Страница 166 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

637. Даны точки

Какие из этих точек лежат на: а) оси абсцисс; б) оси ординат; в) оси аппликат; г) плоскости Оху; д) плоскости Оуz; е) плоскости Oxz?

Для решения этой задачи необходимо вспомнить условия принадлежности точки координатным осям и плоскостям в трехмерной декартовой системе координат.

а) оси абсцисс
Точка лежит на оси абсцисс (оси $Ox$), если ее ордината ($y$) и аппликата ($z$) равны нулю. То есть, координаты точки должны иметь вид $(x; 0; 0)$.
Проанализируем данные точки:

• $A(3; -1; 0)$ - не подходит, так как $y = -1$.
• $B(0; 0; -7)$ - не подходит, так как $z = -7$.
• $C(2; 0; 0)$ - подходит, так как $y = 0$ и $z = 0$.
• $D(-4; 0; 3)$ - не подходит, так как $z = 3$.
• $E(0; -1; 0)$ - не подходит, так как $y = -1$.
• $F(1; 2; 3)$ - не подходит.
• $G(0; 5; -7)$ - не подходит.
• $H(-\sqrt{5}; \sqrt{3}; 0)$ - не подходит, так как $y = \sqrt{3}$.

Ответ: $C(2; 0; 0)$.

б) оси ординат
Точка лежит на оси ординат (оси $Oy$), если ее абсцисса ($x$) и аппликата ($z$) равны нулю. То есть, координаты точки должны иметь вид $(0; y; 0)$.
Проанализируем данные точки:

• $A(3; -1; 0)$ - не подходит, так как $x = 3$.
• $B(0; 0; -7)$ - не подходит, так как $z = -7$.
• $C(2; 0; 0)$ - не подходит, так как $x = 2$.
• $D(-4; 0; 3)$ - не подходит.
• $E(0; -1; 0)$ - подходит, так как $x = 0$ и $z = 0$.
• $F(1; 2; 3)$ - не подходит.
• $G(0; 5; -7)$ - не подходит, так как $z = -7$.
• $H(-\sqrt{5}; \sqrt{3}; 0)$ - не подходит, так как $x = -\sqrt{5}$.

Ответ: $E(0; -1; 0)$.

в) оси аппликат
Точка лежит на оси аппликат (оси $Oz$), если ее абсцисса ($x$) и ордината ($y$) равны нулю. То есть, координаты точки должны иметь вид $(0; 0; z)$.
Проанализируем данные точки:

• $B(0; 0; -7)$ - подходит, так как $x = 0$ и $y = 0$.

Остальные точки не удовлетворяют этому условию, так как у них либо $x \neq 0$, либо $y \neq 0$.
Ответ: $B(0; 0; -7)$.

г) плоскости Oxy
Точка лежит в плоскости $Oxy$, если ее аппликата ($z$) равна нулю. Уравнение плоскости $Oxy$: $z=0$.
Выберем точки, у которых третья координата равна нулю:

• $A(3; -1; 0)$ - подходит ($z=0$).
• $C(2; 0; 0)$ - подходит ($z=0$).
• $E(0; -1; 0)$ - подходит ($z=0$).
• $H(-\sqrt{5}; \sqrt{3}; 0)$ - подходит ($z=0$).

Ответ: $A(3; -1; 0)$, $C(2; 0; 0)$, $E(0; -1; 0)$, $H(-\sqrt{5}; \sqrt{3}; 0)$.

д) плоскости Oyz
Точка лежит в плоскости $Oyz$, если ее абсцисса ($x$) равна нулю. Уравнение плоскости $Oyz$: $x=0$.
Выберем точки, у которых первая координата равна нулю:

• $B(0; 0; -7)$ - подходит ($x=0$).
• $E(0; -1; 0)$ - подходит ($x=0$).
• $G(0; 5; -7)$ - подходит ($x=0$).

Ответ: $B(0; 0; -7)$, $E(0; -1; 0)$, $G(0; 5; -7)$.

е) плоскости Oxz
Точка лежит в плоскости $Oxz$, если ее ордината ($y$) равна нулю. Уравнение плоскости $Oxz$: $y=0$.
Выберем точки, у которых вторая координата равна нулю:

• $B(0; 0; -7)$ - подходит ($y=0$).
• $C(2; 0; 0)$ - подходит ($y=0$).
• $D(-4; 0; 3)$ - подходит ($y=0$).

