Номер 715, страница 179 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

715. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ ∠BАС₁ = ∠DАС₁ = 60°. Найдите φ = ∠А₁АС₁.

Решение

Зададим прямоугольную систему координат Oxyz так, как показано на рисунке 194, и рассмотрим единичный вектор a, сонаправленный с вектором AC₁. Вектор a имеет координаты {cos 60°; cos 60°; cos φ}, или $\frac{1}{2}$;$\frac{1}{2}$; cos φ. Так как |a| = 1, то получим равенство $\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$+cos²φ = 1. Отсюда cos²φ = $\frac{1}{2}$ или cos φ = ± 22. Так как угол φ острый, то cos φ = 22, откуда φ = 45°.

Для решения данной задачи введем прямоугольную систему координат, как показано на рисунке. Поместим начало координат, точку O, в вершину A. Направим ось Ox вдоль ребра AB, ось Oy вдоль ребра AD и ось Oz вдоль ребра $AA_1$.

В этой системе координат ребра AB, AD и $AA_1$ лежат на соответствующих осях. Углы $\angle BAC_1$, $\angle DAC_1$ и $\phi = \angle A_1AC_1$ — это углы, которые диагональ $AC_1$ образует с осями Ox, Oy и Oz соответственно. Косинусы этих углов называются направляющими косинусами вектора $\vec{AC_1}$.

Ключевое свойство направляющих косинусов заключается в том, что сумма их квадратов всегда равна единице. Если $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ — углы, которые вектор образует с осями Ox, Oy и Oz, то выполняется соотношение: $ \cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1 $

В нашем случае даны следующие углы:

• $\alpha = \angle BAC_1 = 60^\circ$ (угол с осью Ox)
• $\beta = \angle DAC_1 = 60^\circ$ (угол с осью Oy)
• $\gamma = \phi = \angle A_1AC_1$ (угол с осью Oz, который нужно найти)

Подставим известные значения в формулу: $ \cos^2(60^\circ) + \cos^2(60^\circ) + \cos^2 \phi = 1 $

Мы знаем, что значение косинуса $60^\circ$ равно $\frac{1}{2}$. Подставляем это значение в уравнение: $ \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \cos^2 \phi = 1 $

Выполним вычисления: $ \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \cos^2 \phi = 1 $ $ \frac{2}{4} + \cos^2 \phi = 1 $ $ \frac{1}{2} + \cos^2 \phi = 1 $

Теперь выразим $\cos^2 \phi$: $ \cos^2 \phi = 1 - \frac{1}{2} $ $ \cos^2 \phi = \frac{1}{2} $

Чтобы найти $\cos \phi$, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения: $ \cos \phi = \pm \sqrt{\frac{1}{2}} = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} $

Угол $\phi = \angle A_1AC_1$ является углом между ребром и диагональю прямоугольного параллелепипеда, выходящими из одной вершины. Такой угол всегда острый, то есть находится в диапазоне от $0^\circ$ до $90^\circ$. Косинус острого угла всегда положителен. Поэтому мы выбираем положительное значение: $ \cos \phi = \frac{\sqrt{2}}{2} $

Угол, косинус которого равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$, — это $45^\circ$. $ \phi = 45^\circ $

Ответ: $45^\circ$.