Страница 170 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

663. Найдите длину вектора AB, если:

Чтобы найти длину вектора $\vec{AB}$, необходимо сначала найти его координаты, а затем вычислить его модуль. Координаты вектора, заданного двумя точками $A(x_A; y_A; z_A)$ и $B(x_B; y_B; z_B)$, вычисляются по формуле:

$\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A)$

Длина (модуль) вектора $\vec{v} = (v_x; v_y; v_z)$ вычисляется по формуле:

$|\vec{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}$

Применим эти формулы для каждого случая.

а) Даны точки $A(-1; 0; 2)$ и $B(1; -2; 3)$.

1. Найдём координаты вектора $\vec{AB}$:

$\vec{AB} = (1 - (-1); -2 - 0; 3 - 2) = (2; -2; 1)$

2. Теперь вычислим длину вектора $\vec{AB}$:

$|\vec{AB}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$

Ответ: 3

б) Даны точки $A(-35; -17; 20)$ и $B(-34; -5; 8)$.

1. Найдём координаты вектора $\vec{AB}$:

$\vec{AB} = (-34 - (-35); -5 - (-17); 8 - 20) = (-34 + 35; -5 + 17; -12) = (1; 12; -12)$

2. Теперь вычислим длину вектора $\vec{AB}$:

$|\vec{AB}| = \sqrt{1^2 + 12^2 + (-12)^2} = \sqrt{1 + 144 + 144} = \sqrt{289} = 17$

Ответ: 17

664. Найдите длины векторов:

Длина (модуль) вектора $\vec{v}$ с координатами $\{x; y; z\}$ вычисляется по формуле как квадратный корень из суммы квадратов его координат:

$|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$

$\vec{a}\{5; -1; 7\}$

Координаты данного вектора: $x=5, y=-1, z=7$. Подставляем их в формулу для вычисления длины:

$|\vec{a}| = \sqrt{5^2 + (-1)^2 + 7^2} = \sqrt{25 + 1 + 49} = \sqrt{75}$.

Упрощаем полученное значение: $\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3}$.

Ответ: $5\sqrt{3}$.

$\vec{b}\{2\sqrt{3}; -6; 1\}$

Координаты вектора: $x=2\sqrt{3}, y=-6, z=1$. Вычисляем его длину:

$|\vec{b}| = \sqrt{(2\sqrt{3})^2 + (-6)^2 + 1^2} = \sqrt{4 \cdot 3 + 36 + 1} = \sqrt{12 + 36 + 1} = \sqrt{49} = 7$.

Ответ: $7$.

$\vec{c} = \vec{i} + \vec{j} + \vec{k}$

Векторы $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ являются единичными ортами координатных осей. Таким образом, вектор $\vec{c}$ имеет координаты $\{1; 1; 1\}$.

Находим его длину:

$|\vec{c}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{3}$.

$\vec{d} = -2\vec{k}$

Этот вектор можно представить в виде $\vec{d} = 0\vec{i} + 0\vec{j} - 2\vec{k}$, соответственно, его координаты $\{0; 0; -2\}$.

Находим его длину:

$|\vec{d}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + (-2)^2} = \sqrt{0 + 0 + 4} = \sqrt{4} = 2$.

Ответ: $2$.

$\vec{m} = \vec{i} - 2\vec{j}$

Этот вектор можно представить в виде $\vec{m} = 1\vec{i} - 2\vec{j} + 0\vec{k}$, соответственно, его координаты $\{1; -2; 0\}$.

Находим его длину:

$|\vec{m}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 0^2} = \sqrt{1 + 4 + 0} = \sqrt{5}$.

Ответ: $\sqrt{5}$.

665. Даны векторы

Найдите:

а) Чтобы найти модуль суммы векторов $|\vec{a} + \vec{b}|$, сначала найдем вектор-сумму $\vec{d} = \vec{a} + \vec{b}$. Сложение векторов производится покоординатно:
$\vec{d} = \{a_x + b_x; a_y + b_y; a_z + b_z\} = \{3 + (-2); -2 + 3; 1 + 1\} = \{1; 1; 2\}$.
Теперь найдем модуль (длину) вектора $\vec{d}$ по формуле $|\vec{d}| = \sqrt{d_x^2 + d_y^2 + d_z^2}$:
$|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}$.
Ответ: $\sqrt{6}$

б) Чтобы найти сумму модулей векторов $|\vec{a}| + |\vec{b}|$, сначала найдем модуль каждого вектора по формуле $|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.
$|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 4 + 1} = \sqrt{14}$.
$|\vec{b}| = \sqrt{(-2)^2 + 3^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 9 + 1} = \sqrt{14}$.
Теперь сложим их модули:
$|\vec{a}| + |\vec{b}| = \sqrt{14} + \sqrt{14} = 2\sqrt{14}$.
Ответ: $2\sqrt{14}$

в) Чтобы найти разность модулей векторов $|\vec{a}| - |\vec{b}|$, используем уже вычисленные в предыдущем пункте значения модулей.
$|\vec{a}| = \sqrt{14}$
$|\vec{b}| = \sqrt{14}$
$|\vec{a}| - |\vec{b}| = \sqrt{14} - \sqrt{14} = 0$.
Ответ: $0$

г) Чтобы найти модуль разности векторов $|\vec{a} - \vec{b}|$, сначала найдем вектор-разность $\vec{e} = \vec{a} - \vec{b}$. Вычитание векторов производится покоординатно:
$\vec{e} = \{a_x - b_x; a_y - b_y; a_z - b_z\} = \{3 - (-2); -2 - 3; 1 - 1\} = \{5; -5; 0\}$.
Теперь найдем модуль вектора $\vec{e}$:
$|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{5^2 + (-5)^2 + 0^2} = \sqrt{25 + 25 + 0} = \sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$.
Ответ: $5\sqrt{2}$

д) Чтобы найти модуль вектора $|3\vec{c}|$, можно воспользоваться свойством модуля $|k\vec{v}| = |k||\vec{v}|$.
Сначала найдем модуль вектора $\vec{c}$:
$|\vec{c}| = \sqrt{(-3)^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 4 + 1} = \sqrt{14}$.
Теперь умножим его на 3:
$|3\vec{c}| = 3 \cdot |\vec{c}| = 3\sqrt{14}$.
Ответ: $3\sqrt{14}$

