Страница 171 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

679. Напишите уравнение сферы с центром А, проходящей через точку N, если:

а)

Общее уравнение сферы с центром в точке $A(x_0; y_0; z_0)$ и радиусом $R$ имеет вид: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$.

По условию, центр сферы находится в точке $A(-2; 2; 0)$, следовательно, координаты центра: $x_0 = -2$, $y_0 = 2$, $z_0 = 0$.

Так как сфера проходит через точку $N(5; 0; -1)$, то ее радиус $R$ равен расстоянию между точками $A$ и $N$. Найдем квадрат радиуса $R^2$ по формуле квадрата расстояния между двумя точками:

$R^2 = AN^2 = (x_N - x_A)^2 + (y_N - y_A)^2 + (z_N - z_A)^2$

Подставим координаты точек $A$ и $N$:

$R^2 = (5 - (-2))^2 + (0 - 2)^2 + (-1 - 0)^2 = (5 + 2)^2 + (-2)^2 + (-1)^2 = 7^2 + 4 + 1 = 49 + 4 + 1 = 54$.

Теперь подставим координаты центра $A$ и найденное значение $R^2$ в общее уравнение сферы:

$(x - (-2))^2 + (y - 2)^2 + (z - 0)^2 = 54$

$(x + 2)^2 + (y - 2)^2 + z^2 = 54$

Ответ: $(x + 2)^2 + (y - 2)^2 + z^2 = 54$.

б)

Центр сферы находится в точке $A(-2; 2; 0)$, а точка $N(0; 0; 0)$ лежит на сфере.

Координаты центра: $x_0 = -2$, $y_0 = 2$, $z_0 = 0$.

Найдем квадрат радиуса $R^2$ как квадрат расстояния от центра $A$ до точки $N$:

$R^2 = AN^2 = (0 - (-2))^2 + (0 - 2)^2 + (0 - 0)^2 = 2^2 + (-2)^2 + 0^2 = 4 + 4 + 0 = 8$.

Подставим найденные значения в уравнение сферы:

$(x - (-2))^2 + (y - 2)^2 + (z - 0)^2 = 8$

$(x + 2)^2 + (y - 2)^2 + z^2 = 8$

Ответ: $(x + 2)^2 + (y - 2)^2 + z^2 = 8$.

в)

Центр сферы находится в точке $A(0; 0; 0)$ (начало координат), а точка $N(5; 3; 1)$ лежит на сфере.

Координаты центра: $x_0 = 0$, $y_0 = 0$, $z_0 = 0$.

Найдем квадрат радиуса $R^2$ как квадрат расстояния от центра $A$ до точки $N$:

$R^2 = AN^2 = (5 - 0)^2 + (3 - 0)^2 + (1 - 0)^2 = 5^2 + 3^2 + 1^2 = 25 + 9 + 1 = 35$.

Уравнение сферы в этом случае примет вид:

$(x - 0)^2 + (y - 0)^2 + (z - 0)^2 = 35$

$x^2 + y^2 + z^2 = 35$

Ответ: $x^2 + y^2 + z^2 = 35$.

680. Найдите координаты центра и радиус сферы, заданной уравнением:

Общее уравнение сферы с центром в точке $C(x_0; y_0; z_0)$ и радиусом $R$ имеет вид:
$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$
Для нахождения координат центра и радиуса сферы необходимо сравнить заданное уравнение с этим стандартным видом.

а)

Рассмотрим уравнение $x^2 + y^2 + z^2 = 49$.
Его можно представить в стандартном виде следующим образом:
$(x - 0)^2 + (y - 0)^2 + (z - 0)^2 = 7^2$.
Сравнивая это уравнение со стандартной формой, мы можем определить координаты центра и радиус.
Координаты центра $(x_0; y_0; z_0)$ равны $(0; 0; 0)$.
Квадрат радиуса $R^2 = 49$. Отсюда радиус $R = \sqrt{49} = 7$.
Ответ: центр сферы — точка с координатами $(0; 0; 0)$, радиус $R = 7$.

б)

Рассмотрим уравнение $(x - 3)^2 + (y + 2)^2 + z^2 = 2$.
Представим это уравнение в стандартном виде, обращая внимание на знаки при координатах:
$(x - 3)^2 + (y - (-2))^2 + (z - 0)^2 = (\sqrt{2})^2$.
Сравнивая это уравнение со стандартной формой, мы можем определить координаты центра и радиус.
Координаты центра $(x_0; y_0; z_0)$ равны $(3; -2; 0)$.
Квадрат радиуса $R^2 = 2$. Отсюда радиус $R = \sqrt{2}$.
Ответ: центр сферы — точка с координатами $(3; -2; 0)$, радиус $R = \sqrt{2}$.

