Номер 2, страница 186 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

2. Объясните, почему все точки, лежащие на прямой, параллельной плоскости Оху, имеют одну и ту же аппликату.

Рассмотрим прямоугольную систему координат Oxyz. Плоскость Oxy — это координатная плоскость, которая задается уравнением $z=0$. Это означает, что любая точка, лежащая в плоскости Oxy, имеет аппликату (координату z), равную нулю. Вектор, перпендикулярный (нормальный) к плоскости Oxy, — это единичный вектор оси Oz, который можно записать как $\vec{k}=(0, 0, 1)$.

Пусть у нас есть прямая $l$, параллельная плоскости Oxy. Прямая в пространстве задается точкой $M_0(x_0, y_0, z_0)$, через которую она проходит, и своим направляющим вектором $\vec{a}=(a_x, a_y, a_z)$.

По определению, если прямая параллельна плоскости, то ее направляющий вектор перпендикулярен вектору нормали к этой плоскости. В нашем случае это означает, что направляющий вектор $\vec{a}$ прямой $l$ должен быть перпендикулярен вектору нормали $\vec{k}$ к плоскости Oxy.

Условием перпендикулярности двух векторов является равенство нулю их скалярного произведения:
$\vec{a} \cdot \vec{k} = 0$

Вычислим это скалярное произведение:
$\vec{a} \cdot \vec{k} = (a_x, a_y, a_z) \cdot (0, 0, 1) = a_x \cdot 0 + a_y \cdot 0 + a_z \cdot 1 = a_z$.

Так как скалярное произведение должно быть равно нулю, мы получаем, что $a_z=0$. Это означает, что третья координата (аппликата) направляющего вектора прямой $l$ равна нулю.

Параметрические уравнения прямой $l$, проходящей через точку $M_0(x_0, y_0, z_0)$ с направляющим вектором $\vec{a}=(a_x, a_y, a_z)$, имеют вид:
$x = x_0 + a_x t$
$y = y_0 + a_y t$
$z = z_0 + a_z t$
где $t$ — это параметр, определяющий положение точки на прямой.

Поскольку мы установили, что для прямой, параллельной плоскости Oxy, координата $a_z=0$, уравнение для аппликаты любой точки на этой прямой принимает вид:
$z = z_0 + 0 \cdot t = z_0$.

Это уравнение показывает, что для любого значения параметра $t$ (то есть для любой точки на прямой $l$) аппликата $z$ будет постоянной и равной $z_0$ — аппликате точки $M_0$, через которую проходит прямая.

Таким образом, все точки прямой имеют одну и ту же аппликату.

Ответ: Прямая параллельна плоскости Oxy тогда и только тогда, когда ее направляющий вектор перпендикулярен вектору нормали к плоскости Oxy, то есть вектору $\vec{k}=(0, 0, 1)$. Это означает, что z-координата направляющего вектора прямой равна нулю. Следовательно, при движении вдоль такой прямой изменяются только координаты x и y, в то время как координата z (аппликата) остается постоянной для всех точек этой прямой.