Страница 186 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

1. Как расположена точка относительно прямоугольной системы координат, если: а) одна её координата равна нулю; б) две её координаты равны нулю?

а)

Для определения положения точки рассмотрим прямоугольную систему координат. В общем случае, в трехмерном пространстве, положение точки $M$ задается тремя координатами $(x, y, z)$. Три координатные оси ($Ox$, $Oy$, $Oz$) образуют три взаимно перпендикулярные координатные плоскости: плоскость $Oxy$ (уравнение $z=0$), плоскость $Oxz$ (уравнение $y=0$) и плоскость $Oyz$ (уравнение $x=0$).

Если одна из координат точки равна нулю, это означает, что точка принадлежит одной из этих координатных плоскостей.

Например:

• Если координата $x=0$, то точка $M(0, y, z)$ лежит в плоскости $Oyz$.
• Если координата $y=0$, то точка $M(x, 0, z)$ лежит в плоскости $Oxz$.
• Если координата $z=0$, то точка $M(x, y, 0)$ лежит в плоскости $Oxy$.

В более простом случае, на двумерной плоскости, точка имеет две координаты $(x, y)$. Если одна из них равна нулю, например $x=0$, то точка $(0, y)$ лежит на оси ординат $Oy$. Если $y=0$, то точка $(x, 0)$ лежит на оси абсцисс $Ox$. То есть, в двумерном случае точка будет лежать на одной из координатных осей.

Ответ: Если одна из координат точки равна нулю, то в трехмерном пространстве точка лежит в одной из координатных плоскостей, а в двумерном пространстве — на одной из координатных осей.

б)

Рассмотрим положение точки, у которой две координаты равны нулю.

В трехмерной системе координат точка $M(x, y, z)$ при равенстве нулю двух координат будет лежать на одной из координатных осей. Координатная ось является линией пересечения двух координатных плоскостей.

Например:

• Если $y=0$ и $z=0$, то точка $M(x, 0, 0)$ лежит на оси абсцисс $Ox$.
• Если $x=0$ и $z=0$, то точка $M(0, y, 0)$ лежит на оси ординат $Oy$.
• Если $x=0$ и $y=0$, то точка $M(0, 0, z)$ лежит на оси аппликат $Oz$.

В случае двумерной системы координат точка имеет всего две координаты $(x, y)$. Если обе они равны нулю, то точка $M(0, 0)$ совпадает с началом координат.

Ответ: Если две координаты точки равны нулю, то в трехмерном пространстве точка лежит на одной из координатных осей. В двумерной системе координат такая точка является началом координат.

2. Объясните, почему все точки, лежащие на прямой, параллельной плоскости Оху, имеют одну и ту же аппликату.

Рассмотрим прямоугольную систему координат Oxyz. Плоскость Oxy — это координатная плоскость, которая задается уравнением $z=0$. Это означает, что любая точка, лежащая в плоскости Oxy, имеет аппликату (координату z), равную нулю. Вектор, перпендикулярный (нормальный) к плоскости Oxy, — это единичный вектор оси Oz, который можно записать как $\vec{k}=(0, 0, 1)$.

Пусть у нас есть прямая $l$, параллельная плоскости Oxy. Прямая в пространстве задается точкой $M_0(x_0, y_0, z_0)$, через которую она проходит, и своим направляющим вектором $\vec{a}=(a_x, a_y, a_z)$.

По определению, если прямая параллельна плоскости, то ее направляющий вектор перпендикулярен вектору нормали к этой плоскости. В нашем случае это означает, что направляющий вектор $\vec{a}$ прямой $l$ должен быть перпендикулярен вектору нормали $\vec{k}$ к плоскости Oxy.

Условием перпендикулярности двух векторов является равенство нулю их скалярного произведения:
$\vec{a} \cdot \vec{k} = 0$

Вычислим это скалярное произведение:
$\vec{a} \cdot \vec{k} = (a_x, a_y, a_z) \cdot (0, 0, 1) = a_x \cdot 0 + a_y \cdot 0 + a_z \cdot 1 = a_z$.

Так как скалярное произведение должно быть равно нулю, мы получаем, что $a_z=0$. Это означает, что третья координата (аппликата) направляющего вектора прямой $l$ равна нулю.

Параметрические уравнения прямой $l$, проходящей через точку $M_0(x_0, y_0, z_0)$ с направляющим вектором $\vec{a}=(a_x, a_y, a_z)$, имеют вид:
$x = x_0 + a_x t$
$y = y_0 + a_y t$
$z = z_0 + a_z t$
где $t$ — это параметр, определяющий положение точки на прямой.

Поскольку мы установили, что для прямой, параллельной плоскости Oxy, координата $a_z=0$, уравнение для аппликаты любой точки на этой прямой принимает вид:
$z = z_0 + 0 \cdot t = z_0$.

Это уравнение показывает, что для любого значения параметра $t$ (то есть для любой точки на прямой $l$) аппликата $z$ будет постоянной и равной $z_0$ — аппликате точки $M_0$, через которую проходит прямая.

Таким образом, все точки прямой имеют одну и ту же аппликату.

Ответ: Прямая параллельна плоскости Oxy тогда и только тогда, когда ее направляющий вектор перпендикулярен вектору нормали к плоскости Oxy, то есть вектору $\vec{k}=(0, 0, 1)$. Это означает, что z-координата направляющего вектора прямой равна нулю. Следовательно, при движении вдоль такой прямой изменяются только координаты x и y, в то время как координата z (аппликата) остается постоянной для всех точек этой прямой.

3. Даны точки А(2; 4; 5), В(3; х; у), С(0; 4; z) и D(5; t; u). При каких значениях х, у, z, t и u эти точки лежат: а) в плоскости, па-раллельной плоскости Оху; б) в плоскости, параллельной плоскости Охz; в) на прямой, параллельной оси Ох?

Плоскость, параллельная координатной плоскости Oxy, задается уравнением вида $z = c$, где $c$ — константа. Это означает, что все точки, лежащие в такой плоскости, должны иметь одинаковую аппликату (координату $z$). Из координат точки A(2; 4; 5) мы определяем, что значение этой константы для искомой плоскости равно 5. Следовательно, все четыре точки должны иметь аппликату, равную 5.

