Номер 639, страница 166 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

639. Даны координаты четырёх вершин куба ABCDA₁B₁C₁D₁: A(0; 0; 0), В(0; 0; 1), D(0; 1; 0) и А₁ (1; 0; 0). Найдите координаты остальных вершин куба.

Для нахождения координат оставшихся вершин куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ воспользуемся векторным методом. Вершина $A(0; 0; 0)$ совпадает с началом координат. Найдем векторы, соответствующие ребрам куба, выходящим из вершины $A$, как разность координат конца и начала вектора:

$\vec{AB} = (0-0; 0-0; 1-0) = (0; 0; 1)$

$\vec{AD} = (0-0; 1-0; 0-0) = (0; 1; 0)$

$\vec{AA_1} = (1-0; 0-0; 0-0) = (1; 0; 0)$

Эти три вектора являются рёбрами куба, выходящими из одной вершины. Они взаимно перпендикулярны (их скалярные произведения равны нулю) и их длины равны 1. Координаты остальных вершин можно найти, используя правило сложения векторов. Радиус-вектор любой точки $X$ будем обозначать как $\vec{OX}$. Поскольку $A$ — начало координат, $\vec{OA}$ — нулевой вектор.

Координаты вершины C

Грань $ABCD$ является квадратом. По правилу параллелограмма, вектор диагонали $\vec{AC}$ равен сумме векторов сторон $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$. Координаты точки $C$ равны координатам ее радиус-вектора $\vec{OC}$.

$\vec{OC} = \vec{OA} + \vec{AC} = \vec{OA} + \vec{AB} + \vec{AD} = (0;0;0) + (0; 0; 1) + (0; 1; 0) = (0; 1; 1)$.

Следовательно, точка $C$ имеет координаты $(0; 1; 1)$.

Ответ: $C(0; 1; 1)$.

Координаты вершины B?

Вершина $B_1$ получается параллельным переносом вершины $B$ на вектор $\vec{AA_1}$. Таким образом, радиус-вектор $\vec{OB_1}$ равен сумме радиус-вектора $\vec{OB}$ и вектора переноса $\vec{AA_1}$.

$\vec{OB_1} = \vec{OB} + \vec{AA_1} = (0; 0; 1) + (1; 0; 0) = (1; 0; 1)$.

Следовательно, точка $B_1$ имеет координаты $(1; 0; 1)$.

Ответ: $B_1(1; 0; 1)$.

Координаты вершины D?

Аналогично, вершина $D_1$ получается параллельным переносом вершины $D$ на вектор $\vec{AA_1}$.

$\vec{OD_1} = \vec{OD} + \vec{AA_1} = (0; 1; 0) + (1; 0; 0) = (1; 1; 0)$.

Следовательно, точка $D_1$ имеет координаты $(1; 1; 0)$.

Ответ: $D_1(1; 1; 0)$.

Координаты вершины C?

Вершина $C_1$ является вершиной, диагонально противоположной вершине $A$. Её радиус-вектор можно найти как сумму трех векторов рёбер, выходящих из вершины $A$.

$\vec{OC_1} = \vec{OA} + \vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA_1} = (0;0;0) + (0; 0; 1) + (0; 1; 0) + (1; 0; 0) = (1; 1; 1)$.

Также координаты $C_1$ можно найти, совершив параллельный перенос точки $C$ на вектор $\vec{AA_1}$:

$\vec{OC_1} = \vec{OC} + \vec{AA_1} = (0; 1; 1) + (1; 0; 0) = (1; 1; 1)$.

Следовательно, точка $C_1$ имеет координаты $(1; 1; 1)$.

Ответ: $C_1(1; 1; 1)$.