Номер 702, страница 177 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

702. Все рёбра тетраэдра ABCD равны друг другу. Точки М и N — середины рёбер AD и ВС. Докажите, что MN ⋅ AD = MN ⋅ BC = 0.

По условию, все рёбра тетраэдра $ABCD$ равны друг другу. Такой тетраэдр является правильным, а все его грани — равносторонние треугольники. Пусть длина ребра тетраэдра равна $a$. Точки $M$ и $N$ являются серединами рёбер $AD$ и $BC$ соответственно. Требуется доказать, что скалярное произведение вектора $\vec{MN}$ на вектор $\vec{AD}$ равно нулю, и скалярное произведение вектора $\vec{MN}$ на вектор $\vec{BC}$ также равно нулю.

Для доказательства воспользуемся векторным методом. Выберем вершину $A$ в качестве начала отсчёта. Тогда векторы, выходящие из этой вершины, будут радиус-векторами других вершин: $\vec{AB}$, $\vec{AC}$, $\vec{AD}$.

Поскольку $M$ — середина ребра $AD$, радиус-вектор точки $M$ выражается как $\vec{AM} = \frac{1}{2}\vec{AD}$.
Поскольку $N$ — середина ребра $BC$, радиус-вектор точки $N$ можно найти как полусумму радиус-векторов точек $B$ и $C$: $\vec{AN} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AC})$.

Теперь выразим вектор $\vec{MN}$ через векторы, выходящие из точки $A$:
$\vec{MN} = \vec{AN} - \vec{AM} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AC}) - \frac{1}{2}\vec{AD} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AC} - \vec{AD})$.

Так как тетраэдр правильный, длины векторов, соответствующих его рёбрам, равны $a$:$|\vec{AB}| = |\vec{AC}| = |\vec{AD}| = a$.Углы между рёбрами, выходящими из одной вершины, равны $60^\circ$ (углы равностороннего треугольника). Это позволяет нам вычислить скалярные произведения этих векторов:$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}| \cos(60^\circ) = a \cdot a \cdot \frac{1}{2} = \frac{a^2}{2}$
$\vec{AB} \cdot \vec{AD} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{AD}| \cos(60^\circ) = a \cdot a \cdot \frac{1}{2} = \frac{a^2}{2}$
$\vec{AC} \cdot \vec{AD} = |\vec{AC}| \cdot |\vec{AD}| \cos(60^\circ) = a \cdot a \cdot \frac{1}{2} = \frac{a^2}{2}$

Доказательство, что $\vec{MN} \cdot \vec{AD} = 0$

Вычислим скалярное произведение $\vec{MN}$ и $\vec{AD}$:$\vec{MN} \cdot \vec{AD} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AC} - \vec{AD}) \cdot \vec{AD}$
Используя дистрибутивное свойство скалярного произведения, раскроем скобки:$\vec{MN} \cdot \vec{AD} = \frac{1}{2}(\vec{AB} \cdot \vec{AD} + \vec{AC} \cdot \vec{AD} - \vec{AD} \cdot \vec{AD})$
Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины: $\vec{AD} \cdot \vec{AD} = |\vec{AD}|^2 = a^2$.
Подставим ранее найденные значения скалярных произведений:$\vec{MN} \cdot \vec{AD} = \frac{1}{2}\left(\frac{a^2}{2} + \frac{a^2}{2} - a^2\right) = \frac{1}{2}(a^2 - a^2) = 0$.Так как скалярное произведение равно нулю, векторы $\vec{MN}$ и $\vec{AD}$ перпендикулярны.
Ответ: Равенство $\vec{MN} \cdot \vec{AD} = 0$ доказано.

Доказательство, что $\vec{MN} \cdot \vec{BC} = 0$

Выразим вектор $\vec{BC}$ через векторы с началом в точке $A$:$\vec{BC} = \vec{AC} - \vec{AB}$.Теперь вычислим скалярное произведение $\vec{MN}$ и $\vec{BC}$:$\vec{MN} \cdot \vec{BC} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AC} - \vec{AD}) \cdot (\vec{AC} - \vec{AB})$
Раскроем скобки:$\vec{MN} \cdot \vec{BC} = \frac{1}{2}(\vec{AB} \cdot \vec{AC} - \vec{AB} \cdot \vec{AB} + \vec{AC} \cdot \vec{AC} - \vec{AC} \cdot \vec{AB} - \vec{AD} \cdot \vec{AC} + \vec{AD} \cdot \vec{AB})$
Учитывая, что $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = \vec{AC} \cdot \vec{AB}$, эти слагаемые взаимно уничтожаются.$\vec{MN} \cdot \vec{BC} = \frac{1}{2}(-\vec{AB} \cdot \vec{AB} + \vec{AC} \cdot \vec{AC} - \vec{AD} \cdot \vec{AC} + \vec{AD} \cdot \vec{AB})$
Подставим значения скалярных квадратов и скалярных произведений:$-\vec{AB} \cdot \vec{AB} = -|\vec{AB}|^2 = -a^2$
$\vec{AC} \cdot \vec{AC} = |\vec{AC}|^2 = a^2$
$-\vec{AD} \cdot \vec{AC} = -\frac{a^2}{2}$
$\vec{AD} \cdot \vec{AB} = \frac{a^2}{2}$
Получаем:$\vec{MN} \cdot \vec{BC} = \frac{1}{2}\left(-a^2 + a^2 - \frac{a^2}{2} + \frac{a^2}{2}\right) = \frac{1}{2}(0) = 0$.Так как скалярное произведение равно нулю, векторы $\vec{MN}$ и $\vec{BC}$ перпендикулярны.
Ответ: Равенство $\vec{MN} \cdot \vec{BC} = 0$ доказано.