Номер 3, страница 186 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы к главе 7. Глава 7. Метод координат в пространстве. Движения - номер 3, страница 186.

3. Даны точки А(2; 4; 5), В(3; х; у), С(0; 4; z) и D(5; t; u). При каких значениях х, у, z, t и u эти точки лежат: а) в плоскости, па-раллельной плоскости Оху; б) в плоскости, параллельной плоскости Охz; в) на прямой, параллельной оси Ох?

а)

Плоскость, параллельная координатной плоскости Oxy, задается уравнением вида $z = c$, где $c$ — константа. Это означает, что все точки, лежащие в такой плоскости, должны иметь одинаковую аппликату (координату $z$). Из координат точки A(2; 4; 5) мы определяем, что значение этой константы для искомой плоскости равно 5. Следовательно, все четыре точки должны иметь аппликату, равную 5.

Рассмотрим остальные точки:

• Для точки B(3; x; y) аппликата (координата $z$) равна $y$. Следовательно, должно выполняться равенство $y = 5$.
• Для точки C(0; 4; z) аппликата равна $z$. Следовательно, $z = 5$.
• Для точки D(5; t; u) аппликата равна $u$. Следовательно, $u = 5$.

Переменные $x$ и $t$ определяют ординаты (координаты $y$) точек B и D соответственно. Их значения не влияют на принадлежность точек плоскости $z=5$, поэтому они могут быть любыми действительными числами.

Ответ: $y = 5, z = 5, u = 5$. Значения $x$ и $t$ могут быть любыми.

б)

Плоскость, параллельная координатной плоскости Oxz, задается уравнением вида $y = c$, где $c$ — константа. Это означает, что все точки, лежащие в такой плоскости, должны иметь одинаковую ординату (координату $y$). Из координат точки A(2; 4; 5) мы определяем, что значение этой константы равно 4. Следовательно, все четыре точки должны иметь ординату, равную 4.

Рассмотрим остальные точки:

• Для точки B(3; x; y) ордината (координата $y$) равна $x$. Следовательно, должно выполняться равенство $x = 4$.
• Для точки C(0; 4; z) ордината равна 4, что уже соответствует условию.
• Для точки D(5; t; u) ордината равна $t$. Следовательно, $t = 4$.

Переменные $y, z, u$ определяют аппликаты (координаты $z$) точек B, C и D. Их значения не влияют на принадлежность точек плоскости $y=4$, поэтому они могут быть любыми действительными числами.

Ответ: $x = 4, t = 4$. Значения $y, z$ и $u$ могут быть любыми.

в)

Прямая, параллельная оси абсцисс (оси Ox), характеризуется тем, что все ее точки имеют постоянные ординату (координату $y$) и аппликату (координату $z$). То есть, для всех точек на такой прямой $y = c_1$ и $z = c_2$, где $c_1$ и $c_2$ — константы. Из координат точки A(2; 4; 5) мы определяем, что для искомой прямой $c_1 = 4$ и $c_2 = 5$. Следовательно, все четыре точки должны иметь ординату 4 и аппликату 5.

Применим эти условия к остальным точкам:

• Для точки B(3; x; y): ордината $x$ должна быть равна 4 ($x=4$), а аппликата $y$ должна быть равна 5 ($y=5$).
• Для точки C(0; 4; z): ордината уже равна 4, а аппликата $z$ должна быть равна 5 ($z=5$).
• Для точки D(5; t; u): ордината $t$ должна быть равна 4 ($t=4$), а аппликата $u$ должна быть равна 5 ($u=5$).

Таким образом, все неизвестные координаты однозначно определены.

Ответ: $x = 4, y = 5, z = 5, t = 4, u = 5$.