Рассмотрим остальные точки:

• Для точки B(3; x; y) аппликата (координата $z$) равна $y$. Следовательно, должно выполняться равенство $y = 5$.
• Для точки C(0; 4; z) аппликата равна $z$. Следовательно, $z = 5$.
• Для точки D(5; t; u) аппликата равна $u$. Следовательно, $u = 5$.

Переменные $x$ и $t$ определяют ординаты (координаты $y$) точек B и D соответственно. Их значения не влияют на принадлежность точек плоскости $z=5$, поэтому они могут быть любыми действительными числами.

Ответ: $y = 5, z = 5, u = 5$. Значения $x$ и $t$ могут быть любыми.

Плоскость, параллельная координатной плоскости Oxz, задается уравнением вида $y = c$, где $c$ — константа. Это означает, что все точки, лежащие в такой плоскости, должны иметь одинаковую ординату (координату $y$). Из координат точки A(2; 4; 5) мы определяем, что значение этой константы равно 4. Следовательно, все четыре точки должны иметь ординату, равную 4.

Рассмотрим остальные точки:

• Для точки B(3; x; y) ордината (координата $y$) равна $x$. Следовательно, должно выполняться равенство $x = 4$.
• Для точки C(0; 4; z) ордината равна 4, что уже соответствует условию.
• Для точки D(5; t; u) ордината равна $t$. Следовательно, $t = 4$.

Переменные $y, z, u$ определяют аппликаты (координаты $z$) точек B, C и D. Их значения не влияют на принадлежность точек плоскости $y=4$, поэтому они могут быть любыми действительными числами.

Ответ: $x = 4, t = 4$. Значения $y, z$ и $u$ могут быть любыми.

Прямая, параллельная оси абсцисс (оси Ox), характеризуется тем, что все ее точки имеют постоянные ординату (координату $y$) и аппликату (координату $z$). То есть, для всех точек на такой прямой $y = c_1$ и $z = c_2$, где $c_1$ и $c_2$ — константы. Из координат точки A(2; 4; 5) мы определяем, что для искомой прямой $c_1 = 4$ и $c_2 = 5$. Следовательно, все четыре точки должны иметь ординату 4 и аппликату 5.

Применим эти условия к остальным точкам:

• Для точки B(3; x; y): ордината $x$ должна быть равна 4 ($x=4$), а аппликата $y$ должна быть равна 5 ($y=5$).
• Для точки C(0; 4; z): ордината уже равна 4, а аппликата $z$ должна быть равна 5 ($z=5$).
• Для точки D(5; t; u): ордината $t$ должна быть равна 4 ($t=4$), а аппликата $u$ должна быть равна 5 ($u=5$).

Таким образом, все неизвестные координаты однозначно определены.

Ответ: $x = 4, y = 5, z = 5, t = 4, u = 5$.

4. Найдите координаты вектора CA, если AB {х₁; у₁; z₁}, BC {х₂; y₂; z₂}.

Для нахождения координат вектора $\vec{CA}$ воспользуемся правилом сложения векторов и свойством противоположных векторов.

Векторы $\vec{AB}$, $\vec{BC}$ и $\vec{AC}$ связаны между собой правилом треугольника (правилом Шаля):

$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC}$

Координаты вектора, полученного в результате сложения, равны сумме соответствующих координат слагаемых векторов. Нам даны координаты векторов $\vec{AB}\{x_1; y_1; z_1\}$ и $\vec{BC}\{x_2; y_2; z_2\}$.

Таким образом, координаты вектора $\vec{AC}$ вычисляются следующим образом:

$\vec{AC} = \{x_1 + x_2; y_1 + y_2; z_1 + z_2\}$

Вектор $\vec{CA}$ является противоположным вектору $\vec{AC}$, что означает $\vec{CA} = -\vec{AC}$. Координаты противоположного вектора равны соответствующим координатам исходного вектора, взятым с противоположным знаком.

Следовательно, для нахождения координат вектора $\vec{CA}$ нужно изменить знак у каждой координаты вектора $\vec{AC}$:

$\vec{CA} = -\{x_1 + x_2; y_1 + y_2; z_1 + z_2\} = \{-(x_1 + x_2); -(y_1 + y_2); -(z_1 + z_2)\}$

Раскрыв скобки, получаем окончательные координаты:

$\vec{CA} = \{-x_1 - x_2; -y_1 - y_2; -z_1 - z_2\}$

Ответ: $\{-x_1 - x_2; -y_1 - y_2; -z_1 - z_2\}$

5. Первая и вторая координаты ненулевого вектора a равны нулю. Как расположен вектор a по отношению к оси: а) Оz; б) Ох; в) Оу?

Пусть вектор $\vec{a}$ задан в трехмерной прямоугольной системе координат своими координатами $(a_x, a_y, a_z)$. Из условия задачи известно, что первая и вторая координаты вектора равны нулю. Это означает, что $a_x = 0$ и $a_y = 0$. Следовательно, вектор $\vec{a}$ имеет вид $(0, 0, a_z)$.

Также дано, что вектор $\vec{a}$ является ненулевым. Модуль (длина) вектора $\vec{a}$ вычисляется по формуле $|\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}$. Поскольку вектор ненулевой, его модуль не равен нулю: $|\vec{a}| \neq 0$. Подставив известные координаты, получаем: $|\vec{a}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + a_z^2} = \sqrt{a_z^2} = |a_z|$. Из условия $|\vec{a}| \neq 0$ следует, что $|a_z| \neq 0$, а значит, третья координата $a_z$ не равна нулю ($a_z \neq 0$).

Теперь определим расположение вектора $\vec{a}=(0, 0, a_z)$ по отношению к координатным осям.

а) по отношению к оси Oz
Направляющим вектором оси $Oz$ является единичный вектор $\vec{k} = (0, 0, 1)$. Вектор $\vec{a}$ можно представить в виде $\vec{a} = (0, 0, a_z) = a_z \cdot (0, 0, 1) = a_z \vec{k}$. Поскольку вектор $\vec{a}$ является произведением скаляра $a_z$ на направляющий вектор оси $Oz$, то вектор $\vec{a}$ коллинеарен (параллелен) оси $Oz$. Если начало вектора $\vec{a}$ находится в начале координат, то он лежит непосредственно на оси $Oz$.
Ответ: Вектор $\vec{a}$ коллинеарен оси $Oz$.