е) Чтобы найти значение выражения $\sqrt{14}|\vec{c}|$, нужно умножить число $\sqrt{14}$ на модуль вектора $\vec{c}$.
Модуль вектора $\vec{c}$ был найден в предыдущем пункте: $|\vec{c}| = \sqrt{14}$.
$\sqrt{14}|\vec{c}| = \sqrt{14} \cdot \sqrt{14} = 14$.
Ответ: $14$

ж) Чтобы найти модуль вектора $|2\vec{a} - 3\vec{c}|$, сначала выполним операции с векторами: умножение на скаляр и вычитание.
$2\vec{a} = 2 \cdot \{3; -2; 1\} = \{6; -4; 2\}$.
$3\vec{c} = 3 \cdot \{-3; 2; 1\} = \{-9; 6; 3\}$.
Теперь найдем вектор-разность $2\vec{a} - 3\vec{c}$:
$2\vec{a} - 3\vec{c} = \{6 - (-9); -4 - 6; 2 - 3\} = \{15; -10; -1\}$.
Наконец, найдем модуль полученного вектора:
$|2\vec{a} - 3\vec{c}| = \sqrt{15^2 + (-10)^2 + (-1)^2} = \sqrt{225 + 100 + 1} = \sqrt{326}$.
Ответ: $\sqrt{326}$

666. Даны точки M(−4; 7; 0) и N(0; −1; 2). Найдите расстояние от начала координат до середины отрезка MN.

Для решения этой задачи необходимо выполнить два действия: сначала найти координаты середины отрезка MN, а затем вычислить расстояние от этой точки до начала координат (точки O с координатами (0; 0; 0)).

1. Нахождение координат середины отрезка MN.

Пусть точка C – середина отрезка MN. Координаты середины отрезка находятся как среднее арифметическое соответствующих координат его конечных точек.
Даны точки $M(-4; 7; 0)$ и $N(0; -1; 2)$.
Координаты точки C $(x_C; y_C; z_C)$ вычисляются по формулам:
$x_C = \frac{x_M + x_N}{2} = \frac{-4 + 0}{2} = \frac{-4}{2} = -2$
$y_C = \frac{y_M + y_N}{2} = \frac{7 + (-1)}{2} = \frac{6}{2} = 3$
$z_C = \frac{z_M + z_N}{2} = \frac{0 + 2}{2} = \frac{2}{2} = 1$
Следовательно, координаты середины отрезка MN, точки C, равны $(-2; 3; 1)$.

2. Нахождение расстояния от начала координат до точки C.

Расстояние $d$ между двумя точками с координатами $(x_1; y_1; z_1)$ и $(x_2; y_2; z_2)$ вычисляется по формуле:
$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$
Найдем расстояние от начала координат O(0; 0; 0) до точки C(-2; 3; 1):
$d = \sqrt{(-2 - 0)^2 + (3 - 0)^2 + (1 - 0)^2}$
$d = \sqrt{(-2)^2 + 3^2 + 1^2}$
$d = \sqrt{4 + 9 + 1}$
$d = \sqrt{14}$

Ответ: $\sqrt{14}$

667. Даны точки

Найдите: а) периметр треугольника ABC; б) медианы треугольника ABC.

а)

Периметр треугольника $P_{ABC}$ равен сумме длин его сторон: $P_{ABC} = AB + BC + AC$.

Для нахождения длин сторон воспользуемся формулой расстояния между двумя точками $M_1(x_1; y_1; z_1)$ и $M_2(x_2; y_2; z_2)$ в трехмерном пространстве:

$d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$

Имеем координаты вершин треугольника: $A(\frac{3}{2}; 1; -2)$, $B(2; 2; -3)$ и $C(2; 0; -1)$.

1. Найдем длину стороны $AB$:

$AB = \sqrt{(2 - \frac{3}{2})^2 + (2-1)^2 + (-3 - (-2))^2} = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + 1 + 1} = \sqrt{\frac{1+4+4}{4}} = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}$.

2. Найдем длину стороны $BC$:

$BC = \sqrt{(2-2)^2 + (0-2)^2 + (-1 - (-3))^2} = \sqrt{0^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{0 + 4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.

3. Найдем длину стороны $AC$:

$AC = \sqrt{(2 - \frac{3}{2})^2 + (0-1)^2 + (-1 - (-2))^2} = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + 1 + 1} = \sqrt{\frac{1+4+4}{4}} = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}$.

4. Вычислим периметр треугольника $ABC$:

$P_{ABC} = AB + BC + AC = \frac{3}{2} + 2\sqrt{2} + \frac{3}{2} = 3 + 2\sqrt{2}$.

Ответ: $3 + 2\sqrt{2}$.

б)

Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Для нахождения длин медиан ($m_a$, $m_b$, $m_c$) сначала необходимо найти координаты середин сторон треугольника.

Координаты середины отрезка с концами в точках $(x_1; y_1; z_1)$ и $(x_2; y_2; z_2)$ находятся по формуле: $(\frac{x_1+x_2}{2}; \frac{y_1+y_2}{2}; \frac{z_1+z_2}{2})$.

1. Найдем медиану $m_a$, проведенную из вершины $A$ к стороне $BC$. Обозначим середину $BC$ как $M_a$.

Координаты точки $M_a$:

$M_a(\frac{2+2}{2}; \frac{2+0}{2}; \frac{-3+(-1)}{2}) = M_a(2; 1; -2)$.

Длина медианы $m_a$ равна расстоянию между точками $A(\frac{3}{2}; 1; -2)$ и $M_a(2; 1; -2)$:

$m_a = \sqrt{(2 - \frac{3}{2})^2 + (1-1)^2 + (-2 - (-2))^2} = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + 0^2 + 0^2} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.

2. Найдем медиану $m_b$, проведенную из вершины $B$ к стороне $AC$. Обозначим середину $AC$ как $M_b$.

Координаты точки $M_b$:

$M_b(\frac{\frac{3}{2}+2}{2}; \frac{1+0}{2}; \frac{-2+(-1)}{2}) = M_b(\frac{7/2}{2}; \frac{1}{2}; \frac{-3}{2}) = M_b(\frac{7}{4}; \frac{1}{2}; -\frac{3}{2})$.

