Номер 709, страница 179 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

709. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ AB = 1, ВС = 2, ВВ₁ = 3. Вычислите косинус угла между прямыми: а) АС и D₁B; б) AB₁ и ВС₁; в) A₁D и АС₁.

Для решения задачи воспользуемся координатным методом. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $A(0, 0, 0)$. Направим ось $Ox$ вдоль ребра $AB$, ось $Oy$ вдоль ребра $AD$ и ось $Oz$ вдоль ребра $AA_1$.

В этой системе координат, с учетом длин ребер $AB=1$, $BC=AD=2$ и $BB_1=AA_1=3$, вершины параллелепипеда будут иметь следующие координаты:

• $A(0, 0, 0)$
• $B(1, 0, 0)$
• $C(1, 2, 0)$
• $D(0, 2, 0)$
• $A_1(0, 0, 3)$
• $B_1(1, 0, 3)$
• $C_1(1, 2, 3)$
• $D_1(0, 2, 3)$

Косинус угла $\alpha$ между двумя прямыми, заданными направляющими векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$, вычисляется по формуле скалярного произведения векторов:

$cos(\alpha) = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$

а) AC и D?B

Найдем координаты направляющих векторов для прямых $AC$ и $D_1B$.

Вектор $\vec{AC}$ имеет координаты: $\vec{AC} = \{C_x - A_x; C_y - A_y; C_z - A_z\} = \{1-0; 2-0; 0-0\} = \{1; 2; 0\}$.

Вектор $\vec{D_1B}$ имеет координаты: $\vec{D_1B} = \{B_x - D_{1x}; B_y - D_{1y}; B_z - D_{1z}\} = \{1-0; 0-2; 0-3\} = \{1; -2; -3\}$.

Вычислим скалярное произведение векторов:

$\vec{AC} \cdot \vec{D_1B} = 1 \cdot 1 + 2 \cdot (-2) + 0 \cdot (-3) = 1 - 4 + 0 = -3$.

Найдем длины (модули) векторов:

$|\vec{AC}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 0^2} = \sqrt{1 + 4 + 0} = \sqrt{5}$.

$|\vec{D_1B}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + (-3)^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}$.

Теперь вычислим косинус угла $\alpha$ между прямыми:

$cos(\alpha) = \frac{|\vec{AC} \cdot \vec{D_1B}|}{|\vec{AC}| \cdot |\vec{D_1B}|} = \frac{|-3|}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{14}} = \frac{3}{\sqrt{70}}$.

Ответ: $\frac{3}{\sqrt{70}}$.

б) AB? и BC?

Найдем координаты направляющих векторов для прямых $AB_1$ и $BC_1$.

Вектор $\vec{AB_1}$: $\vec{AB_1} = \{B_{1x} - A_x; B_{1y} - A_y; B_{1z} - A_z\} = \{1-0; 0-0; 3-0\} = \{1; 0; 3\}$.

Вектор $\vec{BC_1}$: $\vec{BC_1} = \{C_{1x} - B_x; C_{1y} - B_y; C_{1z} - B_z\} = \{1-1; 2-0; 3-0\} = \{0; 2; 3\}$.

Вычислим скалярное произведение векторов:

$\vec{AB_1} \cdot \vec{BC_1} = 1 \cdot 0 + 0 \cdot 2 + 3 \cdot 3 = 0 + 0 + 9 = 9$.

Найдем длины векторов:

$|\vec{AB_1}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$.

$|\vec{BC_1}| = \sqrt{0^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$.

Вычислим косинус угла $\beta$ между прямыми:

$cos(\beta) = \frac{|\vec{AB_1} \cdot \vec{BC_1}|}{|\vec{AB_1}| \cdot |\vec{BC_1}|} = \frac{|9|}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{13}} = \frac{9}{\sqrt{130}}$.

Ответ: $\frac{9}{\sqrt{130}}$.

в) A?D и AC?

Найдем координаты направляющих векторов для прямых $A_1D$ и $AC_1$.

Вектор $\vec{A_1D}$: $\vec{A_1D} = \{D_x - A_{1x}; D_y - A_{1y}; D_z - A_{1z}\} = \{0-0; 2-0; 0-3\} = \{0; 2; -3\}$.

Вектор $\vec{AC_1}$: $\vec{AC_1} = \{C_{1x} - A_x; C_{1y} - A_y; C_{1z} - A_z\} = \{1-0; 2-0; 3-0\} = \{1; 2; 3\}$.

Вычислим скалярное произведение векторов:

$\vec{A_1D} \cdot \vec{AC_1} = 0 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + (-3) \cdot 3 = 0 + 4 - 9 = -5$.

Найдем длины векторов:

$|\vec{A_1D}| = \sqrt{0^2 + 2^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$.

$|\vec{AC_1}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}$.

Вычислим косинус угла $\gamma$ между прямыми:

$cos(\gamma) = \frac{|\vec{A_1D} \cdot \vec{AC_1}|}{|\vec{A_1D}| \cdot |\vec{AC_1}|} = \frac{|-5|}{\sqrt{13} \cdot \sqrt{14}} = \frac{5}{\sqrt{182}}$.

Ответ: $\frac{5}{\sqrt{182}}$.