Номер 669, страница 170 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 7. Метод координат в пространстве. Движения. Параграф 1. Координаты точки и координаты вектора - номер 669, страница 170.

Условие.

669. Найдите расстояние от точки A(−3; 4; −4) до: а) координатных плоскостей; б) осей координат.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Дана точка в трехмерном пространстве $A(x_A; y_A; z_A)$ с координатами $A(-3; 4; -4)$. Найдем расстояния от этой точки до координатных плоскостей и осей.

а) координатных плоскостей

Расстояние от точки $A(x_A; y_A; z_A)$ до координатной плоскости равно модулю координаты, перпендикулярной этой плоскости.

• Расстояние до плоскости $Oxy$ (плоскость, где $z=0$) равно модулю z-координаты точки.
  $d(A, Oxy) = |z_A| = |-4| = 4$.

• Расстояние до плоскости $Oxz$ (плоскость, где $y=0$) равно модулю y-координаты точки.
  $d(A, Oxz) = |y_A| = |4| = 4$.

• Расстояние до плоскости $Oyz$ (плоскость, где $x=0$) равно модулю x-координаты точки.
  $d(A, Oyz) = |x_A| = |-3| = 3$.

Ответ: расстояние до плоскости $Oxy$ равно 4, до плоскости $Oxz$ равно 4, до плоскости $Oyz$ равно 3.

б) осей координат

Расстояние от точки $A(x_A; y_A; z_A)$ до координатной оси вычисляется как корень из суммы квадратов координат, не соответствующих этой оси.

• Расстояние до оси $Ox$ (ось абсцисс). Проекция точки $A$ на эту ось — точка $A_x(-3; 0; 0)$. Расстояние равно длине отрезка $AA_x$.
  $d(A, Ox) = \sqrt{y_A^2 + z_A^2} = \sqrt{4^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$.

• Расстояние до оси $Oy$ (ось ординат). Проекция точки $A$ на эту ось — точка $A_y(0; 4; 0)$. Расстояние равно длине отрезка $AA_y$.
  $d(A, Oy) = \sqrt{x_A^2 + z_A^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

• Расстояние до оси $Oz$ (ось аппликат). Проекция точки $A$ на эту ось — точка $A_z(0; 0; -4)$. Расстояние равно длине отрезка $AA_z$.
  $d(A, Oz) = \sqrt{x_A^2 + y_A^2} = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

Ответ: расстояние до оси $Ox$ равно $4\sqrt{2}$, до оси $Oy$ равно 5, до оси $Oz$ равно 5.