Номер 696, страница 176 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

696. Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Вычислите косинус угла между векторами:

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат. Пусть ребро куба равно $a$. Для удобства вычислений примем $a=1$, так как значение косинуса угла не зависит от длины ребра. Поместим вершину $A$ в начало координат $A(0,0,0)$. Направим оси координат вдоль ребер куба: ось Ox по ребру $AB$, ось Oy по ребру $AD$ и ось Oz по ребру $AA_1$.

В этой системе координат вершины куба будут иметь следующие координаты:
$A(0,0,0)$, $B(1,0,0)$, $C(1,1,0)$, $D(0,1,0)$,
$A_1(0,0,1)$, $B_1(1,0,1)$, $C_1(1,1,1)$, $D_1(0,1,1)$.

Косинус угла $\theta$ между двумя ненулевыми векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$ вычисляется по формуле скалярного произведения: $\cos(\theta) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|}$.

а) Вычислим косинус угла между векторами $\vec{AA_1}$ и $\vec{AC_1}$.

Сначала найдем координаты этих векторов. Вектор равен разности координат его конца и начала: $\vec{AA_1} = A_1 - A = (0-0, 0-0, 1-0) = (0, 0, 1)$. $\vec{AC_1} = C_1 - A = (1-0, 1-0, 1-0) = (1, 1, 1)$.

Теперь вычислим их скалярное произведение: $\vec{AA_1} \cdot \vec{AC_1} = 0 \cdot 1 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 1 = 1$.

Далее найдем длины (модули) векторов: $|\vec{AA_1}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{1} = 1$. $|\vec{AC_1}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$.

Подставим найденные значения в формулу для косинуса угла: $\cos(\angle(\vec{AA_1}, \vec{AC_1})) = \frac{\vec{AA_1} \cdot \vec{AC_1}}{|\vec{AA_1}| |\vec{AC_1}|} = \frac{1}{1 \cdot \sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$.

б) Вычислим косинус угла между векторами $\vec{BD_1}$ и $\vec{DB_1}$.

Найдем координаты векторов: $\vec{BD_1} = D_1 - B = (0-1, 1-0, 1-0) = (-1, 1, 1)$. $\vec{DB_1} = B_1 - D = (1-0, 0-1, 1-0) = (1, -1, 1)$.

Вычислим скалярное произведение векторов: $\vec{BD_1} \cdot \vec{DB_1} = (-1) \cdot 1 + 1 \cdot (-1) + 1 \cdot 1 = -1 - 1 + 1 = -1$.

Вычислим длины векторов. Оба вектора являются главными диагоналями куба, их длины равны $\sqrt{3}$: $|\vec{BD_1}| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{1+1+1} = \sqrt{3}$. $|\vec{DB_1}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{1+1+1} = \sqrt{3}$.

Найдем косинус угла: $\cos(\angle(\vec{BD_1}, \vec{DB_1})) = \frac{\vec{BD_1} \cdot \vec{DB_1}}{|\vec{BD_1}| |\vec{DB_1}|} = \frac{-1}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = -\frac{1}{3}$.

Ответ: $-\frac{1}{3}$.

в) Вычислим косинус угла между векторами $\vec{DB}$ и $\vec{AC_1}$.

Найдем координаты векторов: $\vec{DB} = B - D = (1-0, 0-1, 0-0) = (1, -1, 0)$. $\vec{AC_1} = C_1 - A = (1-0, 1-0, 1-0) = (1, 1, 1)$.

Вычислим скалярное произведение векторов: $\vec{DB} \cdot \vec{AC_1} = 1 \cdot 1 + (-1) \cdot 1 + 0 \cdot 1 = 1 - 1 + 0 = 0$.

Поскольку скалярное произведение векторов равно нулю, это означает, что векторы перпендикулярны, и косинус угла между ними равен нулю. $\cos(\angle(\vec{DB}, \vec{AC_1})) = 0$.

Ответ: $0$.