Ответ: $B(0; 0; -7)$, $C(2; 0; 0)$, $D(-4; 0; 3)$.

638. Найдите координаты проекций точек

на: а) координатные плоскости Oxz, Oxy и Oyz; б) оси координат Ох, Оу и Oz.

Чтобы найти координаты проекции точки на одну из координатных плоскостей, необходимо приравнять к нулю координату, которая перпендикулярна этой плоскости. Для произвольной точки $P(x; y; z)$ проекции находятся следующим образом:

– Проекция на плоскость $Oxz$ (плоскость, где $y=0$) имеет координаты $(x; 0; z)$.
– Проекция на плоскость $Oxy$ (плоскость, где $z=0$) имеет координаты $(x; y; 0)$.
– Проекция на плоскость $Oyz$ (плоскость, где $x=0$) имеет координаты $(0; y; z)$.

Применим это правило для каждой из заданных точек:

Для точки $A(2; -3; 5)$:
– Проекция на плоскость $Oxz$: $(2; 0; 5)$.
– Проекция на плоскость $Oxy$: $(2; -3; 0)$.
– Проекция на плоскость $Oyz$: $(0; -3; 5)$.

Для точки $B(3; -5; \frac{1}{2})$:
– Проекция на плоскость $Oxz$: $(3; 0; \frac{1}{2})$.
– Проекция на плоскость $Oxy$: $(3; -5; 0)$.
– Проекция на плоскость $Oyz$: $(0; -5; \frac{1}{2})$.

Для точки $C(-\sqrt{3}; -\frac{\sqrt{2}}{2}; \sqrt{5}-\sqrt{3})$:
– Проекция на плоскость $Oxz$: $(-\sqrt{3}; 0; \sqrt{5}-\sqrt{3})$.
– Проекция на плоскость $Oxy$: $(-\sqrt{3}; -\frac{\sqrt{2}}{2}; 0)$.
– Проекция на плоскость $Oyz$: $(0; -\frac{\sqrt{2}}{2}; \sqrt{5}-\sqrt{3})$.

Ответ:
Для точки A: проекция на $Oxz$ — $(2; 0; 5)$, на $Oxy$ — $(2; -3; 0)$, на $Oyz$ — $(0; -3; 5)$.
Для точки B: проекция на $Oxz$ — $(3; 0; \frac{1}{2})$, на $Oxy$ — $(3; -5; 0)$, на $Oyz$ — $(0; -5; \frac{1}{2})$.
Для точки C: проекция на $Oxz$ — $(-\sqrt{3}; 0; \sqrt{5}-\sqrt{3})$, на $Oxy$ — $(-\sqrt{3}; -\frac{\sqrt{2}}{2}; 0)$, на $Oyz$ — $(0; -\frac{\sqrt{2}}{2}; \sqrt{5}-\sqrt{3})$.

Чтобы найти координаты проекции точки на одну из координатных осей, необходимо приравнять к нулю две координаты, не относящиеся к этой оси. Для произвольной точки $P(x; y; z)$ проекции находятся следующим образом:

– Проекция на ось $Ox$ имеет координаты $(x; 0; 0)$.
– Проекция на ось $Oy$ имеет координаты $(0; y; 0)$.
– Проекция на ось $Oz$ имеет координаты $(0; 0; z)$.

Применим это правило для каждой из заданных точек:

Для точки $A(2; -3; 5)$:
– Проекция на ось $Ox$: $(2; 0; 0)$.
– Проекция на ось $Oy$: $(0; -3; 0)$.
– Проекция на ось $Oz$: $(0; 0; 5)$.

Для точки $B(3; -5; \frac{1}{2})$:
– Проекция на ось $Ox$: $(3; 0; 0)$.
– Проекция на ось $Oy$: $(0; -5; 0)$.
– Проекция на ось $Oz$: $(0; 0; \frac{1}{2})$.

Для точки $C(-\sqrt{3}; -\frac{\sqrt{2}}{2}; \sqrt{5}-\sqrt{3})$:
– Проекция на ось $Ox$: $(-\sqrt{3}; 0; 0)$.
– Проекция на ось $Oy$: $(0; -\frac{\sqrt{2}}{2}; 0)$.
– Проекция на ось $Oz$: $(0; 0; \sqrt{5}-\sqrt{3})$.