б) по отношению к оси Ox
Направляющим вектором оси $Ox$ является единичный вектор $\vec{i} = (1, 0, 0)$. Чтобы определить взаимное расположение векторов, можно найти их скалярное произведение. Если оно равно нулю, векторы перпендикулярны. $\vec{a} \cdot \vec{i} = (0 \cdot 1) + (0 \cdot 0) + (a_z \cdot 0) = 0 + 0 + 0 = 0$. Так как скалярное произведение равно нулю, вектор $\vec{a}$ перпендикулярен вектору $\vec{i}$, а значит, и всей оси $Ox$.
Ответ: Вектор $\vec{a}$ перпендикулярен оси $Ox$.

в) по отношению к оси Oy
Направляющим вектором оси $Oy$ является единичный вектор $\vec{j} = (0, 1, 0)$. Найдем скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{j}$: $\vec{a} \cdot \vec{j} = (0 \cdot 0) + (0 \cdot 1) + (a_z \cdot 0) = 0 + 0 + 0 = 0$. Скалярное произведение равно нулю, следовательно, вектор $\vec{a}$ перпендикулярен вектору $\vec{j}$ и всей оси $Oy$.
Ответ: Вектор $\vec{a}$ перпендикулярен оси $Oy$.

6. Первая координата ненулевого вектора a равна нулю. Как расположен вектор a по отношению: а) к плоскости Охz; б) к оси Ох?

Пусть в прямоугольной декартовой системе координат задан ненулевой вектор $\vec{a}$ с координатами $(a_x, a_y, a_z)$. Согласно условию задачи, первая координата вектора равна нулю, то есть $a_x = 0$. Таким образом, вектор имеет вид $\vec{a} = (0, a_y, a_z)$. Поскольку вектор ненулевой, его модуль отличен от нуля: $|\vec{a}| = \sqrt{0^2 + a_y^2 + a_z^2} \neq 0$. Это означает, что по крайней мере одна из координат $a_y$ или $a_z$ не равна нулю.

Плоскость $Oxz$ — это координатная плоскость, которая проходит через оси $Ox$ и $Oz$. Уравнение этой плоскости $y=0$. Все векторы, параллельные этой плоскости, имеют нулевую вторую координату ($y$-координату). Векторы, перпендикулярные этой плоскости, коллинеарны оси $Oy$. Рассмотрим возможные случаи расположения вектора $\vec{a}=(0, a_y, a_z)$ по отношению к плоскости $Oxz$.

1. Если $a_y = 0$, то, так как $\vec{a}$ — ненулевой вектор, $a_z \neq 0$. Вектор имеет координаты $\vec{a} = (0, 0, a_z)$. Этот вектор коллинеарен (параллелен) оси $Oz$. Поскольку ось $Oz$ целиком лежит в плоскости $Oxz$, то вектор $\vec{a}$ в этом случае параллелен плоскости $Oxz$.

2. Если $a_z = 0$, то, так как $\vec{a}$ — ненулевой вектор, $a_y \neq 0$. Вектор имеет координаты $\vec{a} = (0, a_y, 0)$. Этот вектор коллинеарен оси $Oy$. Ось $Oy$ перпендикулярна плоскости $Oxz$. Следовательно, в этом случае вектор $\vec{a}$ перпендикулярен плоскости $Oxz$.

3. Если $a_y \neq 0$ и $a_z \neq 0$, вектор $\vec{a} = (0, a_y, a_z)$ не параллелен и не перпендикулярен плоскости $Oxz$. Он образует с этой плоскостью некоторый угол, отличный от $0^\circ$ и $90^\circ$. Вектор $\vec{a}$ можно представить в виде суммы $\vec{a} = a_y\vec{j} + a_z\vec{k}$, где $\vec{j}=(0,1,0)$ и $\vec{k}=(0,0,1)$ — орты осей $Oy$ и $Oz$. Это означает, что вектор $\vec{a}$ лежит в плоскости, параллельной координатной плоскости $Oyz$. Плоскость $Oyz$ (уравнение $x=0$) перпендикулярна плоскости $Oxz$ (уравнение $y=0$), так как их нормальные векторы $\vec{n}_1=(1,0,0)$ и $\vec{n}_2=(0,1,0)$ ортогональны.

Таким образом, расположение вектора $\vec{a}$ относительно плоскости $Oxz$ зависит от его координат $a_y$ и $a_z$.

Ответ: Расположение вектора $\vec{a}$ относительно плоскости $Oxz$ зависит от его второй и третьей координат. Если вторая координата равна нулю ($a_y=0$), вектор параллелен плоскости $Oxz$. Если третья координата равна нулю ($a_z=0$), вектор перпендикулярен плоскости $Oxz$. Если обе эти координаты отличны от нуля, то вектор не параллелен и не перпендикулярен плоскости $Oxz$, но во всех случаях он лежит в плоскости (параллельной плоскости $Oyz$), которая перпендикулярна плоскости $Oxz$.

Ось $Ox$ — это координатная ось, направляющим вектором которой является орт $\vec{i} = (1, 0, 0)$. Чтобы определить взаимное расположение вектора $\vec{a} = (0, a_y, a_z)$ и оси $Ox$, найдем их скалярное произведение. Скалярное произведение двух векторов равно нулю тогда и только тогда, когда векторы перпендикулярны (ортогональны).

Вычислим скалярное произведение: $\vec{a} \cdot \vec{i} = (0, a_y, a_z) \cdot (1, 0, 0) = 0 \cdot 1 + a_y \cdot 0 + a_z \cdot 0 = 0$.

Так как скалярное произведение равно нулю, вектор $\vec{a}$ перпендикулярен вектору $\vec{i}$, а значит, и всей оси $Ox$.

Ответ: Вектор $\vec{a}$ перпендикулярен оси $Ox$.

