Страница 176 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

682. Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Найдите угол между векторами:

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат. Пусть вершина $A$ куба совпадает с началом координат, а ребра $AB$, $AD$, $AA_1$ лежат на осях $Ox$, $Oy$, $Oz$ соответственно. Пусть длина ребра куба равна $a$. Тогда координаты вершин куба будут следующими: $A(0,0,0)$, $B(a,0,0)$, $C(a,a,0)$, $D(0,a,0)$, $A_1(0,0,a)$, $B_1(a,0,a)$, $C_1(a,a,a)$, $D_1(0,a,a)$. Угол $\alpha$ между векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$ находится по формуле: $\cos \alpha = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|}$

а) $\vec{B_1B}$ и $\vec{B_1C}$
Найдем координаты векторов:
$\vec{B_1B} = (a-a, 0-0, 0-a) = (0, 0, -a)$
$\vec{B_1C} = (a-a, a-0, 0-a) = (0, a, -a)$
Найдем скалярное произведение векторов:
$\vec{B_1B} \cdot \vec{B_1C} = 0 \cdot 0 + 0 \cdot a + (-a) \cdot (-a) = a^2$
Найдем модули векторов:
$|\vec{B_1B}| = \sqrt{0^2+0^2+(-a)^2} = a$
$|\vec{B_1C}| = \sqrt{0^2+a^2+(-a)^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$
Найдем косинус угла между векторами:
$\cos \alpha = \frac{a^2}{a \cdot a\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
Следовательно, угол $\alpha = 45^\circ$.
Ответ: $45^\circ$

б) $\vec{DA}$ и $\vec{B_1D_1}$
Найдем координаты векторов:
$\vec{DA} = (0-0, 0-a, 0-0) = (0, -a, 0)$
$\vec{B_1D_1} = (0-a, a-0, a-a) = (-a, a, 0)$
Найдем скалярное произведение векторов:
$\vec{DA} \cdot \vec{B_1D_1} = 0 \cdot (-a) + (-a) \cdot a + 0 \cdot 0 = -a^2$
Найдем модули векторов:
$|\vec{DA}| = \sqrt{0^2+(-a)^2+0^2} = a$
$|\vec{B_1D_1}| = \sqrt{(-a)^2+a^2+0^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$
Найдем косинус угла между векторами:
$\cos \alpha = \frac{-a^2}{a \cdot a\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$
Следовательно, угол $\alpha = 135^\circ$.
Ответ: $135^\circ$

в) $\vec{A_1C_1}$ и $\vec{A_1B}$
Найдем координаты векторов:
$\vec{A_1C_1} = (a-0, a-0, a-a) = (a, a, 0)$
$\vec{A_1B} = (a-0, 0-0, 0-a) = (a, 0, -a)$
Найдем скалярное произведение векторов:
$\vec{A_1C_1} \cdot \vec{A_1B} = a \cdot a + a \cdot 0 + 0 \cdot (-a) = a^2$
Найдем модули векторов:
$|\vec{A_1C_1}| = \sqrt{a^2+a^2+0^2} = a\sqrt{2}$
$|\vec{A_1B}| = \sqrt{a^2+0^2+(-a)^2} = a\sqrt{2}$
Найдем косинус угла между векторами:
$\cos \alpha = \frac{a^2}{a\sqrt{2} \cdot a\sqrt{2}} = \frac{a^2}{2a^2} = \frac{1}{2}$
Следовательно, угол $\alpha = 60^\circ$.
Ответ: $60^\circ$

г) $\vec{BC}$ и $\vec{AC}$
Найдем координаты векторов:
$\vec{BC} = (a-a, a-0, 0-0) = (0, a, 0)$
$\vec{AC} = (a-0, a-0, 0-0) = (a, a, 0)$
Найдем скалярное произведение векторов:
$\vec{BC} \cdot \vec{AC} = 0 \cdot a + a \cdot a + 0 \cdot 0 = a^2$
Найдем модули векторов:
$|\vec{BC}| = \sqrt{0^2+a^2+0^2} = a$
$|\vec{AC}| = \sqrt{a^2+a^2+0^2} = a\sqrt{2}$
Найдем косинус угла между векторами:
$\cos \alpha = \frac{a^2}{a \cdot a\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
Следовательно, угол $\alpha = 45^\circ$.
Ответ: $45^\circ$

д) $\vec{BB_1}$ и $\vec{AC}$
Найдем координаты векторов:
$\vec{BB_1} = (a-a, 0-0, a-0) = (0, 0, a)$
$\vec{AC} = (a-0, a-0, 0-0) = (a, a, 0)$
Найдем скалярное произведение векторов:
$\vec{BB_1} \cdot \vec{AC} = 0 \cdot a + 0 \cdot a + a \cdot 0 = 0$
Так как скалярное произведение равно нулю, векторы перпендикулярны.
Следовательно, угол $\alpha = 90^\circ$.
Ответ: $90^\circ$

е) $\vec{B_1C}$ и $\vec{AD_1}$
Найдем координаты векторов:
$\vec{B_1C} = (a-a, a-0, 0-a) = (0, a, -a)$
$\vec{AD_1} = (0-0, a-0, a-0) = (0, a, a)$
Найдем скалярное произведение векторов:
$\vec{B_1C} \cdot \vec{AD_1} = 0 \cdot 0 + a \cdot a + (-a) \cdot a = a^2 - a^2 = 0$
Так как скалярное произведение равно нулю, векторы перпендикулярны.
Следовательно, угол $\alpha = 90^\circ$.
Ответ: $90^\circ$

ж) $\vec{A_1D_1}$ и $\vec{BC}$
Найдем координаты векторов:
$\vec{A_1D_1} = (0-0, a-0, a-a) = (0, a, 0)$
$\vec{BC} = (a-a, a-0, 0-0) = (0, a, 0)$
Векторы $\vec{A_1D_1}$ и $\vec{BC}$ равны ($\vec{A_1D_1} = \vec{BC}$), так как их соответствующие координаты равны. Следовательно, они сонаправлены.
Следовательно, угол между ними равен $0^\circ$.
Ответ: $0^\circ$

з) $\vec{AA_1}$ и $\vec{C_1C}$
Найдем координаты векторов:
$\vec{AA_1} = (0-0, 0-0, a-0) = (0, 0, a)$
$\vec{C_1C} = (a-a, a-a, 0-a) = (0, 0, -a)$
Заметим, что $\vec{C_1C} = -1 \cdot \vec{AA_1}$. Это означает, что векторы коллинеарны и направлены в противоположные стороны.
Следовательно, угол между ними равен $180^\circ$.
Ответ: $180^\circ$

683. Угол между векторами AB и CD равен φ. Найдите углы

По условию задачи, угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ равен $\phi$. Обозначим этот угол как $(\widehat{\vec{AB}, \vec{CD}}) = \phi$.

