Номер 695, страница 176 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

695. Найдите углы, периметр и площадь треугольника, вершинами которого являются точки А(1; −1; 3), В(3; −1; 1) и С(−1; 1; 3).

Для решения задачи сначала найдем векторы, соответствующие сторонам треугольника, и их длины (модули).

Даны вершины треугольника: $A(1; -1; 3)$, $B(3; -1; 1)$, $C(-1; 1; 3)$.

Найдем координаты векторов $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ и $\vec{BC}$:

$\vec{AB} = (3-1; -1-(-1); 1-3) = (2; 0; -2)$

$\vec{AC} = (-1-1; 1-(-1); 3-3) = (-2; 2; 0)$

$\vec{BC} = (-1-3; 1-(-1); 3-1) = (-4; 2; 2)$

Теперь найдем длины этих векторов, которые являются длинами сторон треугольника:

Длина стороны $AB$: $c = |\vec{AB}| = \sqrt{2^2 + 0^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 0 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.

Длина стороны $AC$: $b = |\vec{AC}| = \sqrt{(-2)^2 + 2^2 + 0^2} = \sqrt{4 + 4 + 0} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.

Длина стороны $BC$: $a = |\vec{BC}| = \sqrt{(-4)^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 4 + 4} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$.

Так как длины сторон $AB$ и $AC$ равны, треугольник $ABC$ — равнобедренный.

Периметр

Периметр треугольника $P$ — это сумма длин всех его сторон.

$P = |\vec{AB}| + |\vec{AC}| + |\vec{BC}| = 2\sqrt{2} + 2\sqrt{2} + 2\sqrt{6} = 4\sqrt{2} + 2\sqrt{6}$.

Ответ: $P = 4\sqrt{2} + 2\sqrt{6}$.

Углы

Углы треугольника можно найти, используя скалярное произведение векторов. Косинус угла $\alpha$ между векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$ вычисляется по формуле:

$\cos\alpha = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$

1. Угол A (угол BAC) находится между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$.

Скалярное произведение $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 2 \cdot (-2) + 0 \cdot 2 + (-2) \cdot 0 = -4$.

$\cos A = \frac{-4}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}|} = \frac{-4}{2\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{2}} = \frac{-4}{8} = -\frac{1}{2}$.

Отсюда, угол $A = \arccos(-\frac{1}{2}) = 120^\circ$.

2. Угол B (угол ABC) находится между векторами $\vec{BA}$ и $\vec{BC}$.

$\vec{BA} = -\vec{AB} = (-2; 0; 2)$.

Скалярное произведение $\vec{BA} \cdot \vec{BC} = (-2) \cdot (-4) + 0 \cdot 2 + 2 \cdot 2 = 8 + 0 + 4 = 12$.

$\cos B = \frac{12}{|\vec{BA}| \cdot |\vec{BC}|} = \frac{12}{2\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{6}} = \frac{12}{4\sqrt{12}} = \frac{3}{\sqrt{12}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Отсюда, угол $B = \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = 30^\circ$.

3. Угол C (угол BCA). Поскольку треугольник равнобедренный с основанием $BC$, то $\angle C = \angle B = 30^\circ$.

Проверка: сумма углов треугольника $A+B+C = 120^\circ + 30^\circ + 30^\circ = 180^\circ$.

Ответ: $\angle A = 120^\circ$, $\angle B = 30^\circ$, $\angle C = 30^\circ$.

Площадь

Площадь треугольника $S$ можно вычислить как половину модуля векторного произведения векторов, исходящих из одной вершины, например, $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$.

$S = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}|$.

Найдем векторное произведение:

$\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & 0 & -2 \\ -2 & 2 & 0 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 0 - 2 \cdot (-2)) - \mathbf{j}(2 \cdot 0 - (-2) \cdot (-2)) + \mathbf{k}(2 \cdot 2 - 0 \cdot (-2)) = 4\mathbf{i} + 4\mathbf{j} + 4\mathbf{k} = (4; 4; 4)$.

Найдем модуль этого вектора:

$|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{4^2 + 4^2 + 4^2} = \sqrt{16+16+16} = \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$.

Вычислим площадь:

$S = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$.

Также площадь можно найти по формуле $S = \frac{1}{2} b c \sin A$:

$S = \frac{1}{2} |\vec{AC}| \cdot |\vec{AB}| \cdot \sin(120^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$.

Ответ: $S = 2\sqrt{3}$.