7. Коллинеарны ли векторы:

Два ненулевых вектора коллинеарны, если их соответствующие координаты пропорциональны. То есть для векторов $\vec{a}\{x_1; y_1; z_1\}$ и $\vec{b}\{x_2; y_2; z_2\}$ должно существовать такое число $k$, что $x_2 = k \cdot x_1$, $y_2 = k \cdot y_1$, и $z_2 = k \cdot z_1$. Это условие можно проверить, сравнив отношения соответствующих координат:

$\frac{x_2}{x_1} = \frac{y_2}{y_1} = \frac{z_2}{z_1}$

(Если ни одна из координат вектора $\vec{a}$ не равна нулю).

а) Даны векторы $\vec{a}\{-5; 3; -1\}$ и $\vec{b}\{6; -10; -2\}$.

Проверим пропорциональность их координат, найдя отношения:

Отношение первых координат: $\frac{6}{-5} = -1,2$

Отношение вторых координат: $\frac{-10}{3} = -3\frac{1}{3}$

Отношение третьих координат: $\frac{-2}{-1} = 2$

Поскольку отношения координат не равны друг другу ($-1,2 \neq -3\frac{1}{3} \neq 2$), векторы не являются коллинеарными.

Ответ: не коллинеарны.

б) Даны векторы $\vec{a}\{-2; 3; 7\}$ и $\vec{b}\{-1; 1,5; 3,5\}$.

Проверим пропорциональность их координат:

Отношение первых координат: $\frac{-1}{-2} = 0,5$

Отношение вторых координат: $\frac{1,5}{3} = 0,5$

Отношение третьих координат: $\frac{3,5}{7} = 0,5$

Так как все три отношения равны одному и тому же числу ($k=0,5$), то координаты векторов пропорциональны. Следовательно, векторы коллинеарны.

Ответ: коллинеарны.

8. Длина радиус-вектора точки М равна 1. Может ли абсцисса точки М равняться: а) 1; б) 2?

Пусть точка $M$ имеет координаты $(x, y, z)$ в трехмерном пространстве (или $(x, y)$ в двумерном). Радиус-вектор точки $M$ — это вектор $\vec{OM}$, идущий из начала координат $O(0, 0, 0)$ в точку $M$. Координаты радиус-вектора совпадают с координатами точки $M$.

Длина (модуль) радиус-вектора $|\vec{OM}|$ вычисляется по формуле $|\vec{OM}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ (в предположении трехмерного пространства, для двумерного результат будет аналогичным).

По условию задачи, длина радиус-вектора равна 1. Следовательно, мы имеем уравнение: $\sqrt{x^2 + y^2 + z^2} = 1$

Возведя обе части уравнения в квадрат, получим: $x^2 + y^2 + z^2 = 1$

Это уравнение сферы с центром в начале координат и радиусом 1. Абсцисса точки $M$ — это ее координата $x$. Нам нужно проверить, может ли координата $x$ точки, лежащей на этой сфере, принимать заданные значения. Геометрически это означает, что значение абсциссы любой точки на единичной сфере не может превышать ее радиус, то есть $|x| \le 1$.

а) 1

Проверим, может ли абсцисса быть равной 1. Подставим значение $x = 1$ в уравнение сферы $x^2 + y^2 + z^2 = 1$: $1^2 + y^2 + z^2 = 1$ $1 + y^2 + z^2 = 1$ $y^2 + z^2 = 0$

Поскольку квадраты любых действительных чисел не могут быть отрицательными ($y^2 \ge 0$ и $z^2 \ge 0$), их сумма равна нулю только в том случае, если каждое слагаемое равно нулю. То есть, $y^2 = 0$ и $z^2 = 0$, откуда следует, что $y = 0$ и $z = 0$.

Таким образом, существует точка $M$ с координатами $(1, 0, 0)$, для которой длина радиус-вектора равна 1. Следовательно, абсцисса точки $M$ может равняться 1.

Ответ: да, может.

б) 2

Проверим, может ли абсцисса быть равной 2. Подставим значение $x = 2$ в уравнение сферы $x^2 + y^2 + z^2 = 1$: $2^2 + y^2 + z^2 = 1$ $4 + y^2 + z^2 = 1$ $y^2 + z^2 = 1 - 4$ $y^2 + z^2 = -3$

Сумма квадратов действительных чисел $y^2 + z^2$ всегда неотрицательна. Уравнение $y^2 + z^2 = -3$ не имеет решений в действительных числах. Это означает, что не существует точки на сфере с радиусом 1, у которой абсцисса была бы равна 2.

Ответ: нет, не может.

9. Длина вектора a равна 3. Может ли одна из координат вектора a равняться: а) 3; б) 5?

Длина (или модуль) вектора $\vec{a}$ с координатами $(x_1, x_2, ..., x_n)$ вычисляется по формуле: $|\vec{a}| = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2}$. По условию задачи, длина вектора $|\vec{a}| = 3$. Возведя обе части в квадрат, получаем уравнение, связывающее координаты вектора: $x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2 = 3^2 = 9$. Рассмотрим каждый случай отдельно.

а)

Предположим, что одна из координат, например $x_1$, равна 3. Подставим это значение в уравнение для квадрата длины вектора:

$3^2 + x_2^2 + ... + x_n^2 = 9$

$9 + x_2^2 + ... + x_n^2 = 9$

Вычитая 9 из обеих частей, получаем:

$x_2^2 + ... + x_n^2 = 0$

Поскольку квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной ($x_i^2 \ge 0$), сумма квадратов может быть равна нулю только в том случае, если каждое слагаемое равно нулю. То есть, $x_2 = 0, x_3 = 0, ..., x_n = 0$.

Это означает, что существует такой вектор. Например, в трехмерном пространстве это вектор $\vec{a} = (3, 0, 0)$ или $\vec{a} = (0, 3, 0)$. Длина такого вектора будет равна $\sqrt{3^2 + 0^2 + 0^2} = \sqrt{9} = 3$, что соответствует условию. Следовательно, одна из координат вектора $\vec{a}$ может быть равна 3.

Ответ: Да, может.