Для нахождения искомых углов воспользуемся основными свойствами векторов и углов между ними. Вектор $\vec{BA}$ является противоположным вектору $\vec{AB}$, то есть $\vec{BA} = -\vec{AB}$. Аналогично, $\vec{DC} = -\vec{CD}$.

Угол между двумя векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ и угол между противоположными им векторами $-\vec{a}$ и $-\vec{b}$ равны: $(\widehat{-\vec{a}, -\vec{b}}) = (\widehat{\vec{a}, \vec{b}})$.

Угол между вектором $\vec{a}$ и вектором $-\vec{b}$, противоположным вектору $\vec{b}$, является смежным с углом между $\vec{a}$ и $\vec{b}$, то есть их сумма равна $180^\circ$ (или $\pi$ радиан): $(\widehat{\vec{a}, -\vec{b}}) = 180^\circ - (\widehat{\vec{a}, \vec{b}})$.

Угол между векторами $\vec{BA}$ и $\vec{DC}$

Нам необходимо найти угол $(\widehat{\vec{BA}, \vec{DC}})$. Мы заменяем оба исходных вектора на противоположные:

$\vec{BA} = -\vec{AB}$

$\vec{DC} = -\vec{CD}$

Угол между двумя векторами равен углу между двумя противоположными им векторами. Геометрически это можно представить как вертикальные углы, образуемые при пересечении прямых, на которых лежат векторы.

Следовательно, $(\widehat{\vec{BA}, \vec{DC}}) = (\widehat{-\vec{AB}, -\vec{CD}}) = (\widehat{\vec{AB}, \vec{CD}}) = \phi$.

Ответ: $\phi$.

Угол между векторами $\vec{BA}$ и $\vec{CD}$

Нам необходимо найти угол $(\widehat{\vec{BA}, \vec{CD}})$. В этом случае мы заменяем только один вектор $\vec{AB}$ на противоположный ему $\vec{BA}$, а вектор $\vec{CD}$ оставляем без изменений.

Угол между векторами $\vec{BA}$ и $\vec{CD}$ будет смежным с углом между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$.

Таким образом, $(\widehat{\vec{BA}, \vec{CD}}) = (\widehat{-\vec{AB}, \vec{CD}}) = 180^\circ - (\widehat{\vec{AB}, \vec{CD}}) = 180^\circ - \phi$. Если угол измеряется в радианах, то он равен $\pi - \phi$.

Ответ: $180^\circ - \phi$ (или $\pi - \phi$).

Угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$

Нам необходимо найти угол $(\widehat{\vec{AB}, \vec{DC}})$. Этот случай аналогичен предыдущему. Вектор $\vec{AB}$ остается прежним, а вектор $\vec{CD}$ заменяется на противоположный ему вектор $\vec{DC}$.

Угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$ будет смежным с углом между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$.

Таким образом, $(\widehat{\vec{AB}, \vec{DC}}) = (\widehat{\vec{AB}, -\vec{CD}}) = 180^\circ - (\widehat{\vec{AB}, \vec{CD}}) = 180^\circ - \phi$. Если угол измеряется в радианах, то он равен $\pi - \phi$.

Ответ: $180^\circ - \phi$ (или $\pi - \phi$).

684. Ребро куба ABCDA₁B₁C₁D₁ равно а, точка O₁ — центр грани A₁B₁C₁D₁. Вычислите скалярное произведение векторов:

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат. Пусть точка $A$ — начало координат, а оси $Ox$, $Oy$ и $Oz$ направлены вдоль ребер $AB$, $AD$ и $AA_1$ соответственно. Ребро куба равно $a$. Тогда вершины куба имеют следующие координаты: $A(0,0,0)$, $B(a,0,0)$, $C(a,a,0)$, $D(0,a,0)$, $A_1(0,0,a)$, $B_1(a,0,a)$, $C_1(a,a,a)$, $D_1(0,a,a)$.

Точка $O_1$ — центр грани $A_1B_1C_1D_1$, является серединой диагонали $A_1C_1$. Ее координаты: $O_1 = \left(\frac{0+a}{2}, \frac{0+a}{2}, \frac{a+a}{2}\right) = \left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, a\right)$.

Скалярное произведение векторов $\vec{u}=(x_1, y_1, z_1)$ и $\vec{v}=(x_2, y_2, z_2)$ вычисляется по формуле $\vec{u} \cdot \vec{v} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$.

а) Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{AD}$ и $\vec{B_1C_1}$.

Найдем координаты векторов:

$\vec{AD} = D - A = (0, a, 0) - (0, 0, 0) = (0, a, 0)$.

$\vec{B_1C_1} = C_1 - B_1 = (a, a, a) - (a, 0, a) = (0, a, 0)$.

Вычислим скалярное произведение:

$\vec{AD} \cdot \vec{B_1C_1} = 0 \cdot 0 + a \cdot a + 0 \cdot 0 = a^2$.

Другой способ: векторы $\vec{AD}$ и $\vec{B_1C_1}$ равны, так как они получаются параллельным переносом. Следовательно, их скалярное произведение равно квадрату длины любого из них: $\vec{AD} \cdot \vec{B_1C_1} = \vec{AD} \cdot \vec{AD} = |\vec{AD}|^2 = a^2$.

Ответ: $a^2$.

б) Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{AC}$ и $\vec{C_1A_1}$.

Найдем координаты векторов:

$\vec{AC} = C - A = (a, a, 0) - (0, 0, 0) = (a, a, 0)$.

$\vec{C_1A_1} = A_1 - C_1 = (0, 0, a) - (a, a, a) = (-a, -a, 0)$.

Вычислим скалярное произведение:

$\vec{AC} \cdot \vec{C_1A_1} = a \cdot (-a) + a \cdot (-a) + 0 \cdot 0 = -a^2 - a^2 = -2a^2$.

Ответ: $-2a^2$.

в) Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{D_1B}$ и $\vec{AC}$.

Найдем координаты векторов:

$\vec{D_1B} = B - D_1 = (a, 0, 0) - (0, a, a) = (a, -a, -a)$.

Координаты вектора $\vec{AC}$ из пункта б): $\vec{AC} = (a, a, 0)$.

Вычислим скалярное произведение:

$\vec{D_1B} \cdot \vec{AC} = a \cdot a + (-a) \cdot a + (-a) \cdot 0 = a^2 - a^2 + 0 = 0$.