Длина медианы $m_b$ равна расстоянию между точками $B(2; 2; -3)$ и $M_b(\frac{7}{4}; \frac{1}{2}; -\frac{3}{2})$:

$m_b = \sqrt{(\frac{7}{4}-2)^2 + (\frac{1}{2}-2)^2 + (-\frac{3}{2} - (-3))^2} = \sqrt{(-\frac{1}{4})^2 + (-\frac{3}{2})^2 + (\frac{3}{2})^2} = \sqrt{\frac{1}{16} + \frac{9}{4} + \frac{9}{4}} = \sqrt{\frac{1+36+36}{16}} = \sqrt{\frac{73}{16}} = \frac{\sqrt{73}}{4}$.

3. Найдем медиану $m_c$, проведенную из вершины $C$ к стороне $AB$. Обозначим середину $AB$ как $M_c$.

Координаты точки $M_c$:

$M_c(\frac{\frac{3}{2}+2}{2}; \frac{1+2}{2}; \frac{-2+(-3)}{2}) = M_c(\frac{7/2}{2}; \frac{3}{2}; \frac{-5}{2}) = M_c(\frac{7}{4}; \frac{3}{2}; -\frac{5}{2})$.

Длина медианы $m_c$ равна расстоянию между точками $C(2; 0; -1)$ и $M_c(\frac{7}{4}; \frac{3}{2}; -\frac{5}{2})$:

$m_c = \sqrt{(\frac{7}{4}-2)^2 + (\frac{3}{2}-0)^2 + (-\frac{5}{2} - (-1))^2} = \sqrt{(-\frac{1}{4})^2 + (\frac{3}{2})^2 + (-\frac{3}{2})^2} = \sqrt{\frac{1}{16} + \frac{9}{4} + \frac{9}{4}} = \sqrt{\frac{1+36+36}{16}} = \sqrt{\frac{73}{16}} = \frac{\sqrt{73}}{4}$.

Ответ: длины медиан равны $\frac{1}{2}$, $\frac{\sqrt{73}}{4}$, $\frac{\sqrt{73}}{4}$.

668. Определите вид треугольника ABC, если:

Чтобы определить вид треугольника, необходимо найти длины его сторон и сравнить их, а также проверить, выполняется ли для них теорема Пифагора. Квадрат расстояния между двумя точками $M_1(x_1; y_1; z_1)$ и $M_2(x_2; y_2; z_2)$ вычисляется по формуле: $d^2 = (x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2$.

а) A(9; 3; -5), B(2; 10; -5), C(2; 3; 2)

Найдем квадраты длин сторон треугольника ABC:

$AB^2 = (2-9)^2 + (10-3)^2 + (-5 - (-5))^2 = (-7)^2 + 7^2 + 0^2 = 49 + 49 + 0 = 98$.

$BC^2 = (2-2)^2 + (3-10)^2 + (2 - (-5))^2 = 0^2 + (-7)^2 + 7^2 = 0 + 49 + 49 = 98$.

$AC^2 = (2-9)^2 + (3-3)^2 + (2 - (-5))^2 = (-7)^2 + 0^2 + 7^2 = 49 + 0 + 49 = 98$.

Поскольку $AB^2 = BC^2 = AC^2 = 98$, то и длины сторон равны: $AB = BC = AC$. Следовательно, треугольник является равносторонним.

Ответ: равносторонний.

б) A(3; 7; -4), B(5; -3; 2), C(1; 3; -10)

Найдем квадраты длин сторон треугольника ABC:

$AB^2 = (5-3)^2 + (-3-7)^2 + (2 - (-4))^2 = 2^2 + (-10)^2 + 6^2 = 4 + 100 + 36 = 140$.

$BC^2 = (1-5)^2 + (3-(-3))^2 + (-10-2)^2 = (-4)^2 + 6^2 + (-12)^2 = 16 + 36 + 144 = 196$.

$AC^2 = (1-3)^2 + (3-7)^2 + (-10 - (-4))^2 = (-2)^2 + (-4)^2 + (-6)^2 = 4 + 16 + 36 = 56$.

Так как длины всех сторон различны, треугольник является разносторонним. Проверим, выполняется ли для него обратная теорема Пифагора. Наибольшая сторона - BC. Сравним $BC^2$ с суммой квадратов двух других сторон $AB^2 + AC^2$:

$AB^2 + AC^2 = 140 + 56 = 196$.

Так как $AB^2 + AC^2 = BC^2$ ($196 = 196$), то треугольник является прямоугольным с прямым углом при вершине A.

Ответ: прямоугольный.

в) A(5; -5; -1), B(5; -3; -1), C(4; -3; 0)

Найдем квадраты длин сторон треугольника ABC:

$AB^2 = (5-5)^2 + (-3 - (-5))^2 + (-1 - (-1))^2 = 0^2 + 2^2 + 0^2 = 4$.

$BC^2 = (4-5)^2 + (-3 - (-3))^2 + (0 - (-1))^2 = (-1)^2 + 0^2 + 1^2 = 1 + 0 + 1 = 2$.

$AC^2 = (4-5)^2 + (-3 - (-5))^2 + (0 - (-1))^2 = (-1)^2 + 2^2 + 1^2 = 1 + 4 + 1 = 6$.

Длины всех сторон различны. Проверим выполнение обратной теоремы Пифагора. Наибольшая сторона - AC. Сравним $AC^2$ с суммой $AB^2 + BC^2$:

$AB^2 + BC^2 = 4 + 2 = 6$.

Так как $AB^2 + BC^2 = AC^2$ ($6 = 6$), то треугольник является прямоугольным с прямым углом при вершине B.

Ответ: прямоугольный.

г) A(-5; 2; 0), B(-4; 3; 0), C(-5; 2; -2)

Найдем квадраты длин сторон треугольника ABC:

$AB^2 = (-4 - (-5))^2 + (3-2)^2 + (0-0)^2 = 1^2 + 1^2 + 0^2 = 1 + 1 + 0 = 2$.

$BC^2 = (-5 - (-4))^2 + (2-3)^2 + (-2-0)^2 = (-1)^2 + (-1)^2 + (-2)^2 = 1 + 1 + 4 = 6$.

$AC^2 = (-5 - (-5))^2 + (2-2)^2 + (-2-0)^2 = 0^2 + 0^2 + (-2)^2 = 0 + 0 + 4 = 4$.

