Страница 177 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

697. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁, в котором AB = 1, ВС = СС₁ = 2. Вычислите угол между векторами DB₁ и BC₁.

Для нахождения угла между векторами воспользуемся методом координат. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $A(0,0,0)$. Направим ось $Ox$ вдоль ребра $AB$, ось $Oy$ вдоль ребра $AD$, а ось $Oz$ вдоль ребра $AA_1$.

В соответствии с условиями задачи, имеем следующие длины ребер:

• $AB = 1$ (вдоль оси $Ox$)
• $AD = BC = 2$ (вдоль оси $Oy$)
• $AA_1 = CC_1 = 2$ (вдоль оси $Oz$)

Определим координаты вершин, необходимых для нахождения векторов $\vec{DB_1}$ и $\vec{BC_1}$:

• $D$ лежит на оси $Oy$ на расстоянии 2 от начала координат, следовательно, $D(0, 2, 0)$.
• $B$ лежит на оси $Ox$ на расстоянии 1 от начала координат, следовательно, $B(1, 0, 0)$.
• $B_1$ является проекцией точки $B$ на верхнее основание, значит, ее координаты $B_1(1, 0, 2)$.
• $C_1$ является проекцией точки $C$ на верхнее основание. Координаты точки $C$ - $(1, 2, 0)$, значит, координаты $C_1(1, 2, 2)$.

Теперь найдем координаты векторов. Координаты вектора равны разности соответствующих координат его конца и начала.

$\vec{DB_1} = \{x_{B_1}-x_D; y_{B_1}-y_D; z_{B_1}-z_D\} = \{1-0; 0-2; 2-0\} = \{1; -2; 2\}$.

$\vec{BC_1} = \{x_{C_1}-x_B; y_{C_1}-y_B; z_{C_1}-z_B\} = \{1-1; 2-0; 2-0\} = \{0; 2; 2\}$.

Косинус угла $\alpha$ между двумя векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ вычисляется по формуле:

$\cos \alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$

Найдем скалярное произведение векторов $\vec{DB_1}$ и $\vec{BC_1}$:

$\vec{DB_1} \cdot \vec{BC_1} = (1 \cdot 0) + ((-2) \cdot 2) + (2 \cdot 2) = 0 - 4 + 4 = 0$.

Поскольку скалярное произведение векторов равно нулю, а сами векторы не являются нулевыми, угол между ними составляет $90^\circ$.

Для полноты решения вычислим длины векторов:

$|\vec{DB_1}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{1+4+4} = \sqrt{9} = 3$.

$|\vec{BC_1}| = \sqrt{0^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{0+4+4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.

Тогда косинус угла:

$\cos \alpha = \frac{0}{3 \cdot 2\sqrt{2}} = 0$

Отсюда, $\alpha = \arccos(0) = 90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

698. Известно, что

Вычислите (a + b) c.

Для вычисления скалярного произведения $(\vec{a}+\vec{b})\vec{c}$ воспользуемся свойством дистрибутивности скалярного произведения относительно сложения векторов:

$(\vec{a}+\vec{b})\vec{c} = \vec{a}\vec{c} + \vec{b}\vec{c}$

Скалярное произведение двух векторов $\vec{x}$ и $\vec{y}$ вычисляется по формуле $\vec{x}\vec{y} = |\vec{x}||\vec{y}|\cos(\widehat{\vec{x}\vec{y}})$, где $\widehat{\vec{x}\vec{y}}$ — это угол между векторами.

Используя данные из условия задачи, вычислим каждое слагаемое по отдельности.

Вычислим скалярное произведение $\vec{a}\vec{c}$. Известно, что $|\vec{a}|=1$, $|\vec{c}|=2$ и угол $\widehat{\vec{a}\vec{c}} = 60^{\circ}$.

$\vec{a}\vec{c} = |\vec{a}||\vec{c}|\cos(\widehat{\vec{a}\vec{c}}) = 1 \cdot 2 \cdot \cos(60^{\circ}) = 1 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$

Вычислим скалярное произведение $\vec{b}\vec{c}$. Известно, что $|\vec{b}|=2$, $|\vec{c}|=2$ и угол $\widehat{\vec{b}\vec{c}} = 60^{\circ}$.

