Страница 168 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

650. Коллинеарны ли векторы:

Решение

а) Координаты вектора a{3; 6; 8} пропорциональны координатам вектора

Поэтому a = kb, и, следовательно, векторы a и b коллинеарны.

б) Координаты вектора c{1; −1; 3} не пропорциональны координатам вектора d{2; 3; 15}, например $\frac{1}{2}$ ≠ − $\frac{1}{3}$. Поэтому векторы c и d не коллинеарны. В самом деле, если предположить, что векторы c и d коллинеарны, то существует такое число k, что c = kd. Но тогда координаты вектора c пропорциональны координатам вектора d, что противоречит условию задачи.

Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Алгебраически это означает, что один вектор можно выразить через другой умножением на некоторое число (скаляр). Для векторов $\vec{a}\{x_1; y_1; z_1\}$ и $\vec{b}\{x_2; y_2; z_2\}$ условие коллинеарности заключается в пропорциональности их координат:

$\frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2} = \frac{z_1}{z_2} = k$

где $k$ – коэффициент пропорциональности. Если одна из координат знаменателя равна нулю, то для коллинеарности соответствующая координата числителя также должна быть равна нулю. Нулевой вектор $\vec{0}\{0; 0; 0\}$ по определению коллинеарен любому вектору.

а) Проверим коллинеарность векторов $\vec{a}\{3; 6; 8\}$ и $\vec{b}\{6; 12; 16\}$.

Для этого составим отношения их соответствующих координат:

$\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

$\frac{6}{12} = \frac{1}{2}$

$\frac{8}{16} = \frac{1}{2}$

Так как отношения всех координат равны одному и тому же числу ($\frac{1}{2}$), то координаты векторов пропорциональны. Следовательно, векторы коллинеарны, причем $\vec{a} = \frac{1}{2}\vec{b}$.

Ответ: векторы коллинеарны.

б) Проверим коллинеарность векторов $\vec{c}\{1; -1; 3\}$ и $\vec{d}\{2; 3; 15\}$.

Составим отношения их соответствующих координат:

$\frac{1}{2}$

$\frac{-1}{3}$

$\frac{3}{15} = \frac{1}{5}$

Так как $\frac{1}{2} \neq -\frac{1}{3} \neq \frac{1}{5}$, отношения координат не равны. Следовательно, векторы не являются коллинеарными.

Ответ: векторы не коллинеарны.

в) Проверим коллинеарность векторов $\vec{i}\{1; 0; 0\}$ и $\vec{j}\{0; 1; 0\}$.

Предположим, что векторы коллинеарны. Тогда должно существовать такое число $k$, что $\vec{i} = k\vec{j}$. Запишем это равенство в координатной форме:

$\{1; 0; 0\} = k \cdot \{0; 1; 0\} = \{0; k; 0\}$

Приравнивая соответствующие координаты, получаем систему:

$1 = 0$

$0 = k$

$0 = 0$

Первое уравнение $1=0$ является ложным, что приводит к противоречию. Следовательно, такого числа $k$ не существует, и векторы не коллинеарны.

Ответ: векторы не коллинеарны.

г) Проверим коллинеарность векторов $\vec{m}\{0; 0; 0\}$ и $\vec{n}\{5; 7; -3\}$.

Вектор $\vec{m}$ — это нулевой вектор. По определению, нулевой вектор коллинеарен любому вектору. Это следует из того, что для любого вектора $\vec{n}$ существует число $k=0$, такое что $\vec{m} = k\vec{n}$.

Проверка: $0 \cdot \vec{n} = 0 \cdot \{5; 7; -3\} = \{0 \cdot 5; 0 \cdot 7; 0 \cdot (-3)\} = \{0; 0; 0\} = \vec{m}$.

Равенство выполняется, значит, векторы коллинеарны.

Ответ: векторы коллинеарны.

д) Проверим коллинеарность векторов $\vec{p}\{\frac{1}{3}; -1; 5\}$ и $\vec{q}\{-1; -3; -15\}$.

Составим отношения их соответствующих координат:

Отношение первых координат: $\frac{1/3}{-1} = -\frac{1}{3}$.

Отношение вторых координат: $\frac{-1}{-3} = \frac{1}{3}$.

Отношение третьих координат: $\frac{5}{-15} = -\frac{1}{3}$.

Так как $-\frac{1}{3} \neq \frac{1}{3}$, отношения координат не равны друг другу. Следовательно, векторы не коллинеарны.

Ответ: векторы не коллинеарны.