Ответ: $0$.

г) Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{BA_1}$ и $\vec{BC_1}$.

Векторы $\vec{BA_1}$ и $\vec{BC_1}$ выходят из одной точки $B$. Найдем их длины и угол между ними. $BA_1$ — диагональ грани $ABB_1A_1$, ее длина $|\vec{BA_1}| = \sqrt{AB^2 + AA_1^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$. $BC_1$ — диагональ грани $BCC_1B_1$, ее длина $|\vec{BC_1}| = \sqrt{BC^2 + CC_1^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$. Рассмотрим треугольник $A_1BC_1$. Его стороны: $BA_1$, $BC_1$ и $A_1C_1$. Длина $A_1C_1$ — это диагональ грани $A_1B_1C_1D_1$, ее длина также равна $a\sqrt{2}$. Поскольку все три стороны треугольника $A_1BC_1$ равны $a\sqrt{2}$, он является равносторонним. Угол между векторами $\vec{BA_1}$ и $\vec{BC_1}$ — это угол $\angle A_1BC_1$, который равен $60^\circ$.

Скалярное произведение равно:

$\vec{BA_1} \cdot \vec{BC_1} = |\vec{BA_1}| \cdot |\vec{BC_1}| \cdot \cos(\angle A_1BC_1) = (a\sqrt{2}) \cdot (a\sqrt{2}) \cdot \cos(60^\circ) = 2a^2 \cdot \frac{1}{2} = a^2$.

Ответ: $a^2$.

д) Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{A_1O_1}$ и $\vec{A_1C_1}$.

Точка $O_1$ является центром грани $A_1B_1C_1D_1$, а значит, и серединой ее диагонали $A_1C_1$. Следовательно, вектор $\vec{A_1O_1}$ сонаправлен с вектором $\vec{A_1C_1}$, и его длина равна половине длины вектора $\vec{A_1C_1}$: $\vec{A_1O_1} = \frac{1}{2}\vec{A_1C_1}$. Длина диагонали грани $|\vec{A_1C_1}| = \sqrt{A_1B_1^2 + B_1C_1^2} = \sqrt{a^2+a^2} = a\sqrt{2}$.

Скалярное произведение равно:

$\vec{A_1O_1} \cdot \vec{A_1C_1} = \left(\frac{1}{2}\vec{A_1C_1}\right) \cdot \vec{A_1C_1} = \frac{1}{2} (\vec{A_1C_1})^2 = \frac{1}{2} |\vec{A_1C_1}|^2 = \frac{1}{2} (a\sqrt{2})^2 = \frac{1}{2} \cdot 2a^2 = a^2$.

Ответ: $a^2$.

е) Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{D_1O_1}$ и $\vec{B_1O_1}$.

Точка $O_1$ — центр квадрата $A_1B_1C_1D_1$. Векторы $\vec{D_1O_1}$ и $\vec{B_1O_1}$ лежат на одной прямой — диагонали $B_1D_1$, но направлены в противоположные стороны, так как оба направлены к центру $O_1$ от вершин. Угол между ними равен $180^\circ$. Длина каждого из этих векторов равна половине длины диагонали грани: $|\vec{D_1O_1}| = |\vec{B_1O_1}| = \frac{1}{2} |B_1D_1| = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Скалярное произведение равно:

$\vec{D_1O_1} \cdot \vec{B_1O_1} = |\vec{D_1O_1}| \cdot |\vec{B_1O_1}| \cdot \cos(180^\circ) = \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right) \cdot \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right) \cdot (-1) = \frac{2a^2}{4} \cdot (-1) = -\frac{a^2}{2}$.

Ответ: $-\frac{a^2}{2}$.

ж) Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{BO_1}$ и $\vec{C_1B}$.

Найдем координаты векторов:

$\vec{BO_1} = O_1 - B = \left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, a\right) - (a, 0, 0) = \left(-\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, a\right)$.

$\vec{C_1B} = B - C_1 = (a, 0, 0) - (a, a, a) = (0, -a, -a)$.

Вычислим скалярное произведение:

$\vec{BO_1} \cdot \vec{C_1B} = \left(-\frac{a}{2}\right) \cdot 0 + \left(\frac{a}{2}\right) \cdot (-a) + a \cdot (-a) = 0 - \frac{a^2}{2} - a^2 = -\frac{3a^2}{2}$.

Ответ: $-\frac{3a^2}{2}$.

685. Даны векторы

Вычислите

Для решения задачи воспользуемся определением скалярного произведения векторов. Если даны два вектора $\vec{u}\{x_1; y_1; z_1\}$ и $\vec{v}\{x_2; y_2; z_2\}$, то их скалярное произведение вычисляется по формуле: $\vec{u}\vec{v} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$.

Скалярное произведение вектора на самого себя, $\vec{u}\vec{u}$, называется скалярным квадратом вектора и равно квадрату его длины (модуля): $\vec{u}\vec{u} = |\vec{u}|^2 = x_1^2 + y_1^2 + z_1^2$.

Даны векторы: $\vec{a}\{1; -1; 2\}$, $\vec{b}\{-1; 1; 1\}$ и $\vec{c}\{5; 6; 2\}$.

$\vec{a}\vec{c}$
Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{c}$ путем сложения произведений их соответствующих координат:
$\vec{a}\vec{c} = (1 \cdot 5) + ((-1) \cdot 6) + (2 \cdot 2) = 5 - 6 + 4 = 3$.
Ответ: 3

$\vec{a}\vec{b}$
Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$:
$\vec{a}\vec{b} = (1 \cdot (-1)) + ((-1) \cdot 1) + (2 \cdot 1) = -1 - 1 + 2 = 0$.
Ответ: 0

$\vec{b}\vec{c}$
Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{b}$ и $\vec{c}$:
$\vec{b}\vec{c} = ((-1) \cdot 5) + (1 \cdot 6) + (1 \cdot 2) = -5 + 6 + 2 = 3$.
Ответ: 3

$\vec{a}\vec{a}$
Вычислим скалярный квадрат вектора $\vec{a}$, который равен сумме квадратов его координат:
$\vec{a}\vec{a} = 1^2 + (-1)^2 + 2^2 = 1 + 1 + 4 = 6$.
Ответ: 6

$\sqrt{\vec{b}\vec{b}}$
Данное выражение представляет собой длину (модуль) вектора $\vec{b}$. Сначала найдем скалярный квадрат $\vec{b}\vec{b}$:
$\vec{b}\vec{b} = (-1)^2 + 1^2 + 1^2 = 1 + 1 + 1 = 3$.
Теперь извлечем квадратный корень из полученного результата:
$\sqrt{\vec{b}\vec{b}} = \sqrt{3}$.
Ответ: $\sqrt{3}$

686. Даны векторы

Вычислите:

Даны векторы $\vec{a} = 3\vec{i} - 5\vec{j} + \vec{k}$ и $\vec{b} = \vec{j} - 5\vec{k}$. Для выполнения вычислений запишем координаты этих векторов в прямоугольной системе координат. Вектор $\vec{a}$ имеет координаты $(3, -5, 1)$. Вектор $\vec{b}$ имеет координаты $(0, 1, -5)$. Базисные векторы имеют координаты: $\vec{i} = (1, 0, 0)$, $\vec{j} = (0, 1, 0)$, $\vec{k} = (0, 0, 1)$. Скалярное произведение двух векторов $\vec{p} = (x_1, y_1, z_1)$ и $\vec{q} = (x_2, y_2, z_2)$ вычисляется по формуле $\vec{p}\vec{q} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$.

а) $\vec{a}\vec{b}$

Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, используя их координаты:

$\vec{a}\vec{b} = (3)(0) + (-5)(1) + (1)(-5) = 0 - 5 - 5 = -10$.

Ответ: -10

б) $\vec{a}\vec{i}$

Вычислим скалярное произведение вектора $\vec{a}$ и базисного вектора $\vec{i}$:

$\vec{a}\vec{i} = (3)(1) + (-5)(0) + (1)(0) = 3$.

Отметим, что скалярное произведение вектора на базисный вектор $\vec{i}$ равно первой координате этого вектора.

Ответ: 3

в) $\vec{b}\vec{j}$

Вычислим скалярное произведение вектора $\vec{b}$ и базисного вектора $\vec{j}$:

$\vec{b}\vec{j} = (0)(0) + (1)(1) + (-5)(0) = 1$.

Отметим, что скалярное произведение вектора на базисный вектор $\vec{j}$ равно второй координате этого вектора.

Ответ: 1

г) $(\vec{a} + \vec{b})\vec{k}$

Сначала найдем вектор-сумму $\vec{a} + \vec{b}$:

$\vec{a} + \vec{b} = (3\vec{i} - 5\vec{j} + \vec{k}) + (\vec{j} - 5\vec{k}) = 3\vec{i} + (-5+1)\vec{j} + (1-5)\vec{k} = 3\vec{i} - 4\vec{j} - 4\vec{k}$.

Координаты вектора $\vec{a} + \vec{b}$ равны $(3, -4, -4)$.

Теперь вычислим скалярное произведение полученного вектора на базисный вектор $\vec{k}$:

$(\vec{a} + \vec{b})\vec{k} = (3)(0) + (-4)(0) + (-4)(1) = -4$.

Отметим, что скалярное произведение вектора на базисный вектор $\vec{k}$ равно третьей координате этого вектора.

Ответ: -4

д) $(\vec{a} - 2\vec{b})(\vec{k} + \vec{i} - 2\vec{j})$

Для вычисления этого скалярного произведения найдем сначала оба вектора-сомножителя.

Найдем первый вектор $\vec{c} = \vec{a} - 2\vec{b}$:

$2\vec{b} = 2(\vec{j} - 5\vec{k}) = 2\vec{j} - 10\vec{k}$.

$\vec{c} = \vec{a} - 2\vec{b} = (3\vec{i} - 5\vec{j} + \vec{k}) - (2\vec{j} - 10\vec{k}) = 3\vec{i} - 5\vec{j} + \vec{k} - 2\vec{j} + 10\vec{k} = 3\vec{i} - 7\vec{j} + 11\vec{k}$.

Координаты вектора $\vec{c}$ равны $(3, -7, 11)$.

Найдем второй вектор $\vec{d} = \vec{k} + \vec{i} - 2\vec{j}$. Запишем его в стандартном порядке: $\vec{d} = \vec{i} - 2\vec{j} + \vec{k}$.

Координаты вектора $\vec{d}$ равны $(1, -2, 1)$.

Теперь вычислим скалярное произведение векторов $\vec{c}$ и $\vec{d}$:

$\vec{c}\vec{d} = (3)(1) + (-7)(-2) + (11)(1) = 3 + 14 + 11 = 28$.

Ответ: 28

687. Даны векторы

Выясните, какой угол (острый, прямой или тупой) между векторами:

Чтобы определить вид угла (острый, прямой или тупой) между двумя векторами, необходимо найти их скалярное произведение. Знак скалярного произведения определяет вид угла между векторами.

Скалярное произведение двух векторов $\vec{u}\{x_1; y_1; z_1\}$ и $\vec{v}\{x_2; y_2; z_2\}$ вычисляется по формуле:
$\vec{u} \cdot \vec{v} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$.

Взаимосвязь между знаком скалярного произведения и видом угла следующая:

• Если $\vec{u} \cdot \vec{v} > 0$, то угол между векторами острый.
• Если $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$, то угол между векторами прямой (векторы перпендикулярны).
• Если $\vec{u} \cdot \vec{v} < 0$, то угол между векторами тупой.

Даны векторы: $\vec{a}\{3; -1; 1\}$, $\vec{b}\{-5; 1; 0\}$ и $\vec{c}\{-1; -2; 1\}$.

а) $\vec{a}$ и $\vec{b}$

Найдем скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (3) \cdot (-5) + (-1) \cdot 1 + 1 \cdot 0 = -15 - 1 + 0 = -16$.
Так как скалярное произведение отрицательно ($\vec{a} \cdot \vec{b} < 0$), угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ является тупым.
Ответ: тупой.

б) $\vec{b}$ и $\vec{c}$

Найдем скалярное произведение векторов $\vec{b}$ и $\vec{c}$:
$\vec{b} \cdot \vec{c} = (-5) \cdot (-1) + 1 \cdot (-2) + 0 \cdot 1 = 5 - 2 + 0 = 3$.
Так как скалярное произведение положительно ($\vec{b} \cdot \vec{c} > 0$), угол между векторами $\vec{b}$ и $\vec{c}$ является острым.
Ответ: острый.

в) $\vec{a}$ и $\vec{c}$

Найдем скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{c}$:
$\vec{a} \cdot \vec{c} = 3 \cdot (-1) + (-1) \cdot (-2) + 1 \cdot 1 = -3 + 2 + 1 = 0$.
Так как скалярное произведение равно нулю ($\vec{a} \cdot \vec{c} = 0$), угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{c}$ является прямым.
Ответ: прямой.