$\vec{b}\vec{c} = |\vec{b}||\vec{c}|\cos(\widehat{\vec{b}\vec{c}}) = 2 \cdot 2 \cdot \cos(60^{\circ}) = 2 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} = 2$

Теперь сложим полученные результаты:

$(\vec{a}+\vec{b})\vec{c} = \vec{a}\vec{c} + \vec{b}\vec{c} = 1 + 2 = 3$

Ответ: 3

699. Докажите справедливость равенства

Решение

Запишем сумму трёх векторов a, b и c в виде a + b + c = (a + b) + c. Пользуясь распределительным законом скалярного произведения векторов, получаем

Для того чтобы доказать справедливость равенства $(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})\vec{d} = \vec{a}\vec{d} + \vec{b}\vec{d} + \vec{c}\vec{d}$, мы будем последовательно применять свойства операций над векторами.

В основе доказательства лежит распределительный (дистрибутивный) закон скалярного произведения относительно сложения векторов. Этот закон утверждает, что для любых двух векторов, например $\vec{x}$ и $\vec{y}$, их скалярное произведение на третий вектор $\vec{z}$ равно сумме скалярных произведений: $(\vec{x}+\vec{y})\vec{z} = \vec{x}\vec{z} + \vec{y}\vec{z}$.

Рассмотрим левую часть исходного равенства $(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})\vec{d}$. Воспользуемся свойством ассоциативности сложения векторов, которое позволяет нам группировать слагаемые: $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c} = (\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}$.

Теперь выражение в левой части можно записать так: $((\vec{a}+\vec{b})+\vec{c})\vec{d}$.

Мы можем рассматривать $(\vec{a}+\vec{b})$ как один вектор. Тогда, применяя распределительный закон скалярного произведения к сумме двух векторов — $(\vec{a}+\vec{b})$ и $\vec{c}$ — получаем: $$((\vec{a}+\vec{b})+\vec{c})\vec{d} = (\vec{a}+\vec{b})\vec{d} + \vec{c}\vec{d}$$

Далее, применим распределительный закон ещё раз, но теперь к выражению $(\vec{a}+\vec{b})\vec{d}$: $$(\vec{a}+\vec{b})\vec{d} = \vec{a}\vec{d} + \vec{b}\vec{d}$$

Подставим полученный результат в предыдущее равенство: $$(\vec{a}\vec{d} + \vec{b}\vec{d}) + \vec{c}\vec{d}$$

Так как скалярное произведение векторов является числом (скаляром), а сложение чисел ассоциативно, мы можем опустить скобки и получить окончательное выражение: $$\vec{a}\vec{d} + \vec{b}\vec{d} + \vec{c}\vec{d}$$

Таким образом, мы показали, что левая часть исходного равенства тождественно равна его правой части: $$(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})\vec{d} = \vec{a}\vec{d} + \vec{b}\vec{d} + \vec{c}\vec{d}$$ Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано. Оно является обобщением распределительного закона скалярного произведения на случай суммы трёх векторов.

700. Векторы a и b перпендикулярны к вектору

Вычислите: a) скалярные произведения

Для решения задачи воспользуемся данными из условия и предварительно вычислим необходимые скалярные произведения.
Из условия известно:
- Векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ перпендикулярны вектору $\vec{c}$, следовательно, их скалярные произведения равны нулю: $\vec{a} \cdot \vec{c} = 0$ и $\vec{b} \cdot \vec{c} = 0$.
- Угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равен $(\widehat{\vec{a}, \vec{b}}) = 120^\circ$.
- Модули векторов равны единице: $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = 1$.
Найдем скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\widehat{\vec{a}, \vec{b}}) = 1 \cdot 1 \cdot \cos(120^\circ) = 1 \cdot (-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{2}$.
Также нам понадобятся скалярные квадраты векторов, которые равны квадратам их модулей:
$|\vec{a}|^2 = \vec{a} \cdot \vec{a} = 1^2 = 1$
$|\vec{b}|^2 = \vec{b} \cdot \vec{b} = 1^2 = 1$
$|\vec{c}|^2 = \vec{c} \cdot \vec{c} = 1^2 = 1$

