Номер 730, страница 185 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

730. Докажите, что при движении: а) окружность отображается на окружность того же радиуса; б) прямоугольный параллелепипед отображается на прямоугольный параллелепипед с теми же измерениями.

Движение (или изометрия) — это преобразование пространства, сохраняющее расстояние между любыми двумя точками. То есть, если $f$ — это движение, а $A$ и $B$ — две произвольные точки, то расстояние между их образами $A' = f(A)$ и $B' = f(B)$ равно расстоянию между исходными точками: $d(A', B') = d(A, B)$.

a) Докажем, что при движении окружность отображается на окружность того же радиуса.

Окружность — это множество всех точек плоскости, удаленных от данной точки (центра $O$) на заданное расстояние (радиус $R$). То есть для любой точки $M$ на окружности выполняется равенство $d(O, M) = R$.

Пусть дана окружность $C$ с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Пусть $f$ — произвольное движение. Применим это движение к нашей окружности. Образом центра $O$ будет точка $O' = f(O)$. Образом произвольной точки $M$, принадлежащей окружности $C$, будет точка $M' = f(M)$.

Так как движение сохраняет расстояния, то расстояние между образами $O'$ и $M'$ будет равно расстоянию между исходными точками $O$ и $M$:
$d(O', M') = d(f(O), f(M)) = d(O, M) = R$.

Это равенство показывает, что любая точка $M'$ образа исходной окружности находится на расстоянии $R$ от точки $O'$. Множество всех таких точек по определению является окружностью с центром в точке $O'$ и тем же радиусом $R$.

Чтобы доказать, что образом является вся новая окружность, покажем, что любая точка на ней является образом некоторой точки исходной окружности. Пусть $P'$ — произвольная точка на окружности с центром $O'$ и радиусом $R$. У движения $f$ существует обратное преобразование $f^{-1}$, которое также является движением. Применив $f^{-1}$ к $P'$, получим точку $P = f^{-1}(P')$. Расстояние от $P$ до центра $O = f^{-1}(O')$ будет равно $d(O, P) = d(f^{-1}(O'), f^{-1}(P')) = d(O', P') = R$. Это означает, что точка $P$ лежит на исходной окружности, а точка $P' = f(P)$ является её образом.

Таким образом, движение отображает окружность на окружность с тем же радиусом.

Ответ: Движение сохраняет расстояния. Окружность определяется как множество точек, равноудаленных от центра. Образ центра при движении становится центром новой фигуры, а расстояние от него до образа любой точки окружности (радиус) остается неизменным. Таким образом, образом окружности является окружность того же радиуса.

б) Докажем, что при движении прямоугольный параллелепипед отображается на прямоугольный параллелепипед с теми же измерениями.

Прямоугольный параллелепипед — это многогранник, все шесть граней которого являются прямоугольниками. Его измерения — это длины трех ребер, выходящих из одной вершины. Пусть из вершины $A$ выходят три взаимно перпендикулярных ребра $AB$, $AD$ и $AA_1$, длины которых равны $a$, $b$ и $c$ соответственно. Это значит, что $d(A, B) = a$, $d(A, D) = b$, $d(A, A_1) = c$, и углы $\angle DAB$, $\angle BAA_1$, $\angle DAA_1$ равны $90^\circ$.

Пусть $f$ — произвольное движение. Применим его к параллелепипеду. Образом всего параллелепипеда будет фигура, вершинами которой являются образы его вершин: $A' = f(A)$, $B' = f(B)$, $D' = f(D)$, $A_1' = f(A_1)$ и т.д.

1. Сохранение измерений. Так как движение сохраняет расстояния, длины ребер образа будут равны длинам исходных ребер:
$d(A', B') = d(A, B) = a$
$d(A', D') = d(A, D) = b$
$d(A', A_1') = d(A, A_1) = c$
Следовательно, три ребра, выходящие из вершины $A'$, имеют те же длины $a, b, c$, что и у исходного параллелепипеда. Это означает, что измерения фигуры сохраняются.

2. Сохранение формы. Одним из ключевых свойств движения является то, что оно сохраняет углы. Поскольку исходные ребра $AB$, $AD$ и $AA_1$ были взаимно перпендикулярны (образуя углы $90^\circ$), их образы $A'B'$, $A'D'$ и $A'A_1'$ также будут взаимно перпендикулярны.

Это означает, что фигура, полученная в результате движения, также является прямоугольным параллелепипедом. Каждая грань исходного параллелепипеда — это прямоугольник. Так как движение сохраняет длины сторон и углы, каждая грань-образ также будет прямоугольником с теми же размерами. Таким образом, образ всего тела — это многогранник, все шесть граней которого являются прямоугольниками, то есть прямоугольный параллелепипед.

Ответ: Движение сохраняет расстояния между точками и углы между отрезками. Поэтому длины ребер (измерения) параллелепипеда сохраняются. Прямые углы между ребрами и в гранях также сохраняются. В результате образом прямоугольного параллелепипеда является фигура, у которой все грани — прямоугольники, а измерения равны измерениям исходной фигуры, то есть это прямоугольный параллелепипед с теми же измерениями.