б)

Предположим, что одна из координат, например $x_1$, равна 5. Подставим это значение в уравнение для квадрата длины вектора:

$5^2 + x_2^2 + ... + x_n^2 = 9$

$25 + x_2^2 + ... + x_n^2 = 9$

Выразим сумму квадратов остальных координат:

$x_2^2 + ... + x_n^2 = 9 - 25$

$x_2^2 + ... + x_n^2 = -16$

Сумма квадратов действительных чисел не может быть отрицательным числом. Мы получили противоречие. Следовательно, наше предположение о том, что координата может быть равна 5, неверно.

В качестве альтернативного рассуждения можно заметить, что для любой координаты $x_i$ должно выполняться неравенство $x_i^2 \le x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2$. В нашем случае $x_i^2 \le 9$, что эквивалентно $|x_i| \le 3$. Координата, равная 5, не удовлетворяет этому условию, так как $|5| = 5 > 3$.

Ответ: Нет, не может.

10. Абсцисса точки М₁ равна 3, а абсцисса точки М₂ равна 6. а) Может ли длина отрезка М₁М₂ быть равной 2? б) Как расположен отрезок М₁М₂ по отношению к оси Ох, если его длина равна 3?

а)

Пусть координаты точек будут $M_1(x_1, y_1)$ и $M_2(x_2, y_2)$. По условию задачи, абсцисса точки $M_1$ равна 3 ($x_1 = 3$), а абсцисса точки $M_2$ равна 6 ($x_2 = 6$).

Длина отрезка $M_1M_2$ (обозначим ее $d$) вычисляется по формуле расстояния между двумя точками на плоскости:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Подставим известные значения абсцисс в эту формулу:

$d = \sqrt{(6 - 3)^2 + (y_2 - y_1)^2} = \sqrt{3^2 + (y_2 - y_1)^2} = \sqrt{9 + (y_2 - y_1)^2}$

Теперь проверим, может ли длина отрезка быть равной 2. Для этого подставим $d = 2$ в полученное выражение:

$2 = \sqrt{9 + (y_2 - y_1)^2}$

Чтобы решить это уравнение, возведем обе его части в квадрат:

$2^2 = (\sqrt{9 + (y_2 - y_1)^2})^2$

$4 = 9 + (y_2 - y_1)^2$

Выразим $(y_2 - y_1)^2$:

$(y_2 - y_1)^2 = 4 - 9$

$(y_2 - y_1)^2 = -5$

Квадрат любого действительного числа (в данном случае разности ординат $y_2 - y_1$) не может быть отрицательным числом. Поскольку мы получили, что квадрат разности ординат равен -5, данное уравнение не имеет действительных решений.

С геометрической точки зрения, длина проекции отрезка $M_1M_2$ на ось Ox равна $|x_2 - x_1| = |6 - 3| = 3$. Длина самого отрезка не может быть меньше длины его проекции на любую из осей. Так как $2 < 3$, длина отрезка $M_1M_2$ не может быть равна 2.

Ответ: Нет, не может.

б)

В этом пункте известно, что длина отрезка $M_1M_2$ равна 3, то есть $d = 3$.

Воспользуемся формулой для длины отрезка, полученной в пункте а):

$d = \sqrt{9 + (y_2 - y_1)^2}$

Подставим в нее значение $d = 3$:

$3 = \sqrt{9 + (y_2 - y_1)^2}$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$3^2 = 9 + (y_2 - y_1)^2$

$9 = 9 + (y_2 - y_1)^2$

Отсюда следует:

$(y_2 - y_1)^2 = 0$

$y_2 - y_1 = 0$

$y_2 = y_1$

Равенство ординат ($y_1 = y_2$) означает, что обе точки $M_1$ и $M_2$ лежат на одной горизонтальной прямой. Любая горизонтальная прямая в декартовой системе координат параллельна оси абсцисс (оси Ox). Таким образом, отрезок $M_1M_2$, соединяющий эти две точки, расположен параллельно оси Ox. (В частном случае, если $y_1 = y_2 = 0$, отрезок лежит на самой оси Ox).

Ответ: Отрезок $M_1M_2$ параллелен оси Ox.

11. Векторы a и b имеют длины a и b. Чему равно скалярное произведение векторов a и b, если: а) векторы a и b сонаправлены; б) векторы a и b противоположно направлены; в) векторы a и b перпендикулярны; г) угол между векторами a и b равен 60°; д) угол между векторами a и b равен 120°?

Скалярное произведение двух векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ определяется как произведение их длин (модулей) на косинус угла между ними. Формула скалярного произведения:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\alpha)$

В данной задаче нам дано, что длины векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равны $a$ и $b$ соответственно, то есть $|\vec{a}| = a$ и $|\vec{b}| = b$. Подставив эти значения в формулу, получаем:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = a \cdot b \cdot \cos(\alpha)$

Теперь найдём скалярное произведение для каждого из предложенных случаев.

а) векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ сонаправлены

Если векторы сонаправлены, угол $\alpha$ между ними равен $0^\circ$. Так как $\cos(0^\circ) = 1$, скалярное произведение равно:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = a \cdot b \cdot \cos(0^\circ) = a \cdot b \cdot 1 = ab$

Ответ: $ab$.

б) векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ противоположно направлены

Если векторы направлены в противоположные стороны, угол $\alpha$ между ними равен $180^\circ$. Так как $\cos(180^\circ) = -1$, получаем:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = a \cdot b \cdot \cos(180^\circ) = a \cdot b \cdot (-1) = -ab$

Ответ: $-ab$.

в) векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ перпендикулярны

Если векторы перпендикулярны, угол $\alpha$ между ними равен $90^\circ$. Так как $\cos(90^\circ) = 0$, получаем:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = a \cdot b \cdot \cos(90^\circ) = a \cdot b \cdot 0 = 0$

Ответ: $0$.

г) угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равен $60^\circ$

В этом случае $\alpha = 60^\circ$. Так как $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$, скалярное произведение равно:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = a \cdot b \cdot \cos(60^\circ) = a \cdot b \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}ab$

Ответ: $\frac{1}{2}ab$.

д) угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равен $120^\circ$

В этом случае $\alpha = 120^\circ$. Так как $\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}$, скалярное произведение равно:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = a \cdot b \cdot \cos(120^\circ) = a \cdot b \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{2}ab$

Ответ: $-\frac{1}{2}ab$.