688. Дан вектор a{3; −5; 0}. Докажите, что:

Чтобы доказать утверждения об углах между векторами, воспользуемся свойством скалярного произведения. Знак скалярного произведения двух векторов определяет тип угла между ними (острый, тупой или прямой). Косинус угла $\alpha$ между векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$ вычисляется по формуле: $\cos(\alpha) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|}$.

Так как длины ненулевых векторов $|\vec{u}|$ и $|\vec{v}|$ всегда положительны, знак $\cos(\alpha)$ совпадает со знаком скалярного произведения $\vec{u} \cdot \vec{v}$:

• Если $\vec{u} \cdot \vec{v} > 0$, то $\cos(\alpha) > 0$, и угол $\alpha$ острый ($\alpha < 90^\circ$).
• Если $\vec{u} \cdot \vec{v} < 0$, то $\cos(\alpha) < 0$, и угол $\alpha$ тупой ($\alpha > 90^\circ$).
• Если $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$, то $\cos(\alpha) = 0$, и угол $\alpha$ прямой ($\alpha = 90^\circ$).

Дан вектор $\vec{a}\{3; -5; 0\}$. Координаты ортов (единичных векторов осей координат) равны: $\vec{i}\{1; 0; 0\}$, $\vec{j}\{0; 1; 0\}$, $\vec{k}\{0; 0; 1\}$.

а) $\widehat{\vec{a}i} < 90^\circ$

Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{i}$:

$\vec{a} \cdot \vec{i} = 3 \cdot 1 + (-5) \cdot 0 + 0 \cdot 0 = 3$.

Ответ: Так как скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{i} = 3 > 0$, угол между векторами острый, то есть $\widehat{\vec{a}i} < 90^\circ$, что и требовалось доказать.

б) $\widehat{\vec{a}j} > 90^\circ$

Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{j}$:

$\vec{a} \cdot \vec{j} = 3 \cdot 0 + (-5) \cdot 1 + 0 \cdot 0 = -5$.

Ответ: Так как скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{j} = -5 < 0$, угол между векторами тупой, то есть $\widehat{\vec{a}j} > 90^\circ$, что и требовалось доказать.

в) $\widehat{\vec{a}k} = 90^\circ$

Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{k}$:

$\vec{a} \cdot \vec{k} = 3 \cdot 0 + (-5) \cdot 0 + 0 \cdot 1 = 0$.

Ответ: Так как скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{k} = 0$, векторы перпендикулярны, и угол между ними прямой, то есть $\widehat{\vec{a}k} = 90^\circ$, что и требовалось доказать.

689. Даны векторы a{−1; 2; 3} и b{5; х; −1}. При каком значении х выполняется условие:

Даны векторы $\vec{a}\{-1; 2; 3\}$ и $\vec{b}\{5; x; -1\}$.
Скалярное произведение двух векторов $\vec{a}\{a_x; a_y; a_z\}$ и $\vec{b}\{b_x; b_y; b_z\}$ в координатах вычисляется по формуле: $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z$.

Подставим координаты данных векторов в эту формулу: $\vec{a} \cdot \vec{b} = (-1) \cdot 5 + 2 \cdot x + 3 \cdot (-1)$.
Упростим выражение: $\vec{a} \cdot \vec{b} = -5 + 2x - 3 = 2x - 8$.

Теперь, используя полученное выражение $2x - 8$ для скалярного произведения, решим каждую часть задачи.

а) Требуется найти $x$, при котором $\vec{a} \cdot \vec{b} = 3$.
Составим и решим уравнение: $2x - 8 = 3$
$2x = 3 + 8$
$2x = 11$
$x = \frac{11}{2} = 5.5$
Ответ: $x = 5.5$.

б) Требуется найти $x$, при котором $\vec{a} \cdot \vec{b} = -1$.
Составим и решим уравнение: $2x - 8 = -1$
$2x = -1 + 8$
$2x = 7$
$x = \frac{7}{2} = 3.5$
Ответ: $x = 3.5$.

в) Требуется найти $x$, при котором векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ перпендикулярны ($\vec{a} \perp \vec{b}$).
Условием перпендикулярности двух ненулевых векторов является равенство их скалярного произведения нулю: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$.
Составим и решим уравнение: $2x - 8 = 0$
$2x = 8$
$x = \frac{8}{2} = 4$
Ответ: $x = 4$.

690. Даны векторы

При каком значении m векторы a и b перпендикулярны?

Два вектора являются перпендикулярными (ортогональными) тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю. Даны векторы $\vec{a} = m\vec{i} + 3\vec{j} + 4\vec{k}$ и $\vec{b} = 4\vec{i} + m\vec{j} - 7\vec{k}$.
Координаты этих векторов в пространстве: $\vec{a}\{m; 3; 4\}$ и $\vec{b}\{4; m; -7\}$.
Скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ в координатной форме вычисляется по формуле: $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z$.
Подставим координаты наших векторов в формулу скалярного произведения: $\vec{a} \cdot \vec{b} = m \cdot 4 + 3 \cdot m + 4 \cdot (-7)$.
Упростим полученное выражение: $4m + 3m - 28 = 7m - 28$.
Приравняем скалярное произведение к нулю, согласно условию перпендикулярности векторов: $7m - 28 = 0$.
Теперь решим это линейное уравнение относительно переменной $m$:
$7m = 28$
$m = \frac{28}{7}$
$m = 4$.
Таким образом, при $m=4$ векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ будут перпендикулярны.
Ответ: 4

691. Даны точки

Докажите, что ABCD — квадрат.

Для того чтобы доказать, что четырёхугольник ABCD является квадратом, необходимо установить два факта:

1. Все его стороны равны по длине.
2. Хотя бы один из его углов является прямым.

Сначала найдём векторы, соответствующие сторонам четырёхугольника, по координатам их начальных и конечных точек. Координаты вектора $\vec{MN}$ с началом в точке $M(x_1; y_1; z_1)$ и концом в точке $N(x_2; y_2; z_2)$ вычисляются как $\{x_2 - x_1; y_2 - y_1; z_2 - z_1\}$.

• $\vec{AB} = \{\sqrt{2} - 0; 1 - 1; 2 - 2\} = \{\sqrt{2}; 0; 0\}$
• $\vec{BC} = \{\sqrt{2} - \sqrt{2}; 2 - 1; 1 - 2\} = \{0; 1; -1\}$
• $\vec{CD} = \{0 - \sqrt{2}; 2 - 2; 1 - 1\} = \{-\sqrt{2}; 0; 0\}$
• $\vec{DA} = \{0 - 0; 1 - 2; 2 - 1\} = \{0; -1; 1\}$

Теперь вычислим длины этих векторов (которые и являются длинами сторон) по формуле $|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.