а) Вычислим скалярные произведения.
1. Найдем произведение $(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})(2\vec{b})$. Используя дистрибутивное свойство скалярного произведения, раскроем скобки:
$(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) \cdot (2\vec{b}) = \vec{a} \cdot (2\vec{b}) + \vec{b} \cdot (2\vec{b}) + \vec{c} \cdot (2\vec{b})$
$= 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 2(\vec{b} \cdot \vec{b}) + 2(\vec{c} \cdot \vec{b})$
Подставим вычисленные ранее значения ($\vec{a} \cdot \vec{b} = -1/2$, $\vec{b} \cdot \vec{b} = 1$, $\vec{c} \cdot \vec{b} = 0$):
$2 \cdot (-\frac{1}{2}) + 2 \cdot 1 + 2 \cdot 0 = -1 + 2 + 0 = 1$.

2. Найдем произведение $(\vec{a} - \vec{b} + \vec{c})(\vec{a} - \vec{c})$. Раскроем скобки:
$(\vec{a} - \vec{b} + \vec{c}) \cdot (\vec{a} - \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{a} - \vec{a} \cdot \vec{c} - \vec{b} \cdot \vec{a} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a} - \vec{c} \cdot \vec{c}$
Учитывая, что $\vec{a} \cdot \vec{c} = \vec{c} \cdot \vec{a} = 0$, $\vec{b} \cdot \vec{c} = 0$ и $\vec{b} \cdot \vec{a} = \vec{a} \cdot \vec{b}$, упростим выражение:
$= |\vec{a}|^2 - \vec{a} \cdot \vec{b} - |\vec{c}|^2$
Подставим известные значения ($|\vec{a}|^2=1$, $\vec{a} \cdot \vec{b} = -1/2$, $|\vec{c}|^2=1$):
$1 - (-\frac{1}{2}) - 1 = 1 + \frac{1}{2} - 1 = \frac{1}{2}$.
Ответ: $(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})(2\vec{b}) = 1$; $(\vec{a} - \vec{b} + \vec{c})(\vec{a} - \vec{c}) = \frac{1}{2}$.

б) Вычислим модули векторов. Модуль вектора $|\vec{v}|$ связан с его скалярным квадратом соотношением $|\vec{v}| = \sqrt{\vec{v} \cdot \vec{v}}$.
1. Найдем модуль $|\vec{a} - \vec{b}|$. Для этого сначала вычислим его квадрат:
$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = (\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + \vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{a}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2$
Подставим известные значения:
$1 - 2(-\frac{1}{2}) + 1 = 1 + 1 + 1 = 3$.
Следовательно, модуль равен: $|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{3}$.

2. Найдем модуль $|\vec{a} + \vec{b} - \vec{c}|$. Вычислим его квадрат:
$|\vec{a} + \vec{b} - \vec{c}|^2 = (\vec{a} + \vec{b} - \vec{c}) \cdot (\vec{a} + \vec{b} - \vec{c})$
$= |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2(\vec{a}\cdot\vec{b}) - 2(\vec{a}\cdot\vec{c}) - 2(\vec{b}\cdot\vec{c})$
Подставим известные значения:
$1 + 1 + 1 + 2(-\frac{1}{2}) - 2(0) - 2(0) = 3 - 1 = 2$.
Следовательно, модуль равен: $|\vec{a} + \vec{b} - \vec{c}| = \sqrt{2}$.
Ответ: $|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{3}$; $|\vec{a} + \vec{b} - \vec{c}| = \sqrt{2}$.

701. Докажите, что координаты ненулевого вектора a в прямоугольной системе координат равны

Решение

Если вектор a имеет координаты {х; у; z}, то a = xi + yj + zk. Умножив это равенство скалярно на i и используя свойства скалярного произведения, получим

С другой стороны, по определению скалярного произведения ai = | a| |i| cos φ₁ = |a| cos φ₁. Таким образом, x = |a| cos φ₁. Аналогично получаем равенства y = |a| cos φ₂, z = |a| cos φ₃.