Длины всех сторон различны. Проверим выполнение обратной теоремы Пифагора. Наибольшая сторона - BC. Сравним $BC^2$ с суммой $AB^2 + AC^2$:

$AB^2 + AC^2 = 2 + 4 = 6$.

Так как $AB^2 + AC^2 = BC^2$ ($6 = 6$), то треугольник является прямоугольным с прямым углом при вершине A.

Ответ: прямоугольный.

669. Найдите расстояние от точки A(−3; 4; −4) до: а) координатных плоскостей; б) осей координат.

Дана точка в трехмерном пространстве $A(x_A; y_A; z_A)$ с координатами $A(-3; 4; -4)$. Найдем расстояния от этой точки до координатных плоскостей и осей.

а) координатных плоскостей

Расстояние от точки $A(x_A; y_A; z_A)$ до координатной плоскости равно модулю координаты, перпендикулярной этой плоскости.

• Расстояние до плоскости $Oxy$ (плоскость, где $z=0$) равно модулю z-координаты точки.
  $d(A, Oxy) = |z_A| = |-4| = 4$.

• Расстояние до плоскости $Oxz$ (плоскость, где $y=0$) равно модулю y-координаты точки.
  $d(A, Oxz) = |y_A| = |4| = 4$.

• Расстояние до плоскости $Oyz$ (плоскость, где $x=0$) равно модулю x-координаты точки.
  $d(A, Oyz) = |x_A| = |-3| = 3$.

Ответ: расстояние до плоскости $Oxy$ равно 4, до плоскости $Oxz$ равно 4, до плоскости $Oyz$ равно 3.

б) осей координат

Расстояние от точки $A(x_A; y_A; z_A)$ до координатной оси вычисляется как корень из суммы квадратов координат, не соответствующих этой оси.

• Расстояние до оси $Ox$ (ось абсцисс). Проекция точки $A$ на эту ось — точка $A_x(-3; 0; 0)$. Расстояние равно длине отрезка $AA_x$.
  $d(A, Ox) = \sqrt{y_A^2 + z_A^2} = \sqrt{4^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$.

• Расстояние до оси $Oy$ (ось ординат). Проекция точки $A$ на эту ось — точка $A_y(0; 4; 0)$. Расстояние равно длине отрезка $AA_y$.
  $d(A, Oy) = \sqrt{x_A^2 + z_A^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

• Расстояние до оси $Oz$ (ось аппликат). Проекция точки $A$ на эту ось — точка $A_z(0; 0; -4)$. Расстояние равно длине отрезка $AA_z$.
  $d(A, Oz) = \sqrt{x_A^2 + y_A^2} = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

Ответ: расстояние до оси $Ox$ равно $4\sqrt{2}$, до оси $Oy$ равно 5, до оси $Oz$ равно 5.

670. На каждой из координатных плоскостей найдите такую точку, расстояние от которой до точки A(−1; 2; −3) является наименьшим среди всех расстояний от точек этой координатной плоскости до точки A.

Для того чтобы найти на каждой координатной плоскости точку, расстояние от которой до точки $A(-1; 2; -3)$ является наименьшим, можно использовать два подхода: геометрический (поиск ортогональной проекции) или алгебраический (минимизация функции расстояния). Алгебраический подход является более универсальным и наглядным в данном случае. Мы будем минимизировать квадрат расстояния, что эквивалентно минимизации самого расстояния. Квадрат расстояния между двумя точками $(x_1, y_1, z_1)$ и $(x_2, y_2, z_2)$ вычисляется по формуле $d^2 = (x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2$.

На координатной плоскости Oxy

Любая точка на плоскости $Oxy$ имеет координаты $(x, y, 0)$. Найдем квадрат расстояния $d^2$ от такой точки до точки $A(-1; 2; -3)$:
$d^2 = (x - (-1))^2 + (y - 2)^2 + (0 - (-3))^2 = (x+1)^2 + (y-2)^2 + 9$.
Это выражение является суммой трех слагаемых. Слагаемые $(x+1)^2$ и $(y-2)^2$ неотрицательны, а слагаемое $9$ является константой. Сумма будет минимальной, когда неотрицательные слагаемые примут свое наименьшее возможное значение, равное нулю. Это происходит при следующих условиях:
$x+1 = 0$, откуда $x = -1$.
$y-2 = 0$, откуда $y = 2$.
Следовательно, искомая точка на плоскости $Oxy$ имеет координаты $(-1; 2; 0)$.

Ответ: $(-1; 2; 0)$.

На координатной плоскости Oxz

Любая точка на плоскости $Oxz$ имеет координаты $(x, 0, z)$. Найдем квадрат расстояния $d^2$ от такой точки до точки $A(-1; 2; -3)$:
$d^2 = (x - (-1))^2 + (0 - 2)^2 + (z - (-3))^2 = (x+1)^2 + 4 + (z+3)^2$.
Это выражение является суммой трех слагаемых. Слагаемые $(x+1)^2$ и $(z+3)^2$ неотрицательны, а слагаемое $4$ является константой. Сумма будет минимальной, когда неотрицательные слагаемые примут свое наименьшее возможное значение, равное нулю. Это происходит при следующих условиях:
$x+1 = 0$, откуда $x = -1$.
$z+3 = 0$, откуда $z = -3$.
Следовательно, искомая точка на плоскости $Oxz$ имеет координаты $(-1; 0; -3)$.

Ответ: $(-1; 0; -3)$.

На координатной плоскости Oyz

Любая точка на плоскости $Oyz$ имеет координаты $(0, y, z)$. Найдем квадрат расстояния $d^2$ от такой точки до точки $A(-1; 2; -3)$:
$d^2 = (0 - (-1))^2 + (y - 2)^2 + (z - (-3))^2 = 1 + (y-2)^2 + (z+3)^2$.
Это выражение является суммой трех слагаемых. Слагаемые $(y-2)^2$ и $(z+3)^2$ неотрицательны, а слагаемое $1$ является константой. Сумма будет минимальной, когда неотрицательные слагаемые примут свое наименьшее возможное значение, равное нулю. Это происходит при следующих условиях:
$y-2 = 0$, откуда $y = 2$.
$z+3 = 0$, откуда $z = -3$.
Следовательно, искомая точка на плоскости $Oyz$ имеет координаты $(0; 2; -3)$.

Ответ: $(0; 2; -3)$.