• $|AB| = |\vec{AB}| = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + 0^2 + 0^2} = \sqrt{2}$
• $|BC| = |\vec{BC}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$
• $|CD| = |\vec{CD}| = \sqrt{(-\sqrt{2})^2 + 0^2 + 0^2} = \sqrt{2}$
• $|DA| = |\vec{DA}| = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$

Поскольку $|AB| = |BC| = |CD| = |DA| = \sqrt{2}$, все стороны четырёхугольника равны. Это доказывает, что ABCD — ромб.

Далее, проверим, является ли угол при вершине A прямым. Угол между сторонами AB и AD будет прямым, если соответствующие векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$ перпендикулярны. Вектор $\vec{AD}$ противоположен вектору $\vec{DA}$, поэтому $\vec{AD} = -\vec{DA} = -\{0; -1; 1\} = \{0; 1; -1\}$.

Перпендикулярность векторов можно проверить через их скалярное произведение: если оно равно нулю, то векторы перпендикулярны. Скалярное произведение векторов $\vec{a}\{x_1; y_1; z_1\}$ и $\vec{b}\{x_2; y_2; z_2\}$ вычисляется по формуле $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$.

$\vec{AB} \cdot \vec{AD} = (\sqrt{2}) \cdot 0 + 0 \cdot 1 + 0 \cdot (-1) = 0 + 0 + 0 = 0$.

Так как скалярное произведение равно нулю, векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$ перпендикулярны, и, следовательно, угол $\angle DAB = 90^\circ$.

Ромб, у которого есть прямой угол, является квадратом. Таким образом, мы доказали, что ABCD — квадрат.

Ответ: Утверждение, что ABCD является квадратом, доказано, так как все его стороны равны $\sqrt{2}$, а угол при вершине A прямой.

692. Вычислите угол между векторами:

Для нахождения угла $\theta$ между двумя векторами $\vec{a}\{x_1; y_1; z_1\}$ и $\vec{b}\{x_2; y_2; z_2\}$ используется формула, основанная на их скалярном произведении и модулях (длинах):

$\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = \frac{x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2} \cdot \sqrt{x_2^2 + y_2^2 + z_2^2}}$

После вычисления значения $\cos\theta$, угол $\theta$ находится как $\arccos(\cos\theta)$.

а)

Даны векторы $\vec{a}\{2; -2; 0\}$ и $\vec{b}\{3; 0; -3\}$.
1. Находим скалярное произведение векторов:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 3 + (-2) \cdot 0 + 0 \cdot (-3) = 6 + 0 + 0 = 6$.
2. Находим модули векторов:
$|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 0^2} = \sqrt{4 + 4 + 0} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
$|\vec{b}| = \sqrt{3^2 + 0^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 + 0 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$.
3. Вычисляем косинус угла между векторами:
$\cos\theta = \frac{6}{2\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{2}} = \frac{6}{6 \cdot 2} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$.
4. Находим угол:
$\theta = \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$

б)

Даны векторы $\vec{a}\{\sqrt{2}; \sqrt{2}; 2\}$ и $\vec{b}\{-3; -3; 0\}$.
1. Скалярное произведение:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = \sqrt{2} \cdot (-3) + \sqrt{2} \cdot (-3) + 2 \cdot 0 = -3\sqrt{2} - 3\sqrt{2} + 0 = -6\sqrt{2}$.
2. Модули векторов:
$|\vec{a}| = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2 + 2^2} = \sqrt{2 + 2 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
$|\vec{b}| = \sqrt{(-3)^2 + (-3)^2 + 0^2} = \sqrt{9 + 9 + 0} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$.
3. Косинус угла:
$\cos\theta = \frac{-6\sqrt{2}}{2\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{2}} = \frac{-6\sqrt{2}}{12} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
4. Угол:
$\theta = \arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 135^\circ$.

Ответ: $135^\circ$

в)

Даны векторы $\vec{a}\{0; 5; 0\}$ и $\vec{b}\{0; -\sqrt{3}; 1\}$.
1. Скалярное произведение:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \cdot 0 + 5 \cdot (-\sqrt{3}) + 0 \cdot 1 = -5\sqrt{3}$.
2. Модули векторов:
$|\vec{a}| = \sqrt{0^2 + 5^2 + 0^2} = \sqrt{25} = 5$.
$|\vec{b}| = \sqrt{0^2 + (-\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$.
3. Косинус угла:
$\cos\theta = \frac{-5\sqrt{3}}{5 \cdot 2} = \frac{-5\sqrt{3}}{10} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
4. Угол:
$\theta = \arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 150^\circ$.

Ответ: $150^\circ$

г)

Даны векторы $\vec{a}\{-2,5; 2,5; 0\}$ и $\vec{b}\{-5; 5; 5\sqrt{2}\}$.
1. Скалярное произведение:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (-2,5) \cdot (-5) + 2,5 \cdot 5 + 0 \cdot 5\sqrt{2} = 12,5 + 12,5 + 0 = 25$.
2. Модули векторов:
$|\vec{a}| = \sqrt{(-2,5)^2 + (2,5)^2 + 0^2} = \sqrt{6,25 + 6,25} = \sqrt{12,5} = \sqrt{\frac{25}{2}} = \frac{5}{\sqrt{2}}$.
$|\vec{b}| = \sqrt{(-5)^2 + 5^2 + (5\sqrt{2})^2} = \sqrt{25 + 25 + 50} = \sqrt{100} = 10$.
3. Косинус угла:
$\cos\theta = \frac{25}{\frac{5}{\sqrt{2}} \cdot 10} = \frac{25}{\frac{50}{\sqrt{2}}} = \frac{25\sqrt{2}}{50} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
4. Угол:
$\theta = \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$

д)

Даны векторы $\vec{a}\{-\sqrt{2}; -\sqrt{2}; -2\}$ и $\vec{b}\{\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2}; -1\}$.
1. Скалярное произведение:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (-\sqrt{2}) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + (-\sqrt{2}) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + (-2) \cdot (-1) = -\frac{2}{2} - \frac{2}{2} + 2 = -1 - 1 + 2 = 0$.
Поскольку скалярное произведение векторов равно нулю, векторы перпендикулярны (ортогональны), и угол между ними составляет $90^\circ$.
$\cos\theta = 0 \implies \theta = 90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$

693. Вычислите углы между вектором a{2; 1; 2} и координатными векторами.