681. Докажите, что каждое из следующих уравнений является уравнением сферы. Найдите координаты центра и радиус этой сферы:

Для того чтобы доказать, что каждое из данных уравнений является уравнением сферы, мы приведем их к каноническому виду уравнения сферы: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$, где $(x_0, y_0, z_0)$ — координаты центра сферы, а $R$ — ее радиус. Этот процесс выполняется с помощью метода выделения полного квадрата для каждой переменной.

а) Исходное уравнение: $x^2 - 4x + y^2 + z^2 = 0$.
Сгруппируем члены с переменной $x$ и выделим полный квадрат по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$(x^2 - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2) - 2^2 + y^2 + z^2 = 0$
$(x - 2)^2 - 4 + y^2 + z^2 = 0$
Перенесем свободный член в правую часть:
$(x - 2)^2 + y^2 + z^2 = 4$
Данное уравнение соответствует каноническому виду $(x - 2)^2 + (y - 0)^2 + (z - 0)^2 = 2^2$. Поскольку правая часть $R^2 = 4 > 0$, это уравнение является уравнением сферы. Координаты центра: $(2; 0; 0)$.
Радиус: $R = \sqrt{4} = 2$.
Ответ: Центр $(2; 0; 0)$, радиус $2$.

б) Исходное уравнение: $x^2 + y^2 + z^2 - 2y = 24$.
Сгруппируем члены с переменной $y$ и выделим полный квадрат:
$x^2 + (y^2 - 2y) + z^2 = 24$
$x^2 + (y^2 - 2 \cdot y \cdot 1 + 1^2) - 1^2 + z^2 = 24$
$x^2 + (y - 1)^2 - 1 + z^2 = 24$
Перенесем свободный член в правую часть:
$x^2 + (y - 1)^2 + z^2 = 25$
Канонический вид уравнения: $(x - 0)^2 + (y - 1)^2 + (z - 0)^2 = 5^2$.
Это уравнение сферы, так как $R^2 = 25 > 0$.
Координаты центра: $(0; 1; 0)$.
Радиус: $R = \sqrt{25} = 5$.
Ответ: Центр $(0; 1; 0)$, радиус $5$.

в) Исходное уравнение: $x^2 + 2x + y^2 + z^2 = 3$.
Сгруппируем члены с переменной $x$ и выделим полный квадрат по формуле $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:
$(x^2 + 2x) + y^2 + z^2 = 3$
$(x^2 + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2) - 1^2 + y^2 + z^2 = 3$
$(x + 1)^2 - 1 + y^2 + z^2 = 3$
Перенесем свободный член в правую часть:
$(x + 1)^2 + y^2 + z^2 = 4$
Канонический вид уравнения: $(x - (-1))^2 + (y - 0)^2 + (z - 0)^2 = 2^2$.
Это уравнение сферы, так как $R^2 = 4 > 0$.
Координаты центра: $(-1; 0; 0)$.
Радиус: $R = \sqrt{4} = 2$.
Ответ: Центр $(-1; 0; 0)$, радиус $2$.

г) Исходное уравнение: $x^2 - x + y^2 + 3y + z^2 - 2z = 2,5$.
Сгруппируем члены для каждой переменной и выделим полные квадраты:
$(x^2 - x) + (y^2 + 3y) + (z^2 - 2z) = 2,5$
$(x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2) - (\frac{1}{2})^2 + (y^2 + 2 \cdot y \cdot \frac{3}{2} + (\frac{3}{2})^2) - (\frac{3}{2})^2 + (z^2 - 2 \cdot z \cdot 1 + 1^2) - 1^2 = 2,5$
$(x - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4} + (y + \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} + (z - 1)^2 - 1 = 2,5$
Перенесем свободные члены в правую часть:
$(x - \frac{1}{2})^2 + (y + \frac{3}{2})^2 + (z - 1)^2 = 2,5 + \frac{1}{4} + \frac{9}{4} + 1$
$(x - \frac{1}{2})^2 + (y + \frac{3}{2})^2 + (z - 1)^2 = 2,5 + 0,25 + 2,25 + 1$
$(x - \frac{1}{2})^2 + (y + \frac{3}{2})^2 + (z - 1)^2 = 6$
Канонический вид уравнения: $(x - \frac{1}{2})^2 + (y - (-\frac{3}{2}))^2 + (z - 1)^2 = (\sqrt{6})^2$.
Это уравнение сферы, так как $R^2 = 6 > 0$.
Координаты центра: $(\frac{1}{2}; -\frac{3}{2}; 1)$.
Радиус: $R = \sqrt{6}$.
Ответ: Центр $(\frac{1}{2}; -\frac{3}{2}; 1)$, радиус $\sqrt{6}$.