Номер 691, страница 176 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

691. Даны точки

Докажите, что ABCD — квадрат.

Для того чтобы доказать, что четырёхугольник ABCD является квадратом, необходимо установить два факта:

1. Все его стороны равны по длине.
2. Хотя бы один из его углов является прямым.

Сначала найдём векторы, соответствующие сторонам четырёхугольника, по координатам их начальных и конечных точек. Координаты вектора $\vec{MN}$ с началом в точке $M(x_1; y_1; z_1)$ и концом в точке $N(x_2; y_2; z_2)$ вычисляются как $\{x_2 - x_1; y_2 - y_1; z_2 - z_1\}$.

• $\vec{AB} = \{\sqrt{2} - 0; 1 - 1; 2 - 2\} = \{\sqrt{2}; 0; 0\}$
• $\vec{BC} = \{\sqrt{2} - \sqrt{2}; 2 - 1; 1 - 2\} = \{0; 1; -1\}$
• $\vec{CD} = \{0 - \sqrt{2}; 2 - 2; 1 - 1\} = \{-\sqrt{2}; 0; 0\}$
• $\vec{DA} = \{0 - 0; 1 - 2; 2 - 1\} = \{0; -1; 1\}$

Теперь вычислим длины этих векторов (которые и являются длинами сторон) по формуле $|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.

• $|AB| = |\vec{AB}| = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + 0^2 + 0^2} = \sqrt{2}$
• $|BC| = |\vec{BC}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$
• $|CD| = |\vec{CD}| = \sqrt{(-\sqrt{2})^2 + 0^2 + 0^2} = \sqrt{2}$
• $|DA| = |\vec{DA}| = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$

Поскольку $|AB| = |BC| = |CD| = |DA| = \sqrt{2}$, все стороны четырёхугольника равны. Это доказывает, что ABCD — ромб.

Далее, проверим, является ли угол при вершине A прямым. Угол между сторонами AB и AD будет прямым, если соответствующие векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$ перпендикулярны. Вектор $\vec{AD}$ противоположен вектору $\vec{DA}$, поэтому $\vec{AD} = -\vec{DA} = -\{0; -1; 1\} = \{0; 1; -1\}$.

Перпендикулярность векторов можно проверить через их скалярное произведение: если оно равно нулю, то векторы перпендикулярны. Скалярное произведение векторов $\vec{a}\{x_1; y_1; z_1\}$ и $\vec{b}\{x_2; y_2; z_2\}$ вычисляется по формуле $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$.

$\vec{AB} \cdot \vec{AD} = (\sqrt{2}) \cdot 0 + 0 \cdot 1 + 0 \cdot (-1) = 0 + 0 + 0 = 0$.

Так как скалярное произведение равно нулю, векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$ перпендикулярны, и, следовательно, угол $\angle DAB = 90^\circ$.

Ромб, у которого есть прямой угол, является квадратом. Таким образом, мы доказали, что ABCD — квадрат.

Ответ: Утверждение, что ABCD является квадратом, доказано, так как все его стороны равны $\sqrt{2}$, а угол при вершине A прямой.