Номер 672, страница 170 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

672. Даны точки A(1; 0; k), B(−1; 2; 3) и C(0; 0; 1). При каких значениях k треугольник ABC является равнобедренным?

Для того чтобы треугольник ABC был равнобедренным, необходимо, чтобы длины как минимум двух его сторон были равны. Рассмотрим три возможных случая: AB = AC, AB = BC и AC = BC. Для удобства будем сравнивать не сами длины, а их квадраты.

Найдем квадраты длин сторон треугольника, используя формулу расстояния между двумя точками в пространстве $d^2 = (x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2$.

Даны точки: A(1; 0; k), B(-1; 2; 3) и C(0; 0; 1).

Квадрат длины стороны AB:

$AB^2 = (-1-1)^2 + (2-0)^2 + (3-k)^2 = (-2)^2 + 2^2 + (3-k)^2 = 4 + 4 + 9 - 6k + k^2 = k^2 - 6k + 17$

Квадрат длины стороны AC:

$AC^2 = (0-1)^2 + (0-0)^2 + (1-k)^2 = (-1)^2 + 0^2 + (1-k)^2 = 1 + 1 - 2k + k^2 = k^2 - 2k + 2$

Квадрат длины стороны BC:

$BC^2 = (0-(-1))^2 + (0-2)^2 + (1-3)^2 = 1^2 + (-2)^2 + (-2)^2 = 1 + 4 + 4 = 9$

Теперь рассмотрим три случая равенства сторон.

1. Стороны AB и AC равны (AB = AC)

Приравниваем квадраты их длин:

$AB^2 = AC^2$

$k^2 - 6k + 17 = k^2 - 2k + 2$

$-6k + 17 = -2k + 2$

$4k = 15$

$k = \frac{15}{4}$

2. Стороны AB и BC равны (AB = BC)

Приравниваем квадраты их длин:

$AB^2 = BC^2$

$k^2 - 6k + 17 = 9$

$k^2 - 6k + 8 = 0$

Решаем квадратное уравнение. По теореме Виета, корни уравнения $k_1 = 2$ и $k_2 = 4$.

3. Стороны AC и BC равны (AC = BC)

Приравниваем квадраты их длин:

$AC^2 = BC^2$

$k^2 - 2k + 2 = 9$

$k^2 - 2k - 7 = 0$

Решаем квадратное уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 4 + 28 = 32$

$k = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{32}}{2} = \frac{2 \pm 4\sqrt{2}}{2} = 1 \pm 2\sqrt{2}$

Таким образом, получаем два значения: $k_3 = 1 + 2\sqrt{2}$ и $k_4 = 1 - 2\sqrt{2}$.

Мы нашли все значения k, при которых треугольник ABC является равнобедренным.

Ответ: $k = \frac{15}{4}$, $k = 2$, $k = 4$, $k = 1 + 2\sqrt{2}$, $k = 1 - 2\sqrt{2}$.