Для нахождения углов между вектором $\vec{a}\{2; 1; 2\}$ и координатными векторами (ортами) $\vec{i}\{1; 0; 0\}$, $\vec{j}\{0; 1; 0\}$ и $\vec{k}\{0; 0; 1\}$, воспользуемся формулой для косинуса угла между двумя векторами. Косинусы углов между вектором и осями координат называются направляющими косинусами.

Косинус угла $\theta$ между векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$ вычисляется по формуле:

$\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$

Для угла $\alpha$ между вектором $\vec{a}\{a_x; a_y; a_z\}$ и координатным вектором $\vec{i}\{1; 0; 0\}$, формула упрощается до:

$\cos \alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{i}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{i}|} = \frac{a_x \cdot 1 + a_y \cdot 0 + a_z \cdot 0}{|\vec{a}| \cdot 1} = \frac{a_x}{|\vec{a}|}$

Аналогично для углов $\beta$ с вектором $\vec{j}$ и $\gamma$ с вектором $\vec{k}$:

$\cos \beta = \frac{a_y}{|\vec{a}|}$, $\cos \gamma = \frac{a_z}{|\vec{a}|}$

Сначала найдем модуль (длину) вектора $\vec{a}$:

$|\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2} = \sqrt{2^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3$.

Теперь можем вычислить каждый угол.

Угол между вектором $\vec{a}$ и координатным вектором $\vec{i}$

Пусть этот угол равен $\alpha$. Его косинус:

$\cos \alpha = \frac{a_x}{|\vec{a}|} = \frac{2}{3}$.

Следовательно, угол $\alpha = \arccos\left(\frac{2}{3}\right)$.

Угол между вектором $\vec{a}$ и координатным вектором $\vec{j}$

Пусть этот угол равен $\beta$. Его косинус:

$\cos \beta = \frac{a_y}{|\vec{a}|} = \frac{1}{3}$.

Следовательно, угол $\beta = \arccos\left(\frac{1}{3}\right)$.

Угол между вектором $\vec{a}$ и координатным вектором $\vec{k}$

Пусть этот угол равен $\gamma$. Его косинус:

$\cos \gamma = \frac{a_z}{|\vec{a}|} = \frac{2}{3}$.

Следовательно, угол $\gamma = \arccos\left(\frac{2}{3}\right)$.

Ответ: углы между вектором $\vec{a}$ и координатными векторами $\vec{i}$, $\vec{j}$ и $\vec{k}$ равны соответственно $\arccos\left(\frac{2}{3}\right)$, $\arccos\left(\frac{1}{3}\right)$ и $\arccos\left(\frac{2}{3}\right)$.

694. Даны точки А(1; 3; 0), В(2; 3; −1) и С(1; 2; −1). Вычислите угол между векторами CA и CB.

Для того чтобы вычислить угол $\alpha$ между векторами $\vec{CA}$ и $\vec{CB}$, мы будем использовать формулу, связывающую косинус угла между векторами с их скалярным произведением и их модулями (длинами): $$ \cos(\alpha) = \frac{\vec{CA} \cdot \vec{CB}}{|\vec{CA}| \cdot |\vec{CB}|} $$

Нам даны координаты трех точек: A(1; 3; 0), B(2; 3; -1) и C(1; 2; -1).

1. Найдем координаты векторов $\vec{CA}$ и $\vec{CB}$.
Координаты вектора находятся вычитанием координат начальной точки из соответствующих координат конечной точки.

Для вектора $\vec{CA}$ (начало в точке C, конец в точке A):
$\vec{CA} = (1 - 1; 3 - 2; 0 - (-1)) = (0; 1; 1)$.

Для вектора $\vec{CB}$ (начало в точке C, конец в точке B):
$\vec{CB} = (2 - 1; 3 - 2; -1 - (-1)) = (1; 1; 0)$.

2. Вычислим скалярное произведение векторов.
Скалярное произведение векторов $\vec{a}(x_1, y_1, z_1)$ и $\vec{b}(x_2, y_2, z_2)$ равно $x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$.
$\vec{CA} \cdot \vec{CB} = (0 \cdot 1) + (1 \cdot 1) + (1 \cdot 0) = 0 + 1 + 0 = 1$.

3. Найдем модули (длины) векторов.
Модуль вектора $\vec{v}(x, y, z)$ вычисляется по формуле $|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.
$|\vec{CA}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{0 + 1 + 1} = \sqrt{2}$.
$|\vec{CB}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{1 + 1 + 0} = \sqrt{2}$.

4. Подставим найденные значения в формулу для косинуса угла.
$$ \cos(\alpha) = \frac{\vec{CA} \cdot \vec{CB}}{|\vec{CA}| \cdot |\vec{CB}|} = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2} $$

Теперь найдем сам угол $\alpha$. Угол, косинус которого равен $\frac{1}{2}$, составляет $60^\circ$.
$\alpha = \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.

695. Найдите углы, периметр и площадь треугольника, вершинами которого являются точки А(1; −1; 3), В(3; −1; 1) и С(−1; 1; 3).

Для решения задачи сначала найдем векторы, соответствующие сторонам треугольника, и их длины (модули).

Даны вершины треугольника: $A(1; -1; 3)$, $B(3; -1; 1)$, $C(-1; 1; 3)$.

Найдем координаты векторов $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ и $\vec{BC}$:

$\vec{AB} = (3-1; -1-(-1); 1-3) = (2; 0; -2)$

$\vec{AC} = (-1-1; 1-(-1); 3-3) = (-2; 2; 0)$

$\vec{BC} = (-1-3; 1-(-1); 3-1) = (-4; 2; 2)$

Теперь найдем длины этих векторов, которые являются длинами сторон треугольника:

Длина стороны $AB$: $c = |\vec{AB}| = \sqrt{2^2 + 0^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 0 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.

Длина стороны $AC$: $b = |\vec{AC}| = \sqrt{(-2)^2 + 2^2 + 0^2} = \sqrt{4 + 4 + 0} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.

Длина стороны $BC$: $a = |\vec{BC}| = \sqrt{(-4)^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 4 + 4} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$.

Так как длины сторон $AB$ и $AC$ равны, треугольник $ABC$ — равнобедренный.

Периметр

Периметр треугольника $P$ — это сумма длин всех его сторон.

$P = |\vec{AB}| + |\vec{AC}| + |\vec{BC}| = 2\sqrt{2} + 2\sqrt{2} + 2\sqrt{6} = 4\sqrt{2} + 2\sqrt{6}$.