Пусть ненулевой вектор $\vec{a}$ в прямоугольной системе координат имеет координаты $\{x; y; z\}$. Это означает, что вектор $\vec{a}$ можно представить в виде разложения по ортам (единичным векторам) координатных осей $\vec{i}$, $\vec{j}$, $\vec{k}$:

$\vec{a} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}$

Здесь $\vec{i}$, $\vec{j}$, $\vec{k}$ — это ортонормированный базис, то есть единичные векторы, взаимно перпендикулярные друг другу. Их скалярные произведения обладают следующими свойствами:

$\vec{i} \cdot \vec{i} = |\vec{i}|^2 = 1^2 = 1$

$\vec{j} \cdot \vec{j} = |\vec{j}|^2 = 1^2 = 1$

$\vec{k} \cdot \vec{k} = |\vec{k}|^2 = 1^2 = 1$

$\vec{i} \cdot \vec{j} = 0$, $\vec{i} \cdot \vec{k} = 0$, $\vec{j} \cdot \vec{k} = 0$

Чтобы найти координату $x$ вектора $\vec{a}$, умножим скалярно обе части равенства $\vec{a} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}$ на вектор $\vec{i}$:

$\vec{a} \cdot \vec{i} = (x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}) \cdot \vec{i}$

Используя свойство дистрибутивности скалярного произведения, получаем:

$\vec{a} \cdot \vec{i} = x(\vec{i} \cdot \vec{i}) + y(\vec{j} \cdot \vec{i}) + z(\vec{k} \cdot \vec{i})$

Подставляя значения скалярных произведений базисных векторов, имеем:

$\vec{a} \cdot \vec{i} = x(1) + y(0) + z(0) = x$

С другой стороны, по определению скалярного произведения, оно равно произведению модулей векторов на косинус угла между ними. Обозначим угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{i}$ как $\varphi_1$. Тогда:

$\vec{a} \cdot \vec{i} = |\vec{a}| |\vec{i}| \cos \varphi_1$

Так как $\vec{i}$ — единичный вектор, его модуль $|\vec{i}| = 1$. Следовательно:

$\vec{a} \cdot \vec{i} = |\vec{a}| \cos \varphi_1$

Приравнивая два полученных выражения для скалярного произведения $\vec{a} \cdot \vec{i}$, получаем:

$x = |\vec{a}| \cos \varphi_1$

Аналогично, чтобы найти координаты $y$ и $z$, умножим скалярно вектор $\vec{a}$ на векторы $\vec{j}$ и $\vec{k}$ соответственно.

Для координаты $y$ (угол между $\vec{a}$ и $\vec{j}$ равен $\varphi_2$):

$\vec{a} \cdot \vec{j} = (x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}) \cdot \vec{j} = x(\vec{i} \cdot \vec{j}) + y(\vec{j} \cdot \vec{j}) + z(\vec{k} \cdot \vec{j}) = x(0) + y(1) + z(0) = y$

И по определению:

$\vec{a} \cdot \vec{j} = |\vec{a}| |\vec{j}| \cos \varphi_2 = |\vec{a}| \cos \varphi_2$

Следовательно, $y = |\vec{a}| \cos \varphi_2$.

Для координаты $z$ (угол между $\vec{a}$ и $\vec{k}$ равен $\varphi_3$):

$\vec{a} \cdot \vec{k} = (x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}) \cdot \vec{k} = x(\vec{i} \cdot \vec{k}) + y(\vec{j} \cdot \vec{k}) + z(\vec{k} \cdot \vec{k}) = x(0) + y(0) + z(1) = z$

И по определению:

$\vec{a} \cdot \vec{k} = |\vec{a}| |\vec{k}| \cos \varphi_3 = |\vec{a}| \cos \varphi_3$

Следовательно, $z = |\vec{a}| \cos \varphi_3$.

Таким образом, мы доказали, что координаты $x, y, z$ ненулевого вектора $\vec{a}$ равны соответственно $|\vec{a}|\cos\varphi_1$, $|\vec{a}|\cos\varphi_2$ и $|\vec{a}|\cos\varphi_3$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Координаты вектора $\vec{a}=\{x;y;z\}$ являются проекциями этого вектора на оси координат. Проекция на ось $Ox$ равна $x$. С другой стороны, эта же проекция, по определению, равна $|\vec{a}|\cos\varphi_1$, где $\varphi_1$ - угол между вектором $\vec{a}$ и осью $Ox$ (вектором $\vec{i}$). Следовательно, $x=|\vec{a}|\cos\varphi_1$. Аналогично доказывается для координат $y$ и $z$, что $y=|\vec{a}|\cos\varphi_2$ и $z=|\vec{a}|\cos\varphi_3$.

