Номер 11, страница 186 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

11. Векторы a и b имеют длины a и b. Чему равно скалярное произведение векторов a и b, если: а) векторы a и b сонаправлены; б) векторы a и b противоположно направлены; в) векторы a и b перпендикулярны; г) угол между векторами a и b равен 60°; д) угол между векторами a и b равен 120°?

Скалярное произведение двух векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ определяется как произведение их длин (модулей) на косинус угла между ними. Формула скалярного произведения:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\alpha)$

В данной задаче нам дано, что длины векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равны $a$ и $b$ соответственно, то есть $|\vec{a}| = a$ и $|\vec{b}| = b$. Подставив эти значения в формулу, получаем:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = a \cdot b \cdot \cos(\alpha)$

Теперь найдём скалярное произведение для каждого из предложенных случаев.

а) векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ сонаправлены

Если векторы сонаправлены, угол $\alpha$ между ними равен $0^\circ$. Так как $\cos(0^\circ) = 1$, скалярное произведение равно:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = a \cdot b \cdot \cos(0^\circ) = a \cdot b \cdot 1 = ab$

Ответ: $ab$.

б) векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ противоположно направлены

Если векторы направлены в противоположные стороны, угол $\alpha$ между ними равен $180^\circ$. Так как $\cos(180^\circ) = -1$, получаем:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = a \cdot b \cdot \cos(180^\circ) = a \cdot b \cdot (-1) = -ab$

Ответ: $-ab$.

в) векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ перпендикулярны

Если векторы перпендикулярны, угол $\alpha$ между ними равен $90^\circ$. Так как $\cos(90^\circ) = 0$, получаем:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = a \cdot b \cdot \cos(90^\circ) = a \cdot b \cdot 0 = 0$

Ответ: $0$.

г) угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равен $60^\circ$

В этом случае $\alpha = 60^\circ$. Так как $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$, скалярное произведение равно:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = a \cdot b \cdot \cos(60^\circ) = a \cdot b \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}ab$

Ответ: $\frac{1}{2}ab$.

д) угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равен $120^\circ$

В этом случае $\alpha = 120^\circ$. Так как $\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}$, скалярное произведение равно:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = a \cdot b \cdot \cos(120^\circ) = a \cdot b \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{2}ab$

Ответ: $-\frac{1}{2}ab$.