Номер 631, страница 159 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

631. В параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ диагонали грани DCC₁D₁ пересекаются в точке М. Разложите вектор AM по векторам AB, AD и AA₁.

Для того чтобы разложить вектор $\vec{AM}$ по векторам $\vec{AB}$, $\vec{AD}$ и $\vec{AA_1}$, представим вектор $\vec{AM}$ в виде суммы векторов, исходящих из вершины $A$. Воспользуемся правилом многоугольника для сложения векторов, выбрав путь из точки $A$ в точку $M$ через другие вершины параллелепипеда. Один из возможных путей: $A \rightarrow D \rightarrow M$.

Тогда вектор $\vec{AM}$ можно записать как сумму векторов: $\vec{AM} = \vec{AD} + \vec{DM}$

По условию, точка $M$ — это точка пересечения диагоналей грани $DCC_1D_1$. Грань $DCC_1D_1$ является параллелограммом, а диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам. Следовательно, точка $M$ является серединой диагонали $DC_1$.

Из этого следует, что вектор $\vec{DM}$ составляет половину вектора $\vec{DC_1}$: $\vec{DM} = \frac{1}{2}\vec{DC_1}$

Теперь разложим вектор $\vec{DC_1}$ по правилу треугольника, используя векторы, соответствующие ребрам параллелепипеда: $\vec{DC_1} = \vec{DC} + \vec{CC_1}$

Подставим это разложение в выражение для $\vec{DM}$: $\vec{DM} = \frac{1}{2}(\vec{DC} + \vec{CC_1})$

Теперь подставим полученное выражение для $\vec{DM}$ в исходную формулу для $\vec{AM}$: $\vec{AM} = \vec{AD} + \frac{1}{2}(\vec{DC} + \vec{CC_1})$

Нам нужно выразить все векторы через базисные векторы $\vec{AB}$, $\vec{AD}$ и $\vec{AA_1}$. В параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ векторы, соответствующие параллельным и одинаково направленным ребрам, равны. Поэтому:

• $\vec{DC} = \vec{AB}$ (так как $ABCD$ — параллелограмм)
• $\vec{CC_1} = \vec{AA_1}$ (так как $AA_1C_1C$ — параллелограмм)

Произведем замену в выражении для $\vec{AM}$: $\vec{AM} = \vec{AD} + \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AA_1})$

Раскроем скобки и запишем слагаемые в стандартном порядке: $\vec{AM} = \frac{1}{2}\vec{AB} + \vec{AD} + \frac{1}{2}\vec{AA_1}$

Ответ: $\vec{AM} = \frac{1}{2}\vec{AB} + \vec{AD} + \frac{1}{2}\vec{AA_1}$