702. Все рёбра тетраэдра ABCD равны друг другу. Точки М и N — середины рёбер AD и ВС. Докажите, что MN ⋅ AD = MN ⋅ BC = 0.

По условию, все рёбра тетраэдра $ABCD$ равны друг другу. Такой тетраэдр является правильным, а все его грани — равносторонние треугольники. Пусть длина ребра тетраэдра равна $a$. Точки $M$ и $N$ являются серединами рёбер $AD$ и $BC$ соответственно. Требуется доказать, что скалярное произведение вектора $\vec{MN}$ на вектор $\vec{AD}$ равно нулю, и скалярное произведение вектора $\vec{MN}$ на вектор $\vec{BC}$ также равно нулю.

Для доказательства воспользуемся векторным методом. Выберем вершину $A$ в качестве начала отсчёта. Тогда векторы, выходящие из этой вершины, будут радиус-векторами других вершин: $\vec{AB}$, $\vec{AC}$, $\vec{AD}$.

Поскольку $M$ — середина ребра $AD$, радиус-вектор точки $M$ выражается как $\vec{AM} = \frac{1}{2}\vec{AD}$.
Поскольку $N$ — середина ребра $BC$, радиус-вектор точки $N$ можно найти как полусумму радиус-векторов точек $B$ и $C$: $\vec{AN} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AC})$.

Теперь выразим вектор $\vec{MN}$ через векторы, выходящие из точки $A$:
$\vec{MN} = \vec{AN} - \vec{AM} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AC}) - \frac{1}{2}\vec{AD} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AC} - \vec{AD})$.

Так как тетраэдр правильный, длины векторов, соответствующих его рёбрам, равны $a$:$|\vec{AB}| = |\vec{AC}| = |\vec{AD}| = a$.Углы между рёбрами, выходящими из одной вершины, равны $60^\circ$ (углы равностороннего треугольника). Это позволяет нам вычислить скалярные произведения этих векторов:$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}| \cos(60^\circ) = a \cdot a \cdot \frac{1}{2} = \frac{a^2}{2}$
$\vec{AB} \cdot \vec{AD} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{AD}| \cos(60^\circ) = a \cdot a \cdot \frac{1}{2} = \frac{a^2}{2}$
$\vec{AC} \cdot \vec{AD} = |\vec{AC}| \cdot |\vec{AD}| \cos(60^\circ) = a \cdot a \cdot \frac{1}{2} = \frac{a^2}{2}$

Доказательство, что $\vec{MN} \cdot \vec{AD} = 0$

Вычислим скалярное произведение $\vec{MN}$ и $\vec{AD}$:$\vec{MN} \cdot \vec{AD} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AC} - \vec{AD}) \cdot \vec{AD}$
Используя дистрибутивное свойство скалярного произведения, раскроем скобки:$\vec{MN} \cdot \vec{AD} = \frac{1}{2}(\vec{AB} \cdot \vec{AD} + \vec{AC} \cdot \vec{AD} - \vec{AD} \cdot \vec{AD})$
Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины: $\vec{AD} \cdot \vec{AD} = |\vec{AD}|^2 = a^2$.
Подставим ранее найденные значения скалярных произведений:$\vec{MN} \cdot \vec{AD} = \frac{1}{2}\left(\frac{a^2}{2} + \frac{a^2}{2} - a^2\right) = \frac{1}{2}(a^2 - a^2) = 0$.Так как скалярное произведение равно нулю, векторы $\vec{MN}$ и $\vec{AD}$ перпендикулярны.
Ответ: Равенство $\vec{MN} \cdot \vec{AD} = 0$ доказано.