671. На каждой из осей координат найдите такую точку, расстояние от которой до точки B(3; −4; 7) является наименьшим среди всех расстояний от точек этой оси до точки B.

Чтобы найти точку на оси координат, расстояние от которой до точки $B(3; -4; \sqrt{7})$ является наименьшим, нужно найти ортогональную проекцию точки $B$ на эту ось. Другой способ — составить функцию расстояния от произвольной точки на оси до точки $B$ и найти ее минимум.

На оси Ox

Любая точка на оси абсцисс (Ox) имеет координаты $A_x(x; 0; 0)$. Расстояние от этой точки до точки $B(3; -4; \sqrt{7})$ находится по формуле расстояния между двумя точками. Чтобы найти наименьшее расстояние, удобно минимизировать его квадрат:

$d^2 = (x - 3)^2 + (0 - (-4))^2 + (0 - \sqrt{7})^2$

$d^2 = (x - 3)^2 + 16 + 7 = (x - 3)^2 + 23$

Выражение $(x - 3)^2 + 23$ достигает своего минимума, когда слагаемое $(x - 3)^2$ минимально. Наименьшее значение квадрата равно 0. Это выполняется при $x - 3 = 0$, то есть при $x = 3$.

Следовательно, искомая точка на оси Ox, расстояние от которой до точки B является наименьшим, имеет координаты $(3; 0; 0)$.

Ответ: $(3; 0; 0)$.

На оси Oy

Любая точка на оси ординат (Oy) имеет координаты $A_y(0; y; 0)$. Найдем квадрат расстояния от этой точки до точки $B(3; -4; \sqrt{7})$:

$d^2 = (0 - 3)^2 + (y - (-4))^2 + (0 - \sqrt{7})^2$

$d^2 = 9 + (y + 4)^2 + 7 = (y + 4)^2 + 16$

Это выражение достигает минимума, когда $(y + 4)^2 = 0$, что выполняется при $y + 4 = 0$, то есть при $y = -4$.

Следовательно, искомая точка на оси Oy имеет координаты $(0; -4; 0)$.

Ответ: $(0; -4; 0)$.

На оси Oz

Любая точка на оси аппликат (Oz) имеет координаты $A_z(0; 0; z)$. Найдем квадрат расстояния от этой точки до точки $B(3; -4; \sqrt{7})$:

$d^2 = (0 - 3)^2 + (0 - (-4))^2 + (z - \sqrt{7})^2$

$d^2 = 9 + 16 + (z - \sqrt{7})^2 = (z - \sqrt{7})^2 + 25$

Это выражение достигает минимума, когда $(z - \sqrt{7})^2 = 0$, что выполняется при $z - \sqrt{7} = 0$, то есть при $z = \sqrt{7}$.

Следовательно, искомая точка на оси Oz имеет координаты $(0; 0; \sqrt{7})$.

Ответ: $(0; 0; \sqrt{7})$.

672. Даны точки A(1; 0; k), B(−1; 2; 3) и C(0; 0; 1). При каких значениях k треугольник ABC является равнобедренным?

Для того чтобы треугольник ABC был равнобедренным, необходимо, чтобы длины как минимум двух его сторон были равны. Рассмотрим три возможных случая: AB = AC, AB = BC и AC = BC. Для удобства будем сравнивать не сами длины, а их квадраты.

Найдем квадраты длин сторон треугольника, используя формулу расстояния между двумя точками в пространстве $d^2 = (x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2$.

Даны точки: A(1; 0; k), B(-1; 2; 3) и C(0; 0; 1).

Квадрат длины стороны AB:

$AB^2 = (-1-1)^2 + (2-0)^2 + (3-k)^2 = (-2)^2 + 2^2 + (3-k)^2 = 4 + 4 + 9 - 6k + k^2 = k^2 - 6k + 17$

Квадрат длины стороны AC:

$AC^2 = (0-1)^2 + (0-0)^2 + (1-k)^2 = (-1)^2 + 0^2 + (1-k)^2 = 1 + 1 - 2k + k^2 = k^2 - 2k + 2$

Квадрат длины стороны BC:

$BC^2 = (0-(-1))^2 + (0-2)^2 + (1-3)^2 = 1^2 + (-2)^2 + (-2)^2 = 1 + 4 + 4 = 9$

Теперь рассмотрим три случая равенства сторон.

1. Стороны AB и AC равны (AB = AC)

Приравниваем квадраты их длин:

$AB^2 = AC^2$

$k^2 - 6k + 17 = k^2 - 2k + 2$

$-6k + 17 = -2k + 2$

$4k = 15$

$k = \frac{15}{4}$

2. Стороны AB и BC равны (AB = BC)

Приравниваем квадраты их длин:

$AB^2 = BC^2$

$k^2 - 6k + 17 = 9$

$k^2 - 6k + 8 = 0$

Решаем квадратное уравнение. По теореме Виета, корни уравнения $k_1 = 2$ и $k_2 = 4$.

3. Стороны AC и BC равны (AC = BC)

Приравниваем квадраты их длин:

$AC^2 = BC^2$

$k^2 - 2k + 2 = 9$

$k^2 - 2k - 7 = 0$

Решаем квадратное уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 4 + 28 = 32$

$k = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{32}}{2} = \frac{2 \pm 4\sqrt{2}}{2} = 1 \pm 2\sqrt{2}$

Таким образом, получаем два значения: $k_3 = 1 + 2\sqrt{2}$ и $k_4 = 1 - 2\sqrt{2}$.

Мы нашли все значения k, при которых треугольник ABC является равнобедренным.

Ответ: $k = \frac{15}{4}$, $k = 2$, $k = 4$, $k = 1 + 2\sqrt{2}$, $k = 1 - 2\sqrt{2}$.

673. Даны точки A(4; 4; 0), B(0; 0; 0), C(0; 3; 4) и D(1; 4; 4). Докажите, что ABCD — равнобедренная трапеция.

Для того чтобы доказать, что четырехугольник ABCD является равнобедренной трапецией, необходимо доказать два факта: во-первых, что это трапеция (у которой одна пара противоположных сторон параллельна, а другая — нет), и, во-вторых, что она равнобедренная (ее непараллельные боковые стороны равны по длине).

Даны координаты вершин: $A(4; 4; 0)$, $B(0; 0; 0)$, $C(0; 3; 4)$ и $D(1; 4; 4)$.

