Номер 719, страница 185 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

719. Найдите координаты точек, в которые переходят точки А(0; 1; 2), В(3; −1; 4), С(1; 0; −2) при: а) центральной симметрии относительно начала координат; б) осевой симметрии относительно координатных осей; в) зеркальной симметрии относительно координатных плоскостей.

а) центральной симметрии относительно начала координат

При центральной симметрии относительно начала координат $O(0; 0; 0)$, каждая координата точки $P(x; y; z)$ меняет свой знак на противоположный. Новая точка $P'$ будет иметь координаты $P'(-x; -y; -z)$.

Найдем координаты новых точек для $A(0; 1; 2)$, $B(3; -1; 4)$ и $C(1; 0; -2)$:

Для точки $A(0; 1; 2)$ точка $A'$ будет иметь координаты $(-0; -1; -2)$, то есть $A'(0; -1; -2)$.

Для точки $B(3; -1; 4)$ точка $B'$ будет иметь координаты $(-3; -(-1); -4)$, то есть $B'(-3; 1; -4)$.

Для точки $C(1; 0; -2)$ точка $C'$ будет иметь координаты $(-1; -0; -(-2))$, то есть $C'(-1; 0; 2)$.

Ответ: $A'(0; -1; -2)$, $B'(-3; 1; -4)$, $C'(-1; 0; 2)$.

б) осевой симметрии относительно координатных осей

При осевой симметрии относительно одной из координатных осей, координата, соответствующая этой оси, остается неизменной, а две другие меняют свой знак на противоположный.

1. Симметрия относительно оси Ox (оси абсцисс):

Точка $P(x; y; z)$ переходит в точку $P'(x; -y; -z)$.

Для $A(0; 1; 2) \rightarrow A'_{Ox}(0; -1; -2)$.

Для $B(3; -1; 4) \rightarrow B'_{Ox}(3; -(-1); -4)$, то есть $B'_{Ox}(3; 1; -4)$.

Для $C(1; 0; -2) \rightarrow C'_{Ox}(1; -0; -(-2))$, то есть $C'_{Ox}(1; 0; 2)$.

2. Симметрия относительно оси Oy (оси ординат):

Точка $P(x; y; z)$ переходит в точку $P'(-x; y; -z)$.

Для $A(0; 1; 2) \rightarrow A'_{Oy}(-0; 1; -2)$, то есть $A'_{Oy}(0; 1; -2)$.

Для $B(3; -1; 4) \rightarrow B'_{Oy}(-3; -1; -4)$.

Для $C(1; 0; -2) \rightarrow C'_{Oy}(-1; 0; -(-2))$, то есть $C'_{Oy}(-1; 0; 2)$.

3. Симметрия относительно оси Oz (оси аппликат):

Точка $P(x; y; z)$ переходит в точку $P'(-x; -y; z)$.

Для $A(0; 1; 2) \rightarrow A'_{Oz}(-0; -1; 2)$, то есть $A'_{Oz}(0; -1; 2)$.

Для $B(3; -1; 4) \rightarrow B'_{Oz}(-3; -(-1); 4)$, то есть $B'_{Oz}(-3; 1; 4)$.

Для $C(1; 0; -2) \rightarrow C'_{Oz}(-1; -0; -2)$, то есть $C'_{Oz}(-1; 0; -2)$.

Ответ:
Относительно оси Ox: $A'(0; -1; -2)$, $B'(3; 1; -4)$, $C'(1; 0; 2)$.
Относительно оси Oy: $A'(0; 1; -2)$, $B'(-3; -1; -4)$, $C'(-1; 0; 2)$.
Относительно оси Oz: $A'(0; -1; 2)$, $B'(-3; 1; 4)$, $C'(-1; 0; -2)$.

в) зеркальной симметрии относительно координатных плоскостей

При зеркальной симметрии относительно одной из координатных плоскостей, координаты, лежащие в этой плоскости, остаются неизменными, а третья координата (перпендикулярная плоскости) меняет свой знак на противоположный.

1. Симметрия относительно плоскости Oxy (плоскости $z=0$):

Точка $P(x; y; z)$ переходит в точку $P'(x; y; -z)$.

Для $A(0; 1; 2) \rightarrow A'_{Oxy}(0; 1; -2)$.

Для $B(3; -1; 4) \rightarrow B'_{Oxy}(3; -1; -4)$.

Для $C(1; 0; -2) \rightarrow C'_{Oxy}(1; 0; -(-2))$, то есть $C'_{Oxy}(1; 0; 2)$.

2. Симметрия относительно плоскости Oxz (плоскости $y=0$):

Точка $P(x; y; z)$ переходит в точку $P'(x; -y; z)$.

Для $A(0; 1; 2) \rightarrow A'_{Oxz}(0; -1; 2)$.

Для $B(3; -1; 4) \rightarrow B'_{Oxz}(3; -(-1); 4)$, то есть $B'_{Oxz}(3; 1; 4)$.

Для $C(1; 0; -2) \rightarrow C'_{Oxz}(1; -0; -2)$, то есть $C'_{Oxz}(1; 0; -2)$.

3. Симметрия относительно плоскости Oyz (плоскости $x=0$):

Точка $P(x; y; z)$ переходит в точку $P'(-x; y; z)$.

Для $A(0; 1; 2) \rightarrow A'_{Oyz}(-0; 1; 2)$, то есть $A'_{Oyz}(0; 1; 2)$. Так как точка А лежит в плоскости Oyz, она переходит сама в себя.

Для $B(3; -1; 4) \rightarrow B'_{Oyz}(-3; -1; 4)$.

Для $C(1; 0; -2) \rightarrow C'_{Oyz}(-1; 0; -2)$.

Ответ:
Относительно плоскости Oxy: $A'(0; 1; -2)$, $B'(3; -1; -4)$, $C'(1; 0; 2)$.
Относительно плоскости Oxz: $A'(0; -1; 2)$, $B'(3; 1; 4)$, $C'(1; 0; -2)$.
Относительно плоскости Oyz: $A'(0; 1; 2)$, $B'(-3; -1; 4)$, $C'(-1; 0; -2)$.