плоскости $\alpha$. Итак, $M \in \alpha$.

Аналогично, поскольку $M'$ принадлежит плоскости $\beta'$, её прообраз $M$ должен принадлежать прообразу плоскости $\beta'$, то есть плоскости $\beta$. Итак, $M \in \beta$.

Получается, что точка $M$ является общей для плоскостей $\alpha$ и $\beta$. Это означает, что плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются, что противоречит исходному условию их параллельности.

Следовательно, наше предположение о том, что плоскости $\alpha'$ и $\beta'$ не параллельны, было неверным. Значит, они параллельны.

Ответ: Утверждение доказано. При движении параллельные плоскости отображаются на параллельные плоскости.