1. Доказательство, что ABCD — трапеция

Найдем векторы, соответствующие сторонам четырехугольника.
$\vec{AB} = \{x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A\} = \{0 - 4; 0 - 4; 0 - 0\} = \{-4; -4; 0\}$
$\vec{DC} = \{x_C - x_D; y_C - y_D; z_C - z_D\} = \{0 - 1; 3 - 4; 4 - 4\} = \{-1; -1; 0\}$
Сравним векторы противоположных сторон $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$. Их координаты пропорциональны, так как $\frac{-4}{-1} = \frac{-4}{-1} = 4$. Это означает, что векторы коллинеарны: $\vec{AB} = 4 \cdot \vec{DC}$. Следовательно, стороны $AB$ и $DC$ параллельны ($AB \parallel DC$).

Теперь рассмотрим другую пару противоположных сторон, AD и BC.
$\vec{AD} = \{x_D - x_A; y_D - y_A; z_D - z_A\} = \{1 - 4; 4 - 4; 4 - 0\} = \{-3; 0; 4\}$
$\vec{BC} = \{x_C - x_B; y_C - y_B; z_C - z_B\} = \{0 - 0; 3 - 0; 4 - 0\} = \{0; 3; 4\}$
Их координаты не пропорциональны (например, отношение первых координат $\frac{-3}{0}$ не определено, а вторых $\frac{0}{3} = 0$), значит векторы не коллинеарны, а стороны AD и BC не параллельны.

Так как одна пара противоположных сторон параллельна, а другая — нет, четырехугольник ABCD является трапецией с основаниями AB и DC.

2. Доказательство, что трапеция равнобедренная

Проверим, равны ли длины боковых (непараллельных) сторон AD и BC. Длина вектора $\vec{v} = \{x; y; z\}$ вычисляется по формуле $|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.

Длина стороны AD:
$|AD| = |\vec{AD}| = \sqrt{(-3)^2 + 0^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 0 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

Длина стороны BC:
$|BC| = |\vec{BC}| = \sqrt{0^2 + 3^2 + 4^2} = \sqrt{0 + 9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

Поскольку длины боковых сторон равны ($|AD| = |BC|$), трапеция ABCD является равнобедренной. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение о том, что ABCD — равнобедренная трапеция, доказано. Основания трапеции — это параллельные стороны AB и DC, так как $\vec{AB} = 4 \cdot \vec{DC}$. Боковые стороны AD и BC не параллельны, но равны по длине: $|AD|=|BC|=5$.

674. Найдите точку, равноудалённую от точек A(−2; 3; 5) и B(3; 2; −3) и расположенную на оси: а) Ох; б) Оу; в) Oz.

Пусть искомая точка M(x, y, z) равноудалена от точек A(-2; 3; 5) и B(3; 2; -3). Это означает, что расстояние MA равно расстоянию MB. Удобнее работать с квадратами расстояний: $MA^2 = MB^2$.

Формула для квадрата расстояния между двумя точками $(x_1, y_1, z_1)$ и $(x_2, y_2, z_2)$ имеет вид:

$d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2$

Применяя эту формулу к точкам A, B и M, получаем общее уравнение:

$(x - (-2))^2 + (y - 3)^2 + (z - 5)^2 = (x - 3)^2 + (y - 2)^2 + (z - (-3))^2$

$(x + 2)^2 + (y - 3)^2 + (z - 5)^2 = (x - 3)^2 + (y - 2)^2 + (z + 3)^2$

Искомая точка M лежит на оси Ox, следовательно, её координаты имеют вид M(x; 0; 0). Подставим $y=0$ и $z=0$ в основное уравнение:

$(x + 2)^2 + (0 - 3)^2 + (0 - 5)^2 = (x - 3)^2 + (0 - 2)^2 + (0 + 3)^2$

$(x + 2)^2 + 9 + 25 = (x - 3)^2 + 4 + 9$

$(x + 2)^2 + 34 = (x - 3)^2 + 13$

Раскроем скобки:

$x^2 + 4x + 4 + 34 = x^2 - 6x + 9 + 13$

$x^2 + 4x + 38 = x^2 - 6x + 22$

Сократим $x^2$ и приведем подобные слагаемые:

$4x + 6x = 22 - 38$

$10x = -16$

$x = -1.6$

Следовательно, искомая точка на оси Ox – это M(-1.6; 0; 0).

Ответ: M(-1.6; 0; 0).

Искомая точка M лежит на оси Oy, следовательно, её координаты имеют вид M(0; y; 0). Подставим $x=0$ и $z=0$ в основное уравнение:

$(0 + 2)^2 + (y - 3)^2 + (0 - 5)^2 = (0 - 3)^2 + (y - 2)^2 + (0 + 3)^2$

$4 + (y - 3)^2 + 25 = 9 + (y - 2)^2 + 9$

$(y - 3)^2 + 29 = (y - 2)^2 + 18$

Раскроем скобки:

$y^2 - 6y + 9 + 29 = y^2 - 4y + 4 + 18$

$y^2 - 6y + 38 = y^2 - 4y + 22$

Сократим $y^2$ и приведем подобные слагаемые:

$38 - 22 = 6y - 4y$

$16 = 2y$

$y = 8$

Следовательно, искомая точка на оси Oy – это M(0; 8; 0).

Ответ: M(0; 8; 0).

Искомая точка M лежит на оси Oz, следовательно, её координаты имеют вид M(0; 0; z). Подставим $x=0$ и $y=0$ в основное уравнение:

$(0 + 2)^2 + (0 - 3)^2 + (z - 5)^2 = (0 - 3)^2 + (0 - 2)^2 + (z + 3)^2$

$4 + 9 + (z - 5)^2 = 9 + 4 + (z + 3)^2$

$13 + (z - 5)^2 = 13 + (z + 3)^2$

$(z - 5)^2 = (z + 3)^2$

Раскроем скобки:

$z^2 - 10z + 25 = z^2 + 6z + 9$

Сократим $z^2$ и приведем подобные слагаемые:

$25 - 9 = 6z + 10z$

$16 = 16z$

$z = 1$

Следовательно, искомая точка на оси Oz – это M(0; 0; 1).

Ответ: M(0; 0; 1).

675. Даны точки A(−1; 2; 3), B(−2; 1; 2) и C(0; −1; 1). Найдите точку, равноудалённую от этих точек и расположенную на координатной плоскости: а) Оху; б) Oyz; в) Ozx.