12. При каком условии скалярное произведение векторов a и b: а) положительно; б) отрицательно; в) равно нулю?

Скалярное произведение двух векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ определяется по формуле: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\alpha)$, где $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ — это длины (модули) векторов, а $\alpha$ — угол между ними. Так как длины векторов $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ всегда являются неотрицательными величинами, знак скалярного произведения для ненулевых векторов полностью определяется знаком косинуса угла между ними, $\cos(\alpha)$.

а) положительно
Скалярное произведение будет положительным, если $\vec{a} \cdot \vec{b} > 0$. Для ненулевых векторов это означает, что $\cos(\alpha) > 0$. Косинус положителен, если угол $\alpha$ является острым, то есть находится в диапазоне $0^\circ \le \alpha < 90^\circ$ (или $0 \le \alpha < \frac{\pi}{2}$ в радианах).
Ответ: скалярное произведение положительно, если угол между векторами острый.

б) отрицательно
Скалярное произведение будет отрицательным, если $\vec{a} \cdot \vec{b} < 0$. Для ненулевых векторов это означает, что $\cos(\alpha) < 0$. Косинус отрицателен, если угол $\alpha$ является тупым, то есть находится в диапазоне $90^\circ < \alpha \le 180^\circ$ (или $\frac{\pi}{2} < \alpha \le \pi$ в радианах).
Ответ: скалярное произведение отрицательно, если угол между векторами тупой.

в) равно нулю
Скалярное произведение равно нулю, если $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$. Исходя из формулы $|\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\alpha) = 0$, это равенство выполняется в двух основных случаях:
1. Хотя бы один из векторов является нулевым, то есть его длина равна нулю ($|\vec{a}| = 0$ или $|\vec{b}| = 0$).
2. Если оба вектора ненулевые, то для равенства нулю необходимо, чтобы $\cos(\alpha) = 0$. Это условие выполняется, когда угол $\alpha$ прямой, то есть $\alpha = 90^\circ$ (или $\alpha = \frac{\pi}{2}$ в радианах). Такие векторы называются перпендикулярными или ортогональными.
Ответ: скалярное произведение равно нулю, если векторы перпендикулярны (ортогональны), или хотя бы один из векторов является нулевым.

13. Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Перпендикулярны ли векторы:

Для определения перпендикулярности векторов мы можем использовать два основных подхода: геометрический, основанный на свойствах куба, или алгебраический, вычислив скалярное произведение векторов в системе координат. Два ненулевых вектора перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.
Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $D(0, 0, 0)$. Направим ось $Ox$ вдоль ребра $DC$, ось $Oy$ вдоль ребра $DA$ и ось $Oz$ вдоль ребра $DD_1$. Пусть длина ребра куба равна $a$. Тогда координаты вершин куба будут следующими:$A(0, a, 0)$, $B(a, a, 0)$, $C(a, 0, 0)$, $D(0, 0, 0)$,$A_1(0, a, a)$, $B_1(a, a, a)$, $C_1(a, 0, a)$, $D_1(0, 0, a)$.

а) Перпендикулярны ли векторы $\vec{AD}$ и $\vec{D_1C_1}$?

Геометрический способ:Вектор $\vec{D_1C_1}$ лежит на прямой $D_1C_1$, которая параллельна прямой $DC$, так как $DCC_1D_1$ — это грань куба (квадрат). Следовательно, вектор $\vec{D_1C_1}$ коллинеарен вектору $\vec{DC}$. Вектор $\vec{AD}$ лежит на прямой $AD$. Прямые $AD$ и $DC$ являются смежными ребрами куба и перпендикулярны друг другу. Значит, угол между векторами $\vec{AD}$ и $\vec{DC}$ равен $90^\circ$. Так как $\vec{D_1C_1}$ сонаправлен с $\vec{DC}$, то угол между $\vec{AD}$ и $\vec{D_1C_1}$ также равен $90^\circ$. Следовательно, векторы перпендикулярны.
Алгебраический способ:Найдем координаты векторов:
$\vec{AD} = (0-0; 0-a; 0-0) = \{0; -a; 0\}$.
$\vec{D_1C_1} = (a-0; 0-0; a-a) = \{a; 0; 0\}$.
Вычислим их скалярное произведение:
$\vec{AD} \cdot \vec{D_1C_1} = 0 \cdot a + (-a) \cdot 0 + 0 \cdot 0 = 0$.
Так как скалярное произведение равно нулю, векторы перпендикулярны.
Ответ: Да, перпендикулярны.

б) Перпендикулярны ли векторы $\vec{BD}$ и $\vec{CC_1}$?

Геометрический способ:Вектор $\vec{CC_1}$ лежит на ребре $CC_1$, которое перпендикулярно плоскости основания $ABCD$. Вектор $\vec{BD}$ лежит на диагонали $BD$ основания, которая принадлежит плоскости $ABCD$. По определению, если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Таким образом, прямая $CC_1$ перпендикулярна прямой $BD$, а значит и векторы перпендикулярны.
Алгебраический способ:Найдем координаты векторов:
$\vec{BD} = (0-a; 0-a; 0-0) = \{-a; -a; 0\}$.
$\vec{CC_1} = (a-a; 0-0; a-0) = \{0; 0; a\}$.
Вычислим их скалярное произведение:
$\vec{BD} \cdot \vec{CC_1} = (-a) \cdot 0 + (-a) \cdot 0 + 0 \cdot a = 0$.
Скалярное произведение равно нулю, следовательно, векторы перпендикулярны.
Ответ: Да, перпендикулярны.

в) Перпендикулярны ли векторы $\vec{A_1C_1}$ и $\vec{AD}$?

