Номер 692, страница 176 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

692. Вычислите угол между векторами:

Для нахождения угла $\theta$ между двумя векторами $\vec{a}\{x_1; y_1; z_1\}$ и $\vec{b}\{x_2; y_2; z_2\}$ используется формула, основанная на их скалярном произведении и модулях (длинах):

$\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = \frac{x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2} \cdot \sqrt{x_2^2 + y_2^2 + z_2^2}}$

После вычисления значения $\cos\theta$, угол $\theta$ находится как $\arccos(\cos\theta)$.

а)

Даны векторы $\vec{a}\{2; -2; 0\}$ и $\vec{b}\{3; 0; -3\}$.
1. Находим скалярное произведение векторов:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 3 + (-2) \cdot 0 + 0 \cdot (-3) = 6 + 0 + 0 = 6$.
2. Находим модули векторов:
$|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 0^2} = \sqrt{4 + 4 + 0} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
$|\vec{b}| = \sqrt{3^2 + 0^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 + 0 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$.
3. Вычисляем косинус угла между векторами:
$\cos\theta = \frac{6}{2\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{2}} = \frac{6}{6 \cdot 2} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$.
4. Находим угол:
$\theta = \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$

б)

Даны векторы $\vec{a}\{\sqrt{2}; \sqrt{2}; 2\}$ и $\vec{b}\{-3; -3; 0\}$.
1. Скалярное произведение:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = \sqrt{2} \cdot (-3) + \sqrt{2} \cdot (-3) + 2 \cdot 0 = -3\sqrt{2} - 3\sqrt{2} + 0 = -6\sqrt{2}$.
2. Модули векторов:
$|\vec{a}| = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2 + 2^2} = \sqrt{2 + 2 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
$|\vec{b}| = \sqrt{(-3)^2 + (-3)^2 + 0^2} = \sqrt{9 + 9 + 0} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$.
3. Косинус угла:
$\cos\theta = \frac{-6\sqrt{2}}{2\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{2}} = \frac{-6\sqrt{2}}{12} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
4. Угол:
$\theta = \arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 135^\circ$.

Ответ: $135^\circ$

в)

Даны векторы $\vec{a}\{0; 5; 0\}$ и $\vec{b}\{0; -\sqrt{3}; 1\}$.
1. Скалярное произведение:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \cdot 0 + 5 \cdot (-\sqrt{3}) + 0 \cdot 1 = -5\sqrt{3}$.
2. Модули векторов:
$|\vec{a}| = \sqrt{0^2 + 5^2 + 0^2} = \sqrt{25} = 5$.
$|\vec{b}| = \sqrt{0^2 + (-\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$.
3. Косинус угла:
$\cos\theta = \frac{-5\sqrt{3}}{5 \cdot 2} = \frac{-5\sqrt{3}}{10} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
4. Угол:
$\theta = \arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 150^\circ$.

Ответ: $150^\circ$

г)

Даны векторы $\vec{a}\{-2,5; 2,5; 0\}$ и $\vec{b}\{-5; 5; 5\sqrt{2}\}$.
1. Скалярное произведение:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (-2,5) \cdot (-5) + 2,5 \cdot 5 + 0 \cdot 5\sqrt{2} = 12,5 + 12,5 + 0 = 25$.
2. Модули векторов:
$|\vec{a}| = \sqrt{(-2,5)^2 + (2,5)^2 + 0^2} = \sqrt{6,25 + 6,25} = \sqrt{12,5} = \sqrt{\frac{25}{2}} = \frac{5}{\sqrt{2}}$.
$|\vec{b}| = \sqrt{(-5)^2 + 5^2 + (5\sqrt{2})^2} = \sqrt{25 + 25 + 50} = \sqrt{100} = 10$.
3. Косинус угла:
$\cos\theta = \frac{25}{\frac{5}{\sqrt{2}} \cdot 10} = \frac{25}{\frac{50}{\sqrt{2}}} = \frac{25\sqrt{2}}{50} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
4. Угол:
$\theta = \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$

д)

Даны векторы $\vec{a}\{-\sqrt{2}; -\sqrt{2}; -2\}$ и $\vec{b}\{\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2}; -1\}$.
1. Скалярное произведение:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (-\sqrt{2}) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + (-\sqrt{2}) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + (-2) \cdot (-1) = -\frac{2}{2} - \frac{2}{2} + 2 = -1 - 1 + 2 = 0$.
Поскольку скалярное произведение векторов равно нулю, векторы перпендикулярны (ортогональны), и угол между ними составляет $90^\circ$.
$\cos\theta = 0 \implies \theta = 90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$