номер 652 (страница 168) гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов, Кадомцев

652. Компланарны ли векторы:

Решение

г) Векторы d{1; −1; 2} и e{−2; 0; 1} не коллинеарны, так как координаты одного не пропорциональны координатам другого. Если вектор f{5; −1; 0} можно разложить по векторам d и e, то векторы d, e и f компланарны. Если же вектор f нельзя разложить по векторам d и e, то векторы d, e и f не компланарны (в противном случае вектор f можно было бы разложить по векторам d и e). Таким образом, для решения задачи нужно установить, можно ли вектор f разложить по векторам d и e, т. е. существуют ли числа х и у такие, что f = xd + ye. Записывая это равенство в координат ах, получаем: 5 = х − 2у, −1 = −x, 0 = 2х + у.

Если эта система уравнений имеет решение относительно х и у, то вектор f можно разложить по векторам d и e, а если не имеет решения, то вектор f разложить нельзя. В данном случае система имеет решение: х = 1, у = −2. Поэтому вектор f можно разложить по векторам d и e, и, значит, векторы d, e и f компланарны.