Геометрический способ:Вектор $\vec{A_1C_1}$ параллелен вектору $\vec{AC}$, так как $ACC_1A_1$ — диагональное сечение (прямоугольник). Таким образом, вопрос сводится к проверке перпендикулярности векторов $\vec{AC}$ и $\vec{AD}$. Эти два вектора выходят из одной точки $A$ и лежат в плоскости грани $ABCD$. Угол между ними — это угол $\angle CAD$ в квадрате $ABCD$. Диагональ $AC$ является биссектрисой угла $\angle DAB$, который равен $90^\circ$. Следовательно, $\angle CAD = 45^\circ$. Так как угол не равен $90^\circ$, векторы не перпендикулярны.
Алгебраический способ:Найдем координаты векторов:
$\vec{A_1C_1} = (a-0; 0-a; a-a) = \{a; -a; 0\}$.
$\vec{AD} = (0-0; 0-a; 0-0) = \{0; -a; 0\}$.
Вычислим их скалярное произведение:
$\vec{A_1C_1} \cdot \vec{AD} = a \cdot 0 + (-a) \cdot (-a) + 0 \cdot 0 = a^2$.
Так как ребро куба $a \neq 0$, то $a^2 \neq 0$. Скалярное произведение не равно нулю, следовательно, векторы не перпендикулярны.
Ответ: Нет, не перпендикулярны.

г) Перпендикулярны ли векторы $\vec{DB}$ и $\vec{D_1C_1}$?

Геометрический способ:Вектор $\vec{D_1C_1}$ параллелен вектору $\vec{DC}$. Проверим перпендикулярность векторов $\vec{DB}$ и $\vec{DC}$. Оба вектора выходят из точки $D$. Угол между ними — это угол $\angle BDC$ в квадрате $ABCD$. Диагональ $DB$ является биссектрисой угла $\angle ADC = 90^\circ$, поэтому $\angle BDC = 45^\circ$. Угол не равен $90^\circ$, значит векторы не перпендикулярны.
Алгебраический способ:Найдем координаты векторов:
$\vec{DB} = (a-0; a-0; 0-0) = \{a; a; 0\}$.
$\vec{D_1C_1} = (a-0; 0-0; a-a) = \{a; 0; 0\}$.
Вычислим их скалярное произведение:
$\vec{DB} \cdot \vec{D_1C_1} = a \cdot a + a \cdot 0 + 0 \cdot 0 = a^2$.
Так как $a \neq 0$, то $a^2 \neq 0$. Скалярное произведение не равно нулю, векторы не перпендикулярны.
Ответ: Нет, не перпендикулярны.

д) Перпендикулярны ли векторы $\vec{BB_1}$ и $\vec{AC}$?

Геометрический способ:Вектор $\vec{BB_1}$ лежит на ребре $BB_1$, которое перпендикулярно плоскости основания $ABCD$. Вектор $\vec{AC}$ лежит на диагонали $AC$ основания, которая принадлежит плоскости $ABCD$. Так как прямая $BB_1$ перпендикулярна плоскости $ABCD$, она перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, включая прямую $AC$. Следовательно, векторы перпендикулярны.
Алгебраический способ:Найдем координаты векторов:
$\vec{BB_1} = (a-a; a-a; a-0) = \{0; 0; a\}$.
$\vec{AC} = (a-0; 0-a; 0-0) = \{a; -a; 0\}$.
Вычислим их скалярное произведение:
$\vec{BB_1} \cdot \vec{AC} = 0 \cdot a + 0 \cdot (-a) + a \cdot 0 = 0$.
Скалярное произведение равно нулю, значит, векторы перпендикулярны.
Ответ: Да, перпендикулярны.

14. Первые координаты векторов a и b равны соответственно 1 и 2. Может ли скалярное произведение векторов a и b быть: а) меньше 2; б) равно 2; в) больше 2?

а) меньше 2

Пусть векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ заданы в $n$-мерном пространстве. Их скалярное произведение вычисляется по формуле $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + \dots + a_n b_n$. По условию, первые координаты векторов $a_1 = 1$ и $b_1 = 2$. Тогда скалярное произведение можно записать как $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 2 + a_2 b_2 + \dots + a_n b_n = 2 + \sum_{i=2}^{n} a_i b_i$.

Скалярное произведение будет меньше 2, если сумма произведений остальных координат будет отрицательной: $\sum_{i=2}^{n} a_i b_i < 0$.

Это возможно. Для примера рассмотрим двумерные векторы ($n=2$). Пусть $\vec{a} = (1, a_2)$ и $\vec{b} = (2, b_2)$. Мы можем выбрать $a_2$ и $b_2$ так, чтобы их произведение было отрицательным. Например, пусть $a_2 = 1$ и $b_2 = -1$.

Тогда $\vec{a} = (1, 1)$ и $\vec{b} = (2, -1)$. Их скалярное произведение равно: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 2 + 1 \cdot (-1) = 2 - 1 = 1$.

Поскольку $1 < 2$, скалярное произведение может быть меньше 2.

Ответ: да, может.

б) равно 2

Исходя из формулы $\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 + \sum_{i=2}^{n} a_i b_i$, скалярное произведение будет равно 2, если сумма произведений остальных координат будет равна нулю: $\sum_{i=2}^{n} a_i b_i = 0$.

Это возможно. Например, для двумерных векторов достаточно, чтобы $a_2 b_2 = 0$. Это выполняется, если хотя бы одна из этих координат равна нулю. Пусть $a_2 = 4$ и $b_2 = 0$.

Тогда $\vec{a} = (1, 4)$ и $\vec{b} = (2, 0)$. Их скалярное произведение равно: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 2 + 4 \cdot 0 = 2 + 0 = 2$.

Следовательно, скалярное произведение может быть равно 2.

Ответ: да, может.

в) больше 2

Скалярное произведение будет больше 2, если сумма произведений остальных координат будет положительной: $\sum_{i=2}^{n} a_i b_i > 0$.

Это возможно. Например, для двумерных векторов достаточно, чтобы произведение $a_2 b_2$ было положительным. Это выполняется, если $a_2$ и $b_2$ имеют одинаковый знак. Пусть $a_2 = 1$ и $b_2 = 3$.

Тогда $\vec{a} = (1, 1)$ и $\vec{b} = (2, 3)$. Их скалярное произведение равно: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 2 + 1 \cdot 3 = 2 + 3 = 5$.

Поскольку $5 > 2$, скалярное произведение может быть больше 2.

Ответ: да, может.

15. Какие координаты имеет точка А, если при центральной симметрии с центром А точка В(1; 0; 2) переходит в точку С(2; −1; 4)?