Ответ: $P = 4\sqrt{2} + 2\sqrt{6}$.

Углы

Углы треугольника можно найти, используя скалярное произведение векторов. Косинус угла $\alpha$ между векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$ вычисляется по формуле:

$\cos\alpha = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$

1. Угол A (угол BAC) находится между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$.

Скалярное произведение $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 2 \cdot (-2) + 0 \cdot 2 + (-2) \cdot 0 = -4$.

$\cos A = \frac{-4}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}|} = \frac{-4}{2\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{2}} = \frac{-4}{8} = -\frac{1}{2}$.

Отсюда, угол $A = \arccos(-\frac{1}{2}) = 120^\circ$.

2. Угол B (угол ABC) находится между векторами $\vec{BA}$ и $\vec{BC}$.

$\vec{BA} = -\vec{AB} = (-2; 0; 2)$.

Скалярное произведение $\vec{BA} \cdot \vec{BC} = (-2) \cdot (-4) + 0 \cdot 2 + 2 \cdot 2 = 8 + 0 + 4 = 12$.

$\cos B = \frac{12}{|\vec{BA}| \cdot |\vec{BC}|} = \frac{12}{2\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{6}} = \frac{12}{4\sqrt{12}} = \frac{3}{\sqrt{12}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Отсюда, угол $B = \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = 30^\circ$.

3. Угол C (угол BCA). Поскольку треугольник равнобедренный с основанием $BC$, то $\angle C = \angle B = 30^\circ$.

Проверка: сумма углов треугольника $A+B+C = 120^\circ + 30^\circ + 30^\circ = 180^\circ$.

Ответ: $\angle A = 120^\circ$, $\angle B = 30^\circ$, $\angle C = 30^\circ$.

Площадь

Площадь треугольника $S$ можно вычислить как половину модуля векторного произведения векторов, исходящих из одной вершины, например, $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$.

$S = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}|$.

Найдем векторное произведение:

$\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & 0 & -2 \\ -2 & 2 & 0 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 0 - 2 \cdot (-2)) - \mathbf{j}(2 \cdot 0 - (-2) \cdot (-2)) + \mathbf{k}(2 \cdot 2 - 0 \cdot (-2)) = 4\mathbf{i} + 4\mathbf{j} + 4\mathbf{k} = (4; 4; 4)$.

Найдем модуль этого вектора:

$|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{4^2 + 4^2 + 4^2} = \sqrt{16+16+16} = \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$.

Вычислим площадь:

$S = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$.

Также площадь можно найти по формуле $S = \frac{1}{2} b c \sin A$:

$S = \frac{1}{2} |\vec{AC}| \cdot |\vec{AB}| \cdot \sin(120^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$.

Ответ: $S = 2\sqrt{3}$.

696. Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Вычислите косинус угла между векторами:

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат. Пусть ребро куба равно $a$. Для удобства вычислений примем $a=1$, так как значение косинуса угла не зависит от длины ребра. Поместим вершину $A$ в начало координат $A(0,0,0)$. Направим оси координат вдоль ребер куба: ось Ox по ребру $AB$, ось Oy по ребру $AD$ и ось Oz по ребру $AA_1$.

В этой системе координат вершины куба будут иметь следующие координаты:
$A(0,0,0)$, $B(1,0,0)$, $C(1,1,0)$, $D(0,1,0)$,
$A_1(0,0,1)$, $B_1(1,0,1)$, $C_1(1,1,1)$, $D_1(0,1,1)$.

Косинус угла $\theta$ между двумя ненулевыми векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$ вычисляется по формуле скалярного произведения: $\cos(\theta) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|}$.

а) Вычислим косинус угла между векторами $\vec{AA_1}$ и $\vec{AC_1}$.

Сначала найдем координаты этих векторов. Вектор равен разности координат его конца и начала: $\vec{AA_1} = A_1 - A = (0-0, 0-0, 1-0) = (0, 0, 1)$. $\vec{AC_1} = C_1 - A = (1-0, 1-0, 1-0) = (1, 1, 1)$.

Теперь вычислим их скалярное произведение: $\vec{AA_1} \cdot \vec{AC_1} = 0 \cdot 1 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 1 = 1$.

Далее найдем длины (модули) векторов: $|\vec{AA_1}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{1} = 1$. $|\vec{AC_1}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$.

Подставим найденные значения в формулу для косинуса угла: $\cos(\angle(\vec{AA_1}, \vec{AC_1})) = \frac{\vec{AA_1} \cdot \vec{AC_1}}{|\vec{AA_1}| |\vec{AC_1}|} = \frac{1}{1 \cdot \sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$.

б) Вычислим косинус угла между векторами $\vec{BD_1}$ и $\vec{DB_1}$.

Найдем координаты векторов: $\vec{BD_1} = D_1 - B = (0-1, 1-0, 1-0) = (-1, 1, 1)$. $\vec{DB_1} = B_1 - D = (1-0, 0-1, 1-0) = (1, -1, 1)$.

Вычислим скалярное произведение векторов: $\vec{BD_1} \cdot \vec{DB_1} = (-1) \cdot 1 + 1 \cdot (-1) + 1 \cdot 1 = -1 - 1 + 1 = -1$.

Вычислим длины векторов. Оба вектора являются главными диагоналями куба, их длины равны $\sqrt{3}$: $|\vec{BD_1}| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{1+1+1} = \sqrt{3}$. $|\vec{DB_1}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{1+1+1} = \sqrt{3}$.

Найдем косинус угла: $\cos(\angle(\vec{BD_1}, \vec{DB_1})) = \frac{\vec{BD_1} \cdot \vec{DB_1}}{|\vec{BD_1}| |\vec{DB_1}|} = \frac{-1}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = -\frac{1}{3}$.

Ответ: $-\frac{1}{3}$.

в) Вычислим косинус угла между векторами $\vec{DB}$ и $\vec{AC_1}$.

Найдем координаты векторов: $\vec{DB} = B - D = (1-0, 0-1, 0-0) = (1, -1, 0)$. $\vec{AC_1} = C_1 - A = (1-0, 1-0, 1-0) = (1, 1, 1)$.

Вычислим скалярное произведение векторов: $\vec{DB} \cdot \vec{AC_1} = 1 \cdot 1 + (-1) \cdot 1 + 0 \cdot 1 = 1 - 1 + 0 = 0$.

Поскольку скалярное произведение векторов равно нулю, это означает, что векторы перпендикулярны, и косинус угла между ними равен нулю. $\cos(\angle(\vec{DB}, \vec{AC_1})) = 0$.

Ответ: $0$.