Номер 652, страница 168 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

652. Компланарны ли векторы:

Решение

г) Векторы d{1; −1; 2} и e{−2; 0; 1} не коллинеарны, так как координаты одного не пропорциональны координатам другого. Если вектор f{5; −1; 0} можно разложить по векторам d и e, то векторы d, e и f компланарны. Если же вектор f нельзя разложить по векторам d и e, то векторы d, e и f не компланарны (в противном случае вектор f можно было бы разложить по векторам d и e). Таким образом, для решения задачи нужно установить, можно ли вектор f разложить по векторам d и e, т. е. существуют ли числа х и у такие, что f = xd + ye. Записывая это равенство в координат ах, получаем: 5 = х − 2у, −1 = −x, 0 = 2х + у.

Если эта система уравнений имеет решение относительно х и у, то вектор f можно разложить по векторам d и e, а если не имеет решения, то вектор f разложить нельзя. В данном случае система имеет решение: х = 1, у = −2. Поэтому вектор f можно разложить по векторам d и e, и, значит, векторы d, e и f компланарны.

Для определения компланарности трех векторов необходимо вычислить их смешанное произведение. Три вектора $\vec{a}\{a_x; a_y; a_z\}$, $\vec{b}\{b_x; b_y; b_z\}$ и $\vec{c}\{c_x; c_y; c_z\}$ компланарны (лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях) тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю. Смешанное произведение вычисляется как определитель матрицы, составленной из координат этих векторов:

$$(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} = \begin{vmatrix}a_x & a_y & a_z \\b_x & b_y & b_z \\c_x & c_y & c_z\end{vmatrix}$$

Если определитель равен нулю, векторы компланарны. В противном случае — не компланарны.

а) $\vec{a}\{-3; -3; 0\}$, $\vec{i}$ и $\vec{j}$

Запишем координаты заданных векторов. Координатные векторы (орты) имеют следующие координаты: $\vec{i}\{1; 0; 0\}$ и $\vec{j}\{0; 1; 0\}$.

Вычислим смешанное произведение векторов $\vec{a}$, $\vec{i}$ и $\vec{j}$:

$$\begin{vmatrix}-3 & -3 & 0 \\1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0\end{vmatrix}= -3 \begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} - (-3) \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} + 0 \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = -3(0) + 3(0) + 0 = 0$$

Так как смешанное произведение равно нулю, векторы компланарны. Кроме того, можно заметить, что вектор $\vec{a}$ выражается через $\vec{i}$ и $\vec{j}$ как $\vec{a} = -3\vec{i} - 3\vec{j}$, что означает, что он лежит в плоскости Oxy, образованной векторами $\vec{i}$ и $\vec{j}$.

Ответ: Да, компланарны.

б) $\vec{b}\{2; 0; -3\}$, $\vec{i}$ и $\vec{j}$

Векторы имеют координаты: $\vec{b}\{2; 0; -3\}$, $\vec{i}\{1; 0; 0\}$, $\vec{j}\{0; 1; 0\}$.

Вычислим смешанное произведение:

$$\begin{vmatrix}2 & 0 & -3 \\1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0\end{vmatrix}= 2 \begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} - 0 \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} + (-3) \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 2(0) - 0 - 3(1) = -3$$

Смешанное произведение не равно нулю ($-3 \neq 0$), следовательно, векторы не являются компланарными.

Ответ: Нет, не компланарны.

в) $\vec{c}\{1; 0; -2\}$, $\vec{i}$ и $\vec{k}$

Векторы имеют координаты: $\vec{c}\{1; 0; -2\}$, $\vec{i}\{1; 0; 0\}$, $\vec{k}\{0; 0; 1\}$.

Вычислим смешанное произведение:

$$\begin{vmatrix}1 & 0 & -2 \\1 & 0 & 0 \\0 & 0 & 1\end{vmatrix}$$

Так как второй столбец определителя состоит только из нулей, значение определителя равно нулю.

Следовательно, векторы компланарны. Вектор $\vec{c}$ является линейной комбинацией векторов $\vec{i}$ и $\vec{k}$ ($\vec{c} = 1\vec{i} - 2\vec{k}$) и лежит в плоскости Oxz.

Ответ: Да, компланарны.

г) $\vec{d}\{1; -1; 2\}$, $\vec{e}\{-2; 0; 1\}$ и $\vec{f}\{5; -1; 0\}$

Вычислим смешанное произведение векторов $\vec{d}$, $\vec{e}$ и $\vec{f}$:

$$\begin{vmatrix}1 & -1 & 2 \\-2 & 0 & 1 \\5 & -1 & 0\end{vmatrix}= 1(0 \cdot 0 - 1 \cdot (-1)) - (-1)(-2 \cdot 0 - 1 \cdot 5) + 2(-2 \cdot (-1) - 0 \cdot 5)$$$$= 1(1) + 1(-5) + 2(2) = 1 - 5 + 4 = 0$$

Смешанное произведение равно нулю, следовательно, векторы компланарны.

Ответ: Да, компланарны.

д) $\vec{m}\{1; 0; 2\}$, $\vec{n}\{1; 1; -1\}$ и $\vec{p}\{-1; 2; 4\}$

Вычислим смешанное произведение векторов $\vec{m}$, $\vec{n}$ и $\vec{p}$:

$$\begin{vmatrix}1 & 0 & 2 \\1 & 1 & -1 \\-1 & 2 & 4\end{vmatrix}= 1(1 \cdot 4 - (-1) \cdot 2) - 0(1 \cdot 4 - (-1) \cdot (-1)) + 2(1 \cdot 2 - 1 \cdot (-1))$$$$= 1(4 + 2) - 0 + 2(2 + 1) = 6 + 2(3) = 12$$

Смешанное произведение равно 12, что не равно нулю. Следовательно, векторы не компланарны.

Ответ: Нет, не компланарны.

е) $\vec{q}\{0; 5; 3\}$, $\vec{r}\{3; 3; 3\}$ и $\vec{s}\{1; 1; 4\}$

Вычислим смешанное произведение векторов $\vec{q}$, $\vec{r}$ и $\vec{s}$:

$$\begin{vmatrix}0 & 5 & 3 \\3 & 3 & 3 \\1 & 1 & 4\end{vmatrix}= 0 \begin{vmatrix} 3 & 3 \\ 1 & 4 \end{vmatrix} - 5 \begin{vmatrix} 3 & 3 \\ 1 & 4 \end{vmatrix} + 3 \begin{vmatrix} 3 & 3 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}$$$$= 0 - 5(3 \cdot 4 - 3 \cdot 1) + 3(3 \cdot 1 - 3 \cdot 1) = -5(12 - 3) + 3(0) = -5(9) = -45$$

Смешанное произведение равно -45, что не равно нулю. Следовательно, векторы не компланарны.

Ответ: Нет, не компланарны.