Номер 8, страница 186 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

8. Длина радиус-вектора точки М равна 1. Может ли абсцисса точки М равняться: а) 1; б) 2?

Пусть точка $M$ имеет координаты $(x, y, z)$ в трехмерном пространстве (или $(x, y)$ в двумерном). Радиус-вектор точки $M$ — это вектор $\vec{OM}$, идущий из начала координат $O(0, 0, 0)$ в точку $M$. Координаты радиус-вектора совпадают с координатами точки $M$.

Длина (модуль) радиус-вектора $|\vec{OM}|$ вычисляется по формуле $|\vec{OM}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ (в предположении трехмерного пространства, для двумерного результат будет аналогичным).

По условию задачи, длина радиус-вектора равна 1. Следовательно, мы имеем уравнение: $\sqrt{x^2 + y^2 + z^2} = 1$

Возведя обе части уравнения в квадрат, получим: $x^2 + y^2 + z^2 = 1$

Это уравнение сферы с центром в начале координат и радиусом 1. Абсцисса точки $M$ — это ее координата $x$. Нам нужно проверить, может ли координата $x$ точки, лежащей на этой сфере, принимать заданные значения. Геометрически это означает, что значение абсциссы любой точки на единичной сфере не может превышать ее радиус, то есть $|x| \le 1$.

а) 1

Проверим, может ли абсцисса быть равной 1. Подставим значение $x = 1$ в уравнение сферы $x^2 + y^2 + z^2 = 1$: $1^2 + y^2 + z^2 = 1$ $1 + y^2 + z^2 = 1$ $y^2 + z^2 = 0$

Поскольку квадраты любых действительных чисел не могут быть отрицательными ($y^2 \ge 0$ и $z^2 \ge 0$), их сумма равна нулю только в том случае, если каждое слагаемое равно нулю. То есть, $y^2 = 0$ и $z^2 = 0$, откуда следует, что $y = 0$ и $z = 0$.

Таким образом, существует точка $M$ с координатами $(1, 0, 0)$, для которой длина радиус-вектора равна 1. Следовательно, абсцисса точки $M$ может равняться 1.

Ответ: да, может.

б) 2

Проверим, может ли абсцисса быть равной 2. Подставим значение $x = 2$ в уравнение сферы $x^2 + y^2 + z^2 = 1$: $2^2 + y^2 + z^2 = 1$ $4 + y^2 + z^2 = 1$ $y^2 + z^2 = 1 - 4$ $y^2 + z^2 = -3$

Сумма квадратов действительных чисел $y^2 + z^2$ всегда неотрицательна. Уравнение $y^2 + z^2 = -3$ не имеет решений в действительных числах. Это означает, что не существует точки на сфере с радиусом 1, у которой абсцисса была бы равна 2.

Ответ: нет, не может.