Доказательство, что $\vec{MN} \cdot \vec{BC} = 0$

Выразим вектор $\vec{BC}$ через векторы с началом в точке $A$:$\vec{BC} = \vec{AC} - \vec{AB}$.Теперь вычислим скалярное произведение $\vec{MN}$ и $\vec{BC}$:$\vec{MN} \cdot \vec{BC} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AC} - \vec{AD}) \cdot (\vec{AC} - \vec{AB})$
Раскроем скобки:$\vec{MN} \cdot \vec{BC} = \frac{1}{2}(\vec{AB} \cdot \vec{AC} - \vec{AB} \cdot \vec{AB} + \vec{AC} \cdot \vec{AC} - \vec{AC} \cdot \vec{AB} - \vec{AD} \cdot \vec{AC} + \vec{AD} \cdot \vec{AB})$
Учитывая, что $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = \vec{AC} \cdot \vec{AB}$, эти слагаемые взаимно уничтожаются.$\vec{MN} \cdot \vec{BC} = \frac{1}{2}(-\vec{AB} \cdot \vec{AB} + \vec{AC} \cdot \vec{AC} - \vec{AD} \cdot \vec{AC} + \vec{AD} \cdot \vec{AB})$
Подставим значения скалярных квадратов и скалярных произведений:$-\vec{AB} \cdot \vec{AB} = -|\vec{AB}|^2 = -a^2$
$\vec{AC} \cdot \vec{AC} = |\vec{AC}|^2 = a^2$
$-\vec{AD} \cdot \vec{AC} = -\frac{a^2}{2}$
$\vec{AD} \cdot \vec{AB} = \frac{a^2}{2}$
Получаем:$\vec{MN} \cdot \vec{BC} = \frac{1}{2}\left(-a^2 + a^2 - \frac{a^2}{2} + \frac{a^2}{2}\right) = \frac{1}{2}(0) = 0$.Так как скалярное произведение равно нулю, векторы $\vec{MN}$ и $\vec{BC}$ перпендикулярны.
Ответ: Равенство $\vec{MN} \cdot \vec{BC} = 0$ доказано.

703. В параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ AA₁ = AB = AD = 1, ∠DAB = 60°, ∠A₁AD = ∠A₁AB = 90°. Вычислите:

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат. Из условий $\angle A_1AD = \angle A_1AB = 90^\circ$ следует, что ребро $AA_1$ перпендикулярно ребрам $AD$ и $AB$, а значит, и всей плоскости основания $ABCD$. Основание $ABCD$ является ромбом, так как $AB=AD=1$ и $\angle DAB = 60^\circ$.

Поместим начало координат в точку $A(0, 0, 0)$. Направим ось $Ox$ вдоль вектора $\vec{AB}$, а ось $Oz$ вдоль вектора $\vec{AA_1}$. Ось $Oy$ будет лежать в плоскости основания $ABCD$.

Найдем координаты вершин параллелепипеда:

• $A(0, 0, 0)$
• $B(1, 0, 0)$ (т.к. $AB=1$ и $\vec{AB}$ сонаправлен с $Ox$)
• $D(1 \cdot \cos 60^\circ, 1 \cdot \sin 60^\circ, 0) = D(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$
• $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}$, поэтому $C = B + D - A = (1+\frac{1}{2}, 0+\frac{\sqrt{3}}{2}, 0) = C(\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$
• $A_1(0, 0, 1)$ (т.к. $AA_1=1$ и $\vec{AA_1}$ сонаправлен с $Oz$)
• $B_1(1, 0, 1)$
• $C_1(\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$
• $D_1(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$

Теперь, имея координаты всех вершин, мы можем вычислить требуемые величины.

а) Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{BA}$ и $\vec{D_1C_1}$.
Найдем координаты векторов:
$\vec{BA} = A - B = (0-1, 0-0, 0-0) = (-1, 0, 0)$.
В параллелепипеде $\vec{D_1C_1} = \vec{AB}$. Координаты вектора $\vec{AB} = B - A = (1-0, 0-0, 0-0) = (1, 0, 0)$.
Следовательно, $\vec{D_1C_1} = (1, 0, 0)$.
Скалярное произведение: $\vec{BA} \cdot \vec{D_1C_1} = (-1) \cdot 1 + 0 \cdot 0 + 0 \cdot 0 = -1$.

Ответ: -1

б) Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{BC_1}$ и $\vec{D_1B}$.
Найдем координаты векторов:
$\vec{BC_1} = C_1 - B = (\frac{3}{2}-1, \frac{\sqrt{3}}{2}-0, 1-0) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$.
$\vec{D_1B} = B - D_1 = (1-\frac{1}{2}, 0-\frac{\sqrt{3}}{2}, 0-1) = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, -1)$.
Скалярное произведение: $\vec{BC_1} \cdot \vec{D_1B} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) + 1 \cdot (-1) = \frac{1}{4} - \frac{3}{4} - 1 = -\frac{2}{4} - 1 = -\frac{1}{2} - 1 = -\frac{3}{2}$.

