Номер 724, страница 185 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

724. При зеркальной симметрии относительно плоскости α плоскость β отображается на плоскость β₁. Докажите, что если: а) β || α, то β₁ || α; б) β ⊥ α, то β₁ совпадает с β.

а)

Пусть плоскость $\beta$ параллельна плоскости $\alpha$ ($\beta \parallel \alpha$). Зеркальная симметрия относительно плоскости $\alpha$ отображает плоскость $\beta$ на плоскость $\beta_1$. Требуется доказать, что $\beta_1 \parallel \alpha$.

Рассмотрим произвольную точку $M$, принадлежащую плоскости $\beta$. Пусть $M_1$ — ее образ при симметрии относительно плоскости $\alpha$. По определению зеркальной симметрии, отрезок $MM_1$ перпендикулярен плоскости $\alpha$, а его середина, точка $P$, лежит в плоскости $\alpha$.

Расстояние от точки $M$ до плоскости $\alpha$ равно длине перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость, то есть длине отрезка $MP$. Обозначим это расстояние $d$.

Поскольку плоскость $\beta$ параллельна плоскости $\alpha$, все точки плоскости $\beta$ находятся на одинаковом расстоянии от плоскости $\alpha$. Следовательно, для любой точки $M \in \beta$ расстояние до $\alpha$ будет равно константе $d$. (Если $d=0$, то плоскости $\beta$ и $\alpha$ совпадают, и тогда $\beta_1 = \beta = \alpha$, утверждение очевидно).

Так как точка $P$ является серединой отрезка $MM_1$, то $|MP| = |PM_1| = d$. Это означает, что расстояние от точки-образа $M_1$ до плоскости $\alpha$ также равно $d$.

Поскольку $M$ — это произвольная точка плоскости $\beta$, а $M_1$ — ее образ, то все точки плоскости $\beta_1$ (которая является образом $\beta$) находятся на одинаковом постоянном расстоянии $d$ от плоскости $\alpha$.

Множество всех точек пространства, находящихся на постоянном расстоянии от данной плоскости, само образует плоскость, параллельную данной. Следовательно, плоскость $\beta_1$ параллельна плоскости $\alpha$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Если $\beta \parallel \alpha$, то $\beta_1 \parallel \alpha$.

б)

Пусть плоскость $\beta$ перпендикулярна плоскости $\alpha$ ($\beta \perp \alpha$). Зеркальная симметрия относительно плоскости $\alpha$ отображает плоскость $\beta$ на плоскость $\beta_1$. Требуется доказать, что плоскость $\beta_1$ совпадает с плоскостью $\beta$.

Чтобы доказать совпадение плоскостей $\beta_1$ и $\beta$, достаточно показать, что образом любой точки $M$, принадлежащей плоскости $\beta$, является точка $M_1$, которая также принадлежит плоскости $\beta$.

Рассмотрим произвольную точку $M \in \beta$.

1. Если точка $M$ лежит на линии пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$, то $M \in \alpha$. По определению зеркальной симметрии, точки, лежащие на плоскости симметрии, отображаются сами на себя. Таким образом, ее образ $M_1$ совпадает с $M$. Так как $M \in \beta$, то и $M_1 \in \beta$.

2. Если точка $M$ не лежит на линии пересечения плоскостей, то есть $M \in \beta$, но $M \notin \alpha$. Чтобы найти ее образ $M_1$, нужно провести через точку $M$ прямую $m$, перпендикулярную плоскости $\alpha$. Пусть $P$ — точка пересечения прямой $m$ и плоскости $\alpha$. Точка $M_1$ лежит на прямой $m$ таким образом, что $P$ является серединой отрезка $MM_1$.

Существует теорема о перпендикулярных плоскостях: если две плоскости взаимно перпендикулярны, то любая прямая, проведенная из точки одной плоскости перпендикулярно другой плоскости, целиком лежит в первой плоскости.

В нашем случае плоскости $\alpha$ и $\beta$ перпендикулярны. Прямая $m$ проведена из точки $M \in \beta$ перпендикулярно плоскости $\alpha$. Согласно теореме, эта прямая $m$ целиком лежит в плоскости $\beta$ ($m \subset \beta$).

Поскольку образ $M_1$ точки $M$ лежит на прямой $m$, а прямая $m$ целиком содержится в плоскости $\beta$, то точка $M_1$ также принадлежит плоскости $\beta$.

Таким образом, мы показали, что для любой точки $M \in \beta$ ее образ $M_1$ также принадлежит плоскости $\beta$. Это означает, что вся плоскость-образ $\beta_1$ является подмножеством плоскости $\beta$, то есть $\beta_1 \subseteq \beta$.

Так как и $\beta$, и $\beta_1$ являются плоскостями в пространстве, а одна плоскость может быть подмножеством другой только в случае их полного совпадения, то отсюда следует, что $\beta_1 = \beta$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Если $\beta \perp \alpha$, то $\beta_1$ совпадает с $\beta$.