Пусть искомая точка $M$ имеет координаты $(x; y; z)$. По условию, точка $M$ равноудалена от точек $A(-1; 2; 3)$, $B(-2; 1; 2)$ и $C(0; -1; 1)$. Это означает, что расстояния $MA$, $MB$ и $MC$ равны: $MA = MB = MC$. Для удобства вычислений будем использовать квадраты расстояний: $MA^2 = MB^2 = MC^2$.

Квадрат расстояния между двумя точками $P_1(x_1; y_1; z_1)$ и $P_2(x_2; y_2; z_2)$ вычисляется по формуле: $d^2 = (x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2$. Запишем квадраты расстояний от точки $M$ до точек $A, B, C$:

$MA^2 = (x - (-1))^2 + (y - 2)^2 + (z - 3)^2 = (x + 1)^2 + (y - 2)^2 + (z - 3)^2$

$MB^2 = (x - (-2))^2 + (y - 1)^2 + (z - 2)^2 = (x + 2)^2 + (y - 1)^2 + (z - 2)^2$

$MC^2 = (x - 0)^2 + (y - (-1))^2 + (z - 1)^2 = x^2 + (y + 1)^2 + (z - 1)^2$

Составим систему уравнений из условия $MA^2 = MB^2$ и $MA^2 = MC^2$.

1) Из $MA^2 = MB^2$ получаем:
$(x + 1)^2 + (y - 2)^2 + (z - 3)^2 = (x + 2)^2 + (y - 1)^2 + (z - 2)^2$
Раскроем скобки: $x^2 + 2x + 1 + y^2 - 4y + 4 + z^2 - 6z + 9 = x^2 + 4x + 4 + y^2 - 2y + 1 + z^2 - 4z + 4$
Упростим, сократив одинаковые члены в обеих частях: $2x - 4y - 6z + 14 = 4x - 2y - 4z + 9$
Перенесем все переменные в одну сторону, а числа в другую: $14 - 9 = (4x - 2x) + (-2y + 4y) + (-4z + 6z)$
$5 = 2x + 2y + 2z$ (1)

2) Из $MA^2 = MC^2$ получаем:
$(x + 1)^2 + (y - 2)^2 + (z - 3)^2 = x^2 + (y + 1)^2 + (z - 1)^2$
Раскроем скобки: $x^2 + 2x + 1 + y^2 - 4y + 4 + z^2 - 6z + 9 = x^2 + y^2 + 2y + 1 + z^2 - 2z + 1$
Упростим: $2x - 4y - 6z + 14 = 2y - 2z + 2$
$14 - 2 = -2x + (2y + 4y) + (-2z + 6z)$
$12 = 2x + 6y + 4z$
Разделим обе части на 2: $6 = x + 3y + 2z$ (2)

Теперь решим систему уравнений (1) и (2) для каждого из трех случаев.

а) Oxy
Если точка лежит на плоскости Oxy, ее координата $z=0$. Подставим $z=0$ в систему уравнений (1) и (2):
$\begin{cases} 2x + 2y = 5 \\ x + 3y = 6 \end{cases}$
Из второго уравнения выразим $x$: $x = 6 - 3y$.
Подставим это выражение в первое уравнение: $2(6 - 3y) + 2y = 5$.
$12 - 6y + 2y = 5 \Rightarrow 12 - 4y = 5 \Rightarrow 4y = 7 \Rightarrow y = \frac{7}{4}$.
Теперь найдем $x$: $x = 6 - 3 \cdot \frac{7}{4} = \frac{24}{4} - \frac{21}{4} = \frac{3}{4}$.
Искомая точка имеет координаты $(\frac{3}{4}; \frac{7}{4}; 0)$.
Ответ: $(\frac{3}{4}; \frac{7}{4}; 0)$.

б) Oyz
Если точка лежит на плоскости Oyz, ее координата $x=0$. Подставим $x=0$ в систему уравнений (1) и (2):
$\begin{cases} 2y + 2z = 5 \\ 3y + 2z = 6 \end{cases}$
Вычтем первое уравнение из второго: $(3y + 2z) - (2y + 2z) = 6 - 5$, что дает $y = 1$.
Подставим $y=1$ в первое уравнение: $2(1) + 2z = 5 \Rightarrow 2 + 2z = 5 \Rightarrow 2z = 3 \Rightarrow z = \frac{3}{2}$.
Искомая точка имеет координаты $(0; 1; \frac{3}{2})$.
Ответ: $(0; 1; \frac{3}{2})$.

в) Ozx
Если точка лежит на плоскости Ozx, ее координата $y=0$. Подставим $y=0$ в систему уравнений (1) и (2):
$\begin{cases} 2x + 2z = 5 \\ x + 2z = 6 \end{cases}$
Вычтем второе уравнение из первого: $(2x + 2z) - (x + 2z) = 5 - 6$, что дает $x = -1$.
Подставим $x = -1$ во второе уравнение: $-1 + 2z = 6 \Rightarrow 2z = 7 \Rightarrow z = \frac{7}{2}$.
Искомая точка имеет координаты $(-1; 0; \frac{7}{2})$.
Ответ: $(-1; 0; \frac{7}{2})$.

676. Даны точки О(0; 0; 0), A(4; 0; 0), B(0; 6; 0), C(0; 0; −2). Найдите: а) координаты центра и радиус окружности, описанной около треугольника AОB; б) координаты точки, равноудалённой от вершин тетраэдра ОABC.

а)

Вершины треугольника AOB имеют координаты $O(0; 0; 0)$, $A(4; 0; 0)$ и $B(0; 6; 0)$. Так как точка $O$ — начало координат, а точки $A$ и $B$ лежат на осях $Ox$ и $Oy$ соответственно, угол $\angle AOB$ является прямым ($90^\circ$). Следовательно, треугольник $AOB$ — прямоугольный, и его гипотенуза — отрезок $AB$.

Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, находится в середине его гипотенузы. Найдем координаты центра $M$ как середины отрезка $AB$:
$M = (\frac{4+0}{2}; \frac{0+6}{2}; \frac{0+0}{2}) = (2; 3; 0)$.

Радиус описанной окружности $R$ равен расстоянию от центра $M$ до любой из вершин, например, до вершины $O$:
$R = |MO| = \sqrt{(2-0)^2 + (3-0)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$.

