Номер 662, страница 169 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

662. Середина отрезка AB лежит на оси Ох. Найдите m и n, если:

Пусть точка M - середина отрезка AB. Координаты середины отрезка с концами в точках $A(x_A; y_A; z_A)$ и $B(x_B; y_B; z_B)$ вычисляются по формулам:

$x_M = \frac{x_A + x_B}{2}$, $y_M = \frac{y_A + y_B}{2}$, $z_M = \frac{z_A + z_B}{2}$

Поскольку середина отрезка AB, точка M, лежит на оси Ox, ее y-координата и z-координата равны нулю. Таким образом, для координат точек A и B должны выполняться два условия:

1) $y_M = \frac{y_A + y_B}{2} = 0 \implies y_A + y_B = 0$

2) $z_M = \frac{z_A + z_B}{2} = 0 \implies z_A + z_B = 0$

Найдем m и n для каждого случая, используя эти условия.

а) Даны точки $A(-3; m; 5)$ и $B(2; -2; n)$.

Применяем условие для y-координат:

$y_A + y_B = 0 \implies m + (-2) = 0$

$m - 2 = 0$

$m = 2$

Применяем условие для z-координат:

$z_A + z_B = 0 \implies 5 + n = 0$

$n = -5$

Ответ: $m=2, n=-5$.

б) Даны точки $A(1; 0,5; -4)$ и $B(1; m; 2n)$.

Применяем условие для y-координат:

$y_A + y_B = 0 \implies 0,5 + m = 0$

$m = -0,5$

Применяем условие для z-координат:

$z_A + z_B = 0 \implies -4 + 2n = 0$

$2n = 4$

$n = 2$

Ответ: $m=-0,5, n=2$.

в) Даны точки $A(0; m; n+1)$ и $B(1; n; -m+1)$.

Составим систему уравнений на основе условий $y_A + y_B = 0$ и $z_A + z_B = 0$.

1) $y_A + y_B = m + n = 0$

2) $z_A + z_B = (n+1) + (-m+1) = n - m + 2 = 0 \implies -m + n = -2$

Получаем систему:

$\begin{cases} m + n = 0 \\ -m + n = -2 \end{cases}$

Сложим два уравнения системы, чтобы исключить $m$:

$(m+n) + (-m+n) = 0 + (-2)$

$2n = -2$

$n = -1$

Теперь найдем $m$, подставив $n=-1$ в первое уравнение:

$m + (-1) = 0$

$m = 1$

Ответ: $m=1, n=-1$.

г) Даны точки $A(7; 2m+n; -n)$ и $B(-5; -3; m-3)$.

Составим систему уравнений на основе условий $y_A + y_B = 0$ и $z_A + z_B = 0$.

1) $y_A + y_B = (2m+n) + (-3) = 2m + n - 3 = 0 \implies 2m + n = 3$

2) $z_A + z_B = (-n) + (m-3) = m - n - 3 = 0 \implies m - n = 3$

Получаем систему:

$\begin{cases} 2m + n = 3 \\ m - n = 3 \end{cases}$

Сложим два уравнения системы, чтобы исключить $n$:

$(2m + n) + (m - n) = 3 + 3$

$3m = 6$

$m = 2$

Подставим значение $m = 2$ во второе уравнение, чтобы найти $n$:

$2 - n = 3$

$-n = 1$

$n = -1$

Ответ: $m=2, n=-1$.