Номер 726, страница 185 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

726. Треугольник A₁B₁C₁ получен параллельным переносом треугольника ABC на вектор p. Точки М₁ и М — соответственно точки пересечения медиан треугольников A₁B₁C₁ и ABC. Докажите, что при параллельном переносе на вектор p точка М переходит в точку М₁.

Для доказательства воспользуемся векторным методом. Пусть введена некоторая система координат с началом в произвольной точке $O$.

По определению, точка $M$ является точкой пересечения медиан (центроидом) треугольника $ABC$. Ее радиус-вектор $\vec{OM}$ может быть выражен через радиус-векторы вершин треугольника $A, B, C$ по следующей формуле:

$\vec{OM} = \frac{1}{3}(\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC})$

Аналогично, точка $M_1$ является точкой пересечения медиан треугольника $A_1B_1C_1$. Ее радиус-вектор $\vec{OM_1}$ выражается так:

$\vec{OM_1} = \frac{1}{3}(\vec{OA_1} + \vec{OB_1} + \vec{OC_1})$

По условию задачи, треугольник $A_1B_1C_1$ получен параллельным переносом треугольника $ABC$ на вектор $\vec{p}$. Это означает, что каждая вершина треугольника $ABC$ переходит в соответствующую вершину треугольника $A_1B_1C_1$ в результате сдвига на вектор $\vec{p}$. В векторной форме это записывается следующим образом:

$\vec{AA_1} = \vec{p}$

$\vec{BB_1} = \vec{p}$

$\vec{CC_1} = \vec{p}$

Выразим радиус-векторы вершин треугольника $A_1B_1C_1$ через радиус-векторы вершин треугольника $ABC$ и вектор переноса $\vec{p}$:

$\vec{OA_1} = \vec{OA} + \vec{AA_1} = \vec{OA} + \vec{p}$

$\vec{OB_1} = \vec{OB} + \vec{BB_1} = \vec{OB} + \vec{p}$

$\vec{OC_1} = \vec{OC} + \vec{CC_1} = \vec{OC} + \vec{p}$

Теперь подставим эти выражения в формулу для радиус-вектора точки $M_1$:

$\vec{OM_1} = \frac{1}{3}((\vec{OA} + \vec{p}) + (\vec{OB} + \vec{p}) + (\vec{OC} + \vec{p}))$

Сгруппируем слагаемые в скобках:

$\vec{OM_1} = \frac{1}{3}(\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} + 3\vec{p})$

Разобьем дробь на две части:

$\vec{OM_1} = \frac{1}{3}(\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}) + \frac{1}{3}(3\vec{p})$

$\vec{OM_1} = \frac{1}{3}(\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}) + \vec{p}$

Мы знаем, что $\vec{OM} = \frac{1}{3}(\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC})$, поэтому можем заменить первое слагаемое на $\vec{OM}$:

$\vec{OM_1} = \vec{OM} + \vec{p}$

Это равенство означает, что радиус-вектор точки $M_1$ равен сумме радиус-вектора точки $M$ и вектора переноса $\vec{p}$. Это и есть определение параллельного переноса точки $M$ на вектор $\vec{p}$ в точку $M_1$.

Чтобы показать это еще нагляднее, найдем вектор $\vec{MM_1}$:

$\vec{MM_1} = \vec{OM_1} - \vec{OM} = (\vec{OM} + \vec{p}) - \vec{OM} = \vec{p}$

Равенство $\vec{MM_1} = \vec{p}$ означает, что точка $M$ при параллельном переносе на вектор $\vec{p}$ переходит в точку $M_1$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Точка пересечения медиан треугольника при параллельном переносе самого треугольника переходит в точку пересечения медиан перенесенного треугольника.