Номер 627, страница 158 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

627. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁, в котором AB = AD = a, AA₁ = 2a. В вершