Номер 10, страница 186 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

10. Абсцисса точки М₁ равна 3, а абсцисса точки М₂ равна 6. а) Может ли длина отрезка М₁М₂ быть равной 2? б) Как расположен отрезок М₁М₂ по отношению к оси Ох, если его длина равна 3?

а)

Пусть координаты точек будут $M_1(x_1, y_1)$ и $M_2(x_2, y_2)$. По условию задачи, абсцисса точки $M_1$ равна 3 ($x_1 = 3$), а абсцисса точки $M_2$ равна 6 ($x_2 = 6$).

Длина отрезка $M_1M_2$ (обозначим ее $d$) вычисляется по формуле расстояния между двумя точками на плоскости:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Подставим известные значения абсцисс в эту формулу:

$d = \sqrt{(6 - 3)^2 + (y_2 - y_1)^2} = \sqrt{3^2 + (y_2 - y_1)^2} = \sqrt{9 + (y_2 - y_1)^2}$

Теперь проверим, может ли длина отрезка быть равной 2. Для этого подставим $d = 2$ в полученное выражение:

$2 = \sqrt{9 + (y_2 - y_1)^2}$

Чтобы решить это уравнение, возведем обе его части в квадрат:

$2^2 = (\sqrt{9 + (y_2 - y_1)^2})^2$

$4 = 9 + (y_2 - y_1)^2$

Выразим $(y_2 - y_1)^2$:

$(y_2 - y_1)^2 = 4 - 9$

$(y_2 - y_1)^2 = -5$

Квадрат любого действительного числа (в данном случае разности ординат $y_2 - y_1$) не может быть отрицательным числом. Поскольку мы получили, что квадрат разности ординат равен -5, данное уравнение не имеет действительных решений.

С геометрической точки зрения, длина проекции отрезка $M_1M_2$ на ось Ox равна $|x_2 - x_1| = |6 - 3| = 3$. Длина самого отрезка не может быть меньше длины его проекции на любую из осей. Так как $2 < 3$, длина отрезка $M_1M_2$ не может быть равна 2.

Ответ: Нет, не может.

б)

В этом пункте известно, что длина отрезка $M_1M_2$ равна 3, то есть $d = 3$.

Воспользуемся формулой для длины отрезка, полученной в пункте а):

$d = \sqrt{9 + (y_2 - y_1)^2}$

Подставим в нее значение $d = 3$:

$3 = \sqrt{9 + (y_2 - y_1)^2}$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$3^2 = 9 + (y_2 - y_1)^2$

$9 = 9 + (y_2 - y_1)^2$

Отсюда следует:

$(y_2 - y_1)^2 = 0$

$y_2 - y_1 = 0$

$y_2 = y_1$

Равенство ординат ($y_1 = y_2$) означает, что обе точки $M_1$ и $M_2$ лежат на одной горизонтальной прямой. Любая горизонтальная прямая в декартовой системе координат параллельна оси абсцисс (оси Ox). Таким образом, отрезок $M_1M_2$, соединяющий эти две точки, расположен параллельно оси Ox. (В частном случае, если $y_1 = y_2 = 0$, отрезок лежит на самой оси Ox).

Ответ: Отрезок $M_1M_2$ параллелен оси Ox.