По определению центральной симметрии, если точка B при симметрии относительно точки A переходит в точку C, то точка A является серединой отрезка BC.

Координаты середины отрезка находятся как среднее арифметическое соответствующих координат его концов. Пусть точка A имеет координаты $(x_A; y_A; z_A)$. Даны координаты точек B(1; 0; 2) и C(2; -1; 4).

Формулы для вычисления координат точки A:
$x_A = \frac{x_B + x_C}{2}$
$y_A = \frac{y_B + y_C}{2}$
$z_A = \frac{z_B + z_C}{2}$

Подставим известные значения координат точек B и C в эти формулы для нахождения координат точки A:
$x_A = \frac{1 + 2}{2} = \frac{3}{2} = 1.5$
$y_A = \frac{0 + (-1)}{2} = \frac{-1}{2} = -0.5$
$z_A = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3$

Следовательно, точка A имеет координаты (1.5; -0.5; 3).

Ответ: A(1.5; -0.5; 3)

16. Как расположена плоскость по отношению к осям координат Ох и Oz, если при зеркальной симметрии относительно этой плоскости точка М(2; 1; 3) переходит в точку М₁(2; −2; 3)?

Пусть искомая плоскость симметрии называется $P$. По определению зеркальной симметрии, плоскость $P$ является перпендикулярным биссектором отрезка, соединяющего исходную точку $M(2; 1; 3)$ и ее образ $M_1(2; -2; 3)$. Это означает, что плоскость $P$ проходит через середину отрезка $MM_1$, и вектор $\vec{MM_1}$ является вектором нормали к этой плоскости.

Для нахождения уравнения плоскости и ее положения выполним следующие шаги:

1. Нахождение точки на плоскости.
Плоскость проходит через середину $K$ отрезка $MM_1$. Вычислим ее координаты по формуле середины отрезка:

$K = \left( \frac{x_M+x_{M_1}}{2}; \frac{y_M+y_{M_1}}{2}; \frac{z_M+z_{M_1}}{2} \right) = \left( \frac{2+2}{2}; \frac{1+(-2)}{2}; \frac{3+3}{2} \right) = \left( 2; -0.5; 3 \right)$

Таким образом, точка $K(2; -0.5; 3)$ принадлежит искомой плоскости.

2. Нахождение вектора нормали.
Вектор $\vec{MM_1}$ перпендикулярен плоскости $P$, поэтому его можно использовать в качестве вектора нормали $\vec{n}$:

$\vec{n} = \vec{MM_1} = (x_{M_1}-x_M; y_{M_1}-y_M; z_{M_1}-z_M) = (2-2; -2-1; 3-3) = (0; -3; 0)$

Для удобства можно взять любой коллинеарный вектор, например, разделив координаты на $-3$, получим вектор нормали $\vec{n_1} = (0; 1; 0)$.

3. Составление уравнения плоскости.
Общее уравнение плоскости, проходящей через точку $(x_0; y_0; z_0)$ с вектором нормали $\vec{n}=(A; B; C)$, имеет вид $A(x-x_0) + B(y-y_0) + C(z-z_0) = 0$. Подставим координаты точки $K(2; -0.5; 3)$ и вектора нормали $\vec{n_1}=(0; 1; 0)$:

$0 \cdot (x-2) + 1 \cdot (y - (-0.5)) + 0 \cdot (z-3) = 0$

$y + 0.5 = 0$

Отсюда получаем уравнение плоскости: $y = -0.5$.

4. Анализ расположения плоскости относительно осей $Ox$ и $Oz$.
Уравнение $y = -0.5$ задает плоскость, у всех точек которой координата $y$ постоянна и равна $-0.5$, в то время как координаты $x$ и $z$ могут принимать любые значения. Такая плоскость параллельна координатной плоскости $xOz$.
Ось $Ox$ задается уравнениями $y=0$ и $z=0$. Поскольку на этой оси $y=0$, а на плоскости $y=-0.5$, ось $Ox$ не пересекает плоскость и, следовательно, параллельна ей.
Ось $Oz$ задается уравнениями $x=0$ и $y=0$. Аналогично, на этой оси $y=0$, поэтому ось $Oz$ не пересекает плоскость и параллельна ей.

Ответ: Искомая плоскость параллельна осям координат $Ox$ и $Oz$.

17. В правую или левую перчатку переходит правая перчатка при зеркальной симметрии? осевой симметрии? центральной симметрии?

Для решения этой задачи нужно понять, как каждый тип симметрии влияет на ориентацию трехмерного объекта. Ориентация определяет, является ли объект "правым" или "левым" (понятие хиральности).

При зеркальной симметрии

Зеркальная симметрия — это отражение относительно плоскости. Если поставить правую перчатку перед зеркалом, ее отражение будет выглядеть как левая перчатка. Это происходит потому, что зеркальное отражение меняет ориентацию объекта на противоположную. Правая и левая руки (и перчатки) являются зеркальными отражениями друг друга.

Ответ: при зеркальной симметрии правая перчатка переходит в левую.

При осевой симметрии

Осевая симметрия в пространстве — это поворот вокруг некоторой оси. Поворот является движением, которое сохраняет ориентацию объекта. Если мы будем вращать правую перчатку вокруг любой оси на любой угол, она останется правой перчаткой. Ее можно будет переместить в новое положение без отражений. Таким образом, осевая симметрия не меняет "правоту" или "левоту" перчатки.

Ответ: при осевой симметрии правая перчатка переходит в правую.

При центральной симметрии

Центральная симметрия относительно точки $O$ — это преобразование, при котором каждая точка объекта $M$ переходит в точку $M'$ на той же прямой $OM$, но по другую сторону от центра $O$ и на том же расстоянии ($OM = OM'$). В трехмерном пространстве центральная симметрия меняет ориентацию объекта на противоположную. Это преобразование можно представить как поворот на $180^\circ$ вокруг некоторой оси с последующим отражением в плоскости, перпендикулярной этой оси. Поскольку отражение меняет "правоту" на "левоту", а поворот — нет, то в результате центральной симметрии правая перчатка перейдет в левую.

Ответ: при центральной симметрии правая перчатка переходит в левую.