Номер 657, страница 169 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

657. Даны точки А(3; −1; 5), В(2; 3; −4), С(7; 0; −1) и D(8; −4; 8). Докажите, что векторы AB и DC равны. Равны ли векторы BC и AD?

Докажите, что векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{DC}$ равны

Два вектора считаются равными, если их соответствующие координаты равны. Чтобы доказать равенство векторов $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{DC}$, необходимо найти их координаты и сравнить.

Координаты вектора, заданного начальной точкой $M_1(x_1; y_1; z_1)$ и конечной точкой $M_2(x_2; y_2; z_2)$, вычисляются по формуле: $\overrightarrow{M_1M_2} = (x_2 - x_1; y_2 - y_1; z_2 - z_1)$.

Найдем координаты вектора $\overrightarrow{AB}$, где $A(3; -1; 5)$ – начало, а $B(2; 3; -4)$ – конец:

$\overrightarrow{AB} = (2 - 3; 3 - (-1); -4 - 5) = (-1; 3 + 1; -9) = (-1; 4; -9)$.

Теперь найдем координаты вектора $\overrightarrow{DC}$, где $D(8; -4; 8)$ – начало, а $C(7; 0; -1)$ – конец:

$\overrightarrow{DC} = (7 - 8; 0 - (-4); -1 - 8) = (-1; 0 + 4; -9) = (-1; 4; -9)$.

Сравнивая полученные координаты, мы видим, что они полностью совпадают. Так как $\overrightarrow{AB} = (-1; 4; -9)$ и $\overrightarrow{DC} = (-1; 4; -9)$, то векторы равны.

Ответ: векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{DC}$ равны, так как их соответствующие координаты совпадают: $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} = (-1; 4; -9)$.

Равны ли векторы $\overrightarrow{BC}$ и $\overrightarrow{AD}$?

Для ответа на этот вопрос найдем координаты векторов $\overrightarrow{BC}$ и $\overrightarrow{AD}$ и сравним их.

Найдем координаты вектора $\overrightarrow{BC}$, где $B(2; 3; -4)$ – начало, а $C(7; 0; -1)$ – конец:

$\overrightarrow{BC} = (7 - 2; 0 - 3; -1 - (-4)) = (5; -3; -1 + 4) = (5; -3; 3)$.

Найдем координаты вектора $\overrightarrow{AD}$, где $A(3; -1; 5)$ – начало, а $D(8; -4; 8)$ – конец:

$\overrightarrow{AD} = (8 - 3; -4 - (-1); 8 - 5) = (5; -4 + 1; 3) = (5; -3; 3)$.

Координаты векторов $\overrightarrow{BC}$ и $\overrightarrow{AD}$ полностью совпадают.

Ответ: да, векторы $\overrightarrow{BC}$ и $\overrightarrow{AD}$ равны, так как их соответствующие координаты совпадают: $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD} = (5; -3; 3)$.