Номер 632, страница 159 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 3. Компланарные векторы, дополнительные задачи. Глава 6. Векторы в пространстве - номер 632, страница 159.

632. Докажите, что если точки пересечения медиан треугольников ABC и A₁B₁C₁ совпадают, то прямые AA₁, ВВ₁ и СС₁ параллельны некоторой плоскости.

Для доказательства воспользуемся векторным методом. Введем в пространстве произвольную точку $O$ в качестве начала отсчета. Положение любой точки $X$ в пространстве можно задать ее радиус-вектором $\vec{OX}$. Обозначим радиус-векторы вершин треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$ следующим образом: $\vec{OA} = \vec{a}$, $\vec{OB} = \vec{b}$, $\vec{OC} = \vec{c}$ и $\vec{OA_1} = \vec{a_1}$, $\vec{OB_1} = \vec{b_1}$, $\vec{OC_1} = \vec{c_1}$.

Известно, что радиус-вектор точки пересечения медиан (центроида) треугольника равен среднему арифметическому радиус-векторов его вершин. Пусть $M$ — точка пересечения медиан треугольника $ABC$, а $M_1$ — точка пересечения медиан треугольника $A_1B_1C_1$. Их радиус-векторы $\vec{OM}$ и $\vec{OM_1}$ соответственно равны:

$\vec{OM} = \frac{1}{3}(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$

$\vec{OM_1} = \frac{1}{3}(\vec{a_1} + \vec{b_1} + \vec{c_1})$

Согласно условию задачи, точки пересечения медиан совпадают, то есть $M = M_1$. Следовательно, их радиус-векторы также равны: $\vec{OM} = \vec{OM_1}$. Приравнивая соответствующие выражения, получаем:

$\frac{1}{3}(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) = \frac{1}{3}(\vec{a_1} + \vec{b_1} + \vec{c_1})$

Умножим обе части равенства на 3 и преобразуем его, сгруппировав векторы:

$\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{a_1} + \vec{b_1} + \vec{c_1}$

$(\vec{a_1} - \vec{a}) + (\vec{b_1} - \vec{b}) + (\vec{c_1} - \vec{c}) = \vec{0}$

Каждое из выражений в скобках представляет собой вектор, соединяющий соответствующие вершины треугольников: $\vec{AA_1} = \vec{a_1} - \vec{a}$, $\vec{BB_1} = \vec{b_1} - \vec{b}$ и $\vec{CC_1} = \vec{c_1} - \vec{c}$. Подставив их в предыдущее равенство, получим:

$\vec{AA_1} + \vec{BB_1} + \vec{CC_1} = \vec{0}$

Полученное равенство означает, что сумма векторов $\vec{AA_1}$, $\vec{BB_1}$ и $\vec{CC_1}$ равна нулевому вектору. Это является необходимым и достаточным условием компланарности этих трех векторов. Векторы $\vec{AA_1}$, $\vec{BB_1}$ и $\vec{CC_1}$ являются направляющими векторами для прямых $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$. Так как направляющие векторы этих прямых компланарны, то и сами прямые параллельны некоторой плоскости $\pi$, которая параллельна плоскости, определяемой этими векторами. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.