Ответ: $-\frac{3}{2}$

в) Вычислим $\vec{AC_1} \cdot \vec{AC_1}$. Это выражение равно квадрату длины вектора $\vec{AC_1}$.
Найдем координаты вектора $\vec{AC_1}$:
$\vec{AC_1} = C_1 - A = (\frac{3}{2}-0, \frac{\sqrt{3}}{2}-0, 1-0) = (\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$.
Тогда $\vec{AC_1} \cdot \vec{AC_1} = |\vec{AC_1}|^2 = (\frac{3}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + 1^2 = \frac{9}{4} + \frac{3}{4} + 1 = \frac{12}{4} + 1 = 3 + 1 = 4$.

Ответ: 4

г) Вычислим $|\vec{DB_1}|$, то есть длину вектора $\vec{DB_1}$.
Найдем координаты вектора $\vec{DB_1}$:
$\vec{DB_1} = B_1 - D = (1-\frac{1}{2}, 0-\frac{\sqrt{3}}{2}, 1-0) = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$.
Длина вектора: $|\vec{DB_1}| = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + (-\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + 1^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4} + 1} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$.

Ответ: $\sqrt{2}$

д) Вычислим $|\vec{A_1C}|$, то есть длину вектора $\vec{A_1C}$.
Найдем координаты вектора $\vec{A_1C}$:
$\vec{A_1C} = C - A_1 = (\frac{3}{2}-0, \frac{\sqrt{3}}{2}-0, 0-1) = (\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, -1)$.
Длина вектора: $|\vec{A_1C}| = \sqrt{(\frac{3}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (-1)^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{3}{4} + 1} = \sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2$.

Ответ: 2

e) Вычислим $\cos(\widehat{\vec{DA_1}, \vec{D_1B}})$.
Косинус угла между векторами находится по формуле $\cos \alpha = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$.
Найдем векторы и их длины:
$\vec{DA_1} = A_1 - D = (0-\frac{1}{2}, 0-\frac{\sqrt{3}}{2}, 1-0) = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$.
$|\vec{DA_1}| = \sqrt{(-\frac{1}{2})^2 + (-\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + 1^2} = \sqrt{\frac{1}{4}+\frac{3}{4}+1} = \sqrt{2}$.
$\vec{D_1B} = B - D_1 = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, -1)$ (вектор найден в пункте б)).
$|\vec{D_1B}| = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + (-\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (-1)^2} = \sqrt{\frac{1}{4}+\frac{3}{4}+1} = \sqrt{2}$.
Скалярное произведение: $\vec{DA_1} \cdot \vec{D_1B} = (-\frac{1}{2})\cdot\frac{1}{2} + (-\frac{\sqrt{3}}{2})\cdot(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + 1\cdot(-1) = -\frac{1}{4} + \frac{3}{4} - 1 = \frac{2}{4} - 1 = -\frac{1}{2}$.
Косинус угла: $\cos(\widehat{\vec{DA_1}, \vec{D_1B}}) = \frac{-1/2}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{-1/2}{2} = -\frac{1}{4}$.

Ответ: $-\frac{1}{4}$

ж) Вычислим $\cos(\widehat{\vec{AC_1}, \vec{DB_1}})$.
Используем те же векторы, что и в предыдущих пунктах.
$\vec{AC_1} = (\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$, $|\vec{AC_1}| = 2$ (из пункта в)).
$\vec{DB_1} = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$, $|\vec{DB_1}| = \sqrt{2}$ (из пункта г)).
Найдем их скалярное произведение:
$\vec{AC_1} \cdot \vec{DB_1} = \frac{3}{2}\cdot\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + 1\cdot 1 = \frac{3}{4} - \frac{3}{4} + 1 = 1$.
Косинус угла: $\cos(\widehat{\vec{AC_1}, \vec{DB_1}}) = \frac{1}{|\vec{AC_1}| \cdot |\vec{DB_1}|} = \frac{1}{2 \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{4}$

704. В тетраэдре ABCD противоположные рёбра AD и ВС, а также BD и АС перпендикулярны. Докажите, что противоположные рёбра CD и AB также перпендикулярны.

