Номер 725, страница 185 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

725. Докажите, что при параллельном переносе на вектор p, где p ≠ 0: а) прямая, не параллельная вектору p и не содержащая этот вектор, отображается на параллельную ей прямую; б) прямая, параллельная вектору p или содержащая этот вектор, отображается на себя.

а) Пусть дана прямая $l$ и вектор параллельного переноса $\vec{p}$, причем прямая $l$ не параллельна вектору $\vec{p}$. Нам нужно доказать, что образом прямой $l$ при этом переносе является прямая $l'$, параллельная $l$.

1. Докажем, что образ прямой $l$ есть прямая $l'$, параллельная $l$.
Выберем на прямой $l$ две произвольные различные точки $A$ и $B$. При параллельном переносе на вектор $\vec{p}$ они перейдут в точки $A'$ и $B'$ соответственно. По определению параллельного переноса, $\vec{AA'} = \vec{p}$ и $\vec{BB'} = \vec{p}$. Отсюда следует, что $\vec{AA'} = \vec{BB'}$.
Рассмотрим четырехугольник $ABB'A'$. Так как векторы, определяющие две его противоположные стороны, равны ($\vec{AA'} = \vec{BB'}$), то этот четырехугольник является параллелограммом. Свойство параллелограмма гласит, что его противоположные стороны параллельны и равны. Следовательно, сторона $AB$ параллельна стороне $A'B'$.
Это также можно доказать векторным методом: $\vec{A'B'} = \vec{A'A} + \vec{AB} + \vec{BB'} = -\vec{AA'} + \vec{AB} + \vec{BB'} = -\vec{p} + \vec{AB} + \vec{p} = \vec{AB}$.
Так как вектор $\vec{A'B'}$ равен вектору $\vec{AB}$, то прямая $l'$, проходящая через точки $A'$ и $B'$, параллельна прямой $l$, проходящей через точки $A$ и $B$.

2. Докажем, что образом является вся прямая $l'$.
Мы показали, что образы двух точек прямой $l$ лежат на прямой $l'$, параллельной $l$. Теперь докажем, что любая точка прямой $l$ переходит в точку на прямой $l'$, и наоборот, любая точка на $l'$ является образом некоторой точки с $l$.
Пусть $M$ — произвольная точка на прямой $l$. Ее радиус-вектор можно представить в виде $\vec{r_M} = \vec{r_A} + t \cdot \vec{AB}$ для некоторого действительного числа $t$. Образ точки $M$, точка $M'$, будет иметь радиус-вектор $\vec{r_{M'}} = \vec{r_M} + \vec{p} = (\vec{r_A} + \vec{p}) + t \cdot \vec{AB}$. Так как $\vec{r_{A'}} = \vec{r_A} + \vec{p}$ и $\vec{A'B'} = \vec{AB}$, получаем $\vec{r_{M'}} = \vec{r_{A'}} + t \cdot \vec{A'B'}$. Это параметрическое уравнение прямой $l'$, значит, точка $M'$ лежит на прямой $l'$.
Обратно, пусть $N'$ — произвольная точка на прямой $l'$. Ее радиус-вектор $\vec{r_{N'}} = \vec{r_{A'}} + k \cdot \vec{A'B'}$ для некоторого $k$. Найдем ее прообраз $N$: $\vec{r_N} = \vec{r_{N'}} - \vec{p} = (\vec{r_{A'}} - \vec{p}) + k \cdot \vec{A'B'} = \vec{r_A} + k \cdot \vec{AB}$. Этот радиус-вектор соответствует точке на прямой $l$. Таким образом, каждая точка прямой $l'$ является образом некоторой точки прямой $l$.

3. Докажем, что $l \neq l'$.
Предположим, что $l' = l$. Это означает, что образ точки $A$, то есть точка $A'$, также лежит на прямой $l$. Но если обе точки, $A$ и $A'$, лежат на прямой $l$, то вектор $\vec{AA'}$ должен быть параллелен этой прямой. По определению переноса, $\vec{AA'} = \vec{p}$, следовательно, вектор $\vec{p}$ должен быть параллелен прямой $l$. Это противоречит условию задачи, что $l$ не параллельна $\vec{p}$. Значит, наше предположение неверно, и $l' \neq l$.
Условие, что прямая "не содержит этот вектор", является уточнением, которое гарантирует, что вектор переноса не является направляющим вектором прямой, что уже следует из условия непараллельности.

Ответ: Что и требовалось доказать.

б) Пусть дана прямая $l$, которая параллельна вектору $\vec{p}$ или содержит этот вектор. Нам нужно доказать, что такая прямая отображается на себя.

Условие "прямая содержит вектор $\vec{p}$" означает, что на прямой $l$ существуют такие точки $A$ и $B$, что $\vec{AB} = \vec{p}$. Это, в свою очередь, означает, что вектор $\vec{p}$ коллинеарен направляющему вектору прямой $l$, то есть прямая $l$ параллельна вектору $\vec{p}$. Таким образом, второй случай является частным случаем первого, и достаточно доказать утверждение для прямой, параллельной вектору переноса.

1. Докажем, что образ любой точки прямой $l$ лежит на этой же прямой.
Пусть $M$ — произвольная точка на прямой $l$. Ее образ, точка $M'$, определяется условием $\vec{MM'} = \vec{p}$. Так как точка $M$ лежит на прямой $l$, а вектор $\vec{p}$ по условию параллелен этой прямой, то и вектор $\vec{MM'}$ параллелен прямой $l$. Это означает, что точка $M'$ также лежит на прямой $l$. Поскольку $M$ — произвольная точка, то образ всей прямой $l$ является подмножеством самой прямой $l$.

2. Докажем, что любая точка прямой $l$ является образом некоторой точки этой же прямой.
Пусть $N$ — произвольная точка на прямой $l$. Мы хотим найти такую точку $X$ на прямой $l$, что ее образ при переносе на вектор $\vec{p}$ совпадет с точкой $N$. Образ точки $X$, точка $X'$, определяется как $\vec{XX'} = \vec{p}$. Нам нужно, чтобы $X'=N$, то есть $\vec{XN} = \vec{p}$. Это эквивалентно тому, что $\vec{NX} = -\vec{p}$.
Рассмотрим точку $X$, положение которой задается вектором, отложенным от точки $N$: $\vec{NX} = -\vec{p}$. Так как точка $N$ лежит на прямой $l$, а вектор $-\vec{p}$ параллелен прямой $l$ (поскольку $\vec{p}$ ей параллелен), то точка $X$ также будет лежать на прямой $l$. При этом образом точки $X$ будет точка $X'$, для которой $\vec{XX'} = \vec{p}$. Так как $\vec{XN}=-\vec{NX}=-(-\vec{p})=\vec{p}$, то $X'=N$.
Таким образом, для любой точки $N$ на прямой $l$ мы нашли прообраз $X$, который также лежит на прямой $l$. Это означает, что вся прямая $l$ является подмножеством своего образа.

Из того, что образ прямой $l$ является ее подмножеством, и, одновременно, вся прямая $l$ является подмножеством своего образа, следует, что образ прямой $l$ совпадает с ней самой. Прямая отображается на себя.

Ответ: Что и требовалось доказать.