Ответ:
Для точки A: проекция на $Ox$ — $(2; 0; 0)$, на $Oy$ — $(0; -3; 0)$, на $Oz$ — $(0; 0; 5)$.
Для точки B: проекция на $Ox$ — $(3; 0; 0)$, на $Oy$ — $(0; -5; 0)$, на $Oz$ — $(0; 0; \frac{1}{2})$.
Для точки C: проекция на $Ox$ — $(-\sqrt{3}; 0; 0)$, на $Oy$ — $(0; -\frac{\sqrt{2}}{2}; 0)$, на $Oz$ — $(0; 0; \sqrt{5}-\sqrt{3})$.

639. Даны координаты четырёх вершин куба ABCDA₁B₁C₁D₁: A(0; 0; 0), В(0; 0; 1), D(0; 1; 0) и А₁ (1; 0; 0). Найдите координаты остальных вершин куба.

Для нахождения координат оставшихся вершин куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ воспользуемся векторным методом. Вершина $A(0; 0; 0)$ совпадает с началом координат. Найдем векторы, соответствующие ребрам куба, выходящим из вершины $A$, как разность координат конца и начала вектора:

$\vec{AB} = (0-0; 0-0; 1-0) = (0; 0; 1)$

$\vec{AD} = (0-0; 1-0; 0-0) = (0; 1; 0)$

$\vec{AA_1} = (1-0; 0-0; 0-0) = (1; 0; 0)$

Эти три вектора являются рёбрами куба, выходящими из одной вершины. Они взаимно перпендикулярны (их скалярные произведения равны нулю) и их длины равны 1. Координаты остальных вершин можно найти, используя правило сложения векторов. Радиус-вектор любой точки $X$ будем обозначать как $\vec{OX}$. Поскольку $A$ — начало координат, $\vec{OA}$ — нулевой вектор.

Координаты вершины C

Грань $ABCD$ является квадратом. По правилу параллелограмма, вектор диагонали $\vec{AC}$ равен сумме векторов сторон $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$. Координаты точки $C$ равны координатам ее радиус-вектора $\vec{OC}$.

$\vec{OC} = \vec{OA} + \vec{AC} = \vec{OA} + \vec{AB} + \vec{AD} = (0;0;0) + (0; 0; 1) + (0; 1; 0) = (0; 1; 1)$.

Следовательно, точка $C$ имеет координаты $(0; 1; 1)$.

Ответ: $C(0; 1; 1)$.

Координаты вершины B?

Вершина $B_1$ получается параллельным переносом вершины $B$ на вектор $\vec{AA_1}$. Таким образом, радиус-вектор $\vec{OB_1}$ равен сумме радиус-вектора $\vec{OB}$ и вектора переноса $\vec{AA_1}$.

$\vec{OB_1} = \vec{OB} + \vec{AA_1} = (0; 0; 1) + (1; 0; 0) = (1; 0; 1)$.

Следовательно, точка $B_1$ имеет координаты $(1; 0; 1)$.

Ответ: $B_1(1; 0; 1)$.

Координаты вершины D?

Аналогично, вершина $D_1$ получается параллельным переносом вершины $D$ на вектор $\vec{AA_1}$.

$\vec{OD_1} = \vec{OD} + \vec{AA_1} = (0; 1; 0) + (1; 0; 0) = (1; 1; 0)$.

Следовательно, точка $D_1$ имеет координаты $(1; 1; 0)$.

Ответ: $D_1(1; 1; 0)$.

Координаты вершины C?

Вершина $C_1$ является вершиной, диагонально противоположной вершине $A$. Её радиус-вектор можно найти как сумму трех векторов рёбер, выходящих из вершины $A$.

$\vec{OC_1} = \vec{OA} + \vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA_1} = (0;0;0) + (0; 0; 1) + (0; 1; 0) + (1; 0; 0) = (1; 1; 1)$.

Также координаты $C_1$ можно найти, совершив параллельный перенос точки $C$ на вектор $\vec{AA_1}$:

$\vec{OC_1} = \vec{OC} + \vec{AA_1} = (0; 1; 1) + (1; 0; 0) = (1; 1; 1)$.

Следовательно, точка $C_1$ имеет координаты $(1; 1; 1)$.

Ответ: $C_1(1; 1; 1)$.