Решение

Введём векторы a = DA, b = DB, c = DC. Тогда AB = b − a, AC = c − a, BC = c − b. По условию AD ⊥ BC и BD ⊥ АС, поэтому a ⊥ (c − b) и b ⊥ (c − a). Следовательно, a(c − b) = 0 и b(c − a) = 0. Отсюда получаем ac = ab и bc = ba. Из этих двух равенств следует, что ac = bc, или (b − a) c = 0. Но b − a = AB, c = DC, поэтому AB ⋅ DC = 0, и, значит, AB ⊥ CD, что и требовалось доказать.

Для доказательства утверждения воспользуемся векторным методом. Выберем одну из вершин тетраэдра, например $D$, в качестве начала системы координат. Введём базисные векторы, соответствующие рёбрам, выходящим из этой вершины: $\vec{a} = \vec{DA}$, $\vec{b} = \vec{DB}$ и $\vec{c} = \vec{DC}$.

Теперь выразим векторы, соответствующие другим рёбрам тетраэдра, через введённые базисные векторы. По правилу треугольника для векторов получаем:

$\vec{BC} = \vec{DC} - \vec{DB} = \vec{c} - \vec{b}$

$\vec{AC} = \vec{DC} - \vec{DA} = \vec{c} - \vec{a}$

$\vec{AB} = \vec{DB} - \vec{DA} = \vec{b} - \vec{a}$

По условию задачи, противоположные рёбра $AD$ и $BC$ перпендикулярны. Перпендикулярность двух прямых означает, что скалярное произведение их направляющих векторов равно нулю. В качестве направляющих векторов для прямых $AD$ и $BC$ можно взять векторы $\vec{DA}$ и $\vec{BC}$ соответственно. Запишем это условие:

$\vec{DA} \cdot \vec{BC} = 0$

$\vec{a} \cdot (\vec{c} - \vec{b}) = 0$

Раскрыв скобки, получим: $\vec{a} \cdot \vec{c} - \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$, что эквивалентно $\vec{a} \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{b}$.

Также по условию перпендикулярны рёбра $BD$ и $AC$. Запишем это условие аналогичным образом, используя направляющие векторы $\vec{DB}$ и $\vec{AC}$:

$\vec{DB} \cdot \vec{AC} = 0$

$\vec{b} \cdot (\vec{c} - \vec{a}) = 0$

Раскрыв скобки, получим: $\vec{b} \cdot \vec{c} - \vec{b} \cdot \vec{a} = 0$, что эквивалентно $\vec{b} \cdot \vec{c} = \vec{b} \cdot \vec{a}$.

Теперь у нас есть система из двух равенств:

1) $\vec{a} \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{b}$

2) $\vec{b} \cdot \vec{c} = \vec{b} \cdot \vec{a}$

Поскольку скалярное произведение коммутативно (т.е. $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$), правые части обоих равенств равны. Следовательно, мы можем приравнять их левые части:

$\vec{a} \cdot \vec{c} = \vec{b} \cdot \vec{c}$

Перенесём все члены в одну сторону равенства:

$\vec{b} \cdot \vec{c} - \vec{a} \cdot \vec{c} = 0$

Используя свойство дистрибутивности скалярного произведения, вынесем вектор $\vec{c}$ за скобки:

$(\vec{b} - \vec{a}) \cdot \vec{c} = 0$

Вспомним, что вектор $\vec{AB}$ выражается как $\vec{b} - \vec{a}$, а вектор $\vec{DC}$ равен $\vec{c}$. Подставив эти выражения в полученное равенство, имеем:

$\vec{AB} \cdot \vec{DC} = 0$

Равенство нулю скалярного произведения векторов $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$ означает, что эти векторы ортогональны. Следовательно, прямые, на которых лежат рёбра $AB$ и $CD$, перпендикулярны.

Таким образом, мы доказали, что если в тетраэдре две пары противоположных рёбер взаимно перпендикулярны, то и третья пара рёбер также взаимно перпендикулярна.

Ответ: Перпендикулярность противоположных рёбер $CD$ и $AB$ доказана.