651. Найдите значения m и n, при которых следующие векторы коллинеарны:

Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Для того чтобы два ненулевых вектора $\vec{v_1}\{x_1; y_1; z_1\}$ и $\vec{v_2}\{x_2; y_2; z_2\}$ были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы их соответствующие координаты были пропорциональны. То есть должно существовать такое число $k \neq 0$, что $\vec{v_2} = k \cdot \vec{v_1}$, что эквивалентно системе равенств:

$x_2 = k \cdot x_1$

$y_2 = k \cdot y_1$

$z_2 = k \cdot z_1$

Это можно записать в виде пропорции: $\frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2} = \frac{z_1}{z_2}$ (при условии, что ни одна из координат второго вектора не равна нулю).

а) Найдем значения $m$ и $n$, при которых векторы $\vec{a}\{15; m; 1\}$ и $\vec{b}\{18; 12; n\}$ коллинеарны.

Составим пропорцию из координат векторов:

$\frac{15}{18} = \frac{m}{12} = \frac{1}{n}$

Сначала упростим известное соотношение: $\frac{15}{18} = \frac{15 \div 3}{18 \div 3} = \frac{5}{6}$.

Теперь найдем $m$ из пропорции $\frac{5}{6} = \frac{m}{12}$.

$m = \frac{5 \cdot 12}{6} = 5 \cdot 2 = 10$

Далее найдем $n$ из пропорции $\frac{5}{6} = \frac{1}{n}$.

$5 \cdot n = 6 \cdot 1 \implies 5n = 6 \implies n = \frac{6}{5} = 1,2$

Ответ: $m = 10, n = 1,2$.

б) Найдем значения $m$ и $n$, при которых векторы $\vec{c}\{m; 0,4; -1\}$ и $\vec{d}\{-\frac{1}{2}; n; 5\}$ коллинеарны.

Составим пропорцию из координат векторов:

$\frac{m}{-\frac{1}{2}} = \frac{0,4}{n} = \frac{-1}{5}$

Используем известное соотношение $\frac{-1}{5}$ для нахождения неизвестных.

Найдем $m$ из пропорции $\frac{m}{-\frac{1}{2}} = \frac{-1}{5}$.

$m = \frac{-1}{5} \cdot (-\frac{1}{2}) = \frac{1}{10} = 0,1$

Теперь найдем $n$ из пропорции $\frac{0,4}{n} = \frac{-1}{5}$.

$-1 \cdot n = 0,4 \cdot 5 \implies -n = 2 \implies n = -2$

Ответ: $m = 0,1, n = -2$.

652. Компланарны ли векторы:

Решение

г) Векторы d{1; −1; 2} и e{−2; 0; 1} не коллинеарны, так как координаты одного не пропорциональны координатам другого. Если вектор f{5; −1; 0} можно разложить по векторам d и e, то векторы d, e и f компланарны. Если же вектор f нельзя разложить по векторам d и e, то векторы d, e и f не компланарны (в противном случае вектор f можно было бы разложить по векторам d и e). Таким образом, для решения задачи нужно установить, можно ли вектор f разложить по векторам d и e, т. е. существуют ли числа х и у такие, что f = xd + ye. Записывая это равенство в координат ах, получаем: 5 = х − 2у, −1 = −x, 0 = 2х + у.

Если эта система уравнений имеет решение относительно х и у, то вектор f можно разложить по векторам d и e, а если не имеет решения, то вектор f разложить нельзя. В данном случае система имеет решение: х = 1, у = −2. Поэтому вектор f можно разложить по векторам d и e, и, значит, векторы d, e и f компланарны.

Для определения компланарности трех векторов необходимо вычислить их смешанное произведение. Три вектора $\vec{a}\{a_x; a_y; a_z\}$, $\vec{b}\{b_x; b_y; b_z\}$ и $\vec{c}\{c_x; c_y; c_z\}$ компланарны (лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях) тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю. Смешанное произведение вычисляется как определитель матрицы, составленной из координат этих векторов:

$$(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} = \begin{vmatrix}a_x & a_y & a_z \\b_x & b_y & b_z \\c_x & c_y & c_z\end{vmatrix}$$

Если определитель равен нулю, векторы компланарны. В противном случае — не компланарны.

а) $\vec{a}\{-3; -3; 0\}$, $\vec{i}$ и $\vec{j}$

Запишем координаты заданных векторов. Координатные векторы (орты) имеют следующие координаты: $\vec{i}\{1; 0; 0\}$ и $\vec{j}\{0; 1; 0\}$.