Ответ: координаты центра $(2; 3; 0)$, радиус $R = \sqrt{13}$.

б)

Точка, равноудалённая от вершин тетраэдра $O(0; 0; 0)$, $A(4; 0; 0)$, $B(0; 6; 0)$ и $C(0; 0; -2)$, является центром описанной около него сферы. Обозначим эту точку как $P(x; y; z)$. Условие равноудалённости можно записать через равенство квадратов расстояний: $PO^2 = PA^2 = PB^2 = PC^2$.

Приравняем квадрат расстояния от $P$ до начала координат $O$ к квадратам расстояний до остальных вершин и решим полученную систему уравнений:
$PO^2 = PA^2 \implies x^2 + y^2 + z^2 = (x-4)^2 + y^2 + z^2 \implies x^2 = x^2 - 8x + 16 \implies 8x = 16 \implies x=2$.
$PO^2 = PB^2 \implies x^2 + y^2 + z^2 = x^2 + (y-6)^2 + z^2 \implies y^2 = y^2 - 12y + 36 \implies 12y = 36 \implies y=3$.
$PO^2 = PC^2 \implies x^2 + y^2 + z^2 = x^2 + y^2 + (z+2)^2 \implies z^2 = z^2 + 4z + 4 \implies 4z = -4 \implies z=-1$.

Таким образом, искомая точка имеет координаты $(2; 3; -1)$.

Ответ: $(2; 3; -1)$.

677. Отрезок CD длины m перпендикулярен к плоскости прямоугольного треугольника ABC с катетами АС = b и ВС = а. Введите подходящую систему координат и с помощью формулы расстояния между двумя точками найдите расстояние от точки D до середины гипотенузы этого треугольника.

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат в пространстве. Поскольку треугольник ABC является прямоугольным, а отрезок CD перпендикулярен его плоскости, наиболее удобным будет разместить начало координат в точке C.

1. Введение системы координат и определение координат точек

• Поместим точку C (вершину прямого угла) в начало координат. Таким образом, координаты точки C будут (0, 0, 0).
• Направим ось Ox вдоль катета BC. Так как длина BC = a, то координаты точки B будут (a, 0, 0).
• Направим ось Oy вдоль катета AC. Так как длина AC = b, то координаты точки A будут (0, b, 0).
• Поскольку отрезок CD перпендикулярен плоскости треугольника ABC (то есть плоскости Oxy), направим ось Oz вдоль отрезка CD. Так как длина CD = m, то координаты точки D будут (0, 0, m).

Итак, мы имеем координаты вершин:
$A(0, b, 0)$
$B(a, 0, 0)$
$C(0, 0, 0)$
$D(0, 0, m)$

2. Нахождение координат середины гипотенузы

Гипотенузой треугольника является отрезок AB. Найдем координаты ее середины, которую обозначим точкой M. Координаты середины отрезка находятся как полусумма соответствующих координат его концов.
Пусть $M(x_M, y_M, z_M)$. Тогда:
$x_M = \frac{x_A + x_B}{2} = \frac{0 + a}{2} = \frac{a}{2}$
$y_M = \frac{y_A + y_B}{2} = \frac{b + 0}{2} = \frac{b}{2}$
$z_M = \frac{z_A + z_B}{2} = \frac{0 + 0}{2} = 0$
Таким образом, координаты середины гипотенузы, точки M, равны $(\frac{a}{2}, \frac{b}{2}, 0)$.

3. Вычисление расстояния от точки D до середины гипотенузы

Теперь найдем расстояние между точкой $D(0, 0, m)$ и точкой $M(\frac{a}{2}, \frac{b}{2}, 0)$ по формуле расстояния между двумя точками в пространстве:
$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$
Подставим координаты точек D и M:
$DM = \sqrt{(\frac{a}{2} - 0)^2 + (\frac{b}{2} - 0)^2 + (0 - m)^2}$
$DM = \sqrt{(\frac{a}{2})^2 + (\frac{b}{2})^2 + (-m)^2}$
$DM = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{b^2}{4} + m^2}$
Для удобства приведем выражение под корнем к общему знаменателю:
$DM = \sqrt{\frac{a^2 + b^2 + 4m^2}{4}} = \frac{\sqrt{a^2 + b^2 + 4m^2}}{2}$

Ответ: Расстояние от точки D до середины гипотенузы треугольника ABC равно $\sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{b^2}{4} + m^2}$ или $\frac{\sqrt{a^2 + b^2 + 4m^2}}{2}$.

678. Напишите уравнение сферы радиуса R с центром А, если:

Общее уравнение сферы с центром в точке $A(x_0; y_0; z_0)$ и радиусом $R$ имеет вид:

$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$

Для решения задачи подставим данные для каждого случая в эту формулу.

а) Дано: центр сферы $A(2; -4; 7)$ и радиус $R = 3$.

Здесь $x_0 = 2$, $y_0 = -4$, $z_0 = 7$.

Подставляем эти значения в общую формулу уравнения сферы:

$(x - 2)^2 + (y - (-4))^2 + (z - 7)^2 = 3^2$

Упрощаем выражение:

$(x - 2)^2 + (y + 4)^2 + (z - 7)^2 = 9$

Ответ: $(x - 2)^2 + (y + 4)^2 + (z - 7)^2 = 9$

б) Дано: центр сферы $A(0; 0; 0)$ и радиус $R = \sqrt{2}$.

Здесь $x_0 = 0$, $y_0 = 0$, $z_0 = 0$. Центр сферы находится в начале координат.

Подставляем эти значения в общую формулу:

$(x - 0)^2 + (y - 0)^2 + (z - 0)^2 = (\sqrt{2})^2$

Упрощаем выражение:

$x^2 + y^2 + z^2 = 2$

Ответ: $x^2 + y^2 + z^2 = 2$

в) Дано: центр сферы $A(2; 0; 0)$ и радиус $R = 4$.

Здесь $x_0 = 2$, $y_0 = 0$, $z_0 = 0$.

Подставляем эти значения в общую формулу:

$(x - 2)^2 + (y - 0)^2 + (z - 0)^2 = 4^2$

Упрощаем выражение:

$(x - 2)^2 + y^2 + z^2 = 16$

Ответ: $(x - 2)^2 + y^2 + z^2 = 16$