Номер 670, страница 170 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

670. На каждой из координатных плоскостей найдите такую точку, расстояние от которой до точки A(−1; 2; −3) является наименьшим среди всех расстояний от точек этой координатной плоскости до точки A.

Для того чтобы найти на каждой координатной плоскости точку, расстояние от которой до точки $A(-1; 2; -3)$ является наименьшим, можно использовать два подхода: геометрический (поиск ортогональной проекции) или алгебраический (минимизация функции расстояния). Алгебраический подход является более универсальным и наглядным в данном случае. Мы будем минимизировать квадрат расстояния, что эквивалентно минимизации самого расстояния. Квадрат расстояния между двумя точками $(x_1, y_1, z_1)$ и $(x_2, y_2, z_2)$ вычисляется по формуле $d^2 = (x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2$.

На координатной плоскости Oxy

Любая точка на плоскости $Oxy$ имеет координаты $(x, y, 0)$. Найдем квадрат расстояния $d^2$ от такой точки до точки $A(-1; 2; -3)$:
$d^2 = (x - (-1))^2 + (y - 2)^2 + (0 - (-3))^2 = (x+1)^2 + (y-2)^2 + 9$.
Это выражение является суммой трех слагаемых. Слагаемые $(x+1)^2$ и $(y-2)^2$ неотрицательны, а слагаемое $9$ является константой. Сумма будет минимальной, когда неотрицательные слагаемые примут свое наименьшее возможное значение, равное нулю. Это происходит при следующих условиях:
$x+1 = 0$, откуда $x = -1$.
$y-2 = 0$, откуда $y = 2$.
Следовательно, искомая точка на плоскости $Oxy$ имеет координаты $(-1; 2; 0)$.

Ответ: $(-1; 2; 0)$.

На координатной плоскости Oxz

Любая точка на плоскости $Oxz$ имеет координаты $(x, 0, z)$. Найдем квадрат расстояния $d^2$ от такой точки до точки $A(-1; 2; -3)$:
$d^2 = (x - (-1))^2 + (0 - 2)^2 + (z - (-3))^2 = (x+1)^2 + 4 + (z+3)^2$.
Это выражение является суммой трех слагаемых. Слагаемые $(x+1)^2$ и $(z+3)^2$ неотрицательны, а слагаемое $4$ является константой. Сумма будет минимальной, когда неотрицательные слагаемые примут свое наименьшее возможное значение, равное нулю. Это происходит при следующих условиях:
$x+1 = 0$, откуда $x = -1$.
$z+3 = 0$, откуда $z = -3$.
Следовательно, искомая точка на плоскости $Oxz$ имеет координаты $(-1; 0; -3)$.

Ответ: $(-1; 0; -3)$.

На координатной плоскости Oyz

Любая точка на плоскости $Oyz$ имеет координаты $(0, y, z)$. Найдем квадрат расстояния $d^2$ от такой точки до точки $A(-1; 2; -3)$:
$d^2 = (0 - (-1))^2 + (y - 2)^2 + (z - (-3))^2 = 1 + (y-2)^2 + (z+3)^2$.
Это выражение является суммой трех слагаемых. Слагаемые $(y-2)^2$ и $(z+3)^2$ неотрицательны, а слагаемое $1$ является константой. Сумма будет минимальной, когда неотрицательные слагаемые примут свое наименьшее возможное значение, равное нулю. Это происходит при следующих условиях:
$y-2 = 0$, откуда $y = 2$.
$z+3 = 0$, откуда $z = -3$.
Следовательно, искомая точка на плоскости $Oyz$ имеет координаты $(0; 2; -3)$.

Ответ: $(0; 2; -3)$.