Вычислим смешанное произведение векторов $\vec{a}$, $\vec{i}$ и $\vec{j}$:

$$\begin{vmatrix}-3 & -3 & 0 \\1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0\end{vmatrix}= -3 \begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} - (-3) \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} + 0 \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = -3(0) + 3(0) + 0 = 0$$

Так как смешанное произведение равно нулю, векторы компланарны. Кроме того, можно заметить, что вектор $\vec{a}$ выражается через $\vec{i}$ и $\vec{j}$ как $\vec{a} = -3\vec{i} - 3\vec{j}$, что означает, что он лежит в плоскости Oxy, образованной векторами $\vec{i}$ и $\vec{j}$.

Ответ: Да, компланарны.

б) $\vec{b}\{2; 0; -3\}$, $\vec{i}$ и $\vec{j}$

Векторы имеют координаты: $\vec{b}\{2; 0; -3\}$, $\vec{i}\{1; 0; 0\}$, $\vec{j}\{0; 1; 0\}$.

Вычислим смешанное произведение:

$$\begin{vmatrix}2 & 0 & -3 \\1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0\end{vmatrix}= 2 \begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} - 0 \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} + (-3) \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 2(0) - 0 - 3(1) = -3$$

Смешанное произведение не равно нулю ($-3 \neq 0$), следовательно, векторы не являются компланарными.

Ответ: Нет, не компланарны.

в) $\vec{c}\{1; 0; -2\}$, $\vec{i}$ и $\vec{k}$

Векторы имеют координаты: $\vec{c}\{1; 0; -2\}$, $\vec{i}\{1; 0; 0\}$, $\vec{k}\{0; 0; 1\}$.

Вычислим смешанное произведение:

$$\begin{vmatrix}1 & 0 & -2 \\1 & 0 & 0 \\0 & 0 & 1\end{vmatrix}$$

Так как второй столбец определителя состоит только из нулей, значение определителя равно нулю.

Следовательно, векторы компланарны. Вектор $\vec{c}$ является линейной комбинацией векторов $\vec{i}$ и $\vec{k}$ ($\vec{c} = 1\vec{i} - 2\vec{k}$) и лежит в плоскости Oxz.

Ответ: Да, компланарны.

г) $\vec{d}\{1; -1; 2\}$, $\vec{e}\{-2; 0; 1\}$ и $\vec{f}\{5; -1; 0\}$

Вычислим смешанное произведение векторов $\vec{d}$, $\vec{e}$ и $\vec{f}$:

$$\begin{vmatrix}1 & -1 & 2 \\-2 & 0 & 1 \\5 & -1 & 0\end{vmatrix}= 1(0 \cdot 0 - 1 \cdot (-1)) - (-1)(-2 \cdot 0 - 1 \cdot 5) + 2(-2 \cdot (-1) - 0 \cdot 5)$$$$= 1(1) + 1(-5) + 2(2) = 1 - 5 + 4 = 0$$

Смешанное произведение равно нулю, следовательно, векторы компланарны.

Ответ: Да, компланарны.

д) $\vec{m}\{1; 0; 2\}$, $\vec{n}\{1; 1; -1\}$ и $\vec{p}\{-1; 2; 4\}$

Вычислим смешанное произведение векторов $\vec{m}$, $\vec{n}$ и $\vec{p}$:

$$\begin{vmatrix}1 & 0 & 2 \\1 & 1 & -1 \\-1 & 2 & 4\end{vmatrix}= 1(1 \cdot 4 - (-1) \cdot 2) - 0(1 \cdot 4 - (-1) \cdot (-1)) + 2(1 \cdot 2 - 1 \cdot (-1))$$$$= 1(4 + 2) - 0 + 2(2 + 1) = 6 + 2(3) = 12$$

Смешанное произведение равно 12, что не равно нулю. Следовательно, векторы не компланарны.

Ответ: Нет, не компланарны.

е) $\vec{q}\{0; 5; 3\}$, $\vec{r}\{3; 3; 3\}$ и $\vec{s}\{1; 1; 4\}$

Вычислим смешанное произведение векторов $\vec{q}$, $\vec{r}$ и $\vec{s}$:

$$\begin{vmatrix}0 & 5 & 3 \\3 & 3 & 3 \\1 & 1 & 4\end{vmatrix}= 0 \begin{vmatrix} 3 & 3 \\ 1 & 4 \end{vmatrix} - 5 \begin{vmatrix} 3 & 3 \\ 1 & 4 \end{vmatrix} + 3 \begin{vmatrix} 3 & 3 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}$$$$= 0 - 5(3 \cdot 4 - 3 \cdot 1) + 3(3 \cdot 1 - 3 \cdot 1) = -5(12 - 3) + 3(0) = -5(9) = -45$$

Смешанное произведение равно -45, что не равно нулю. Следовательно, векторы не компланарны.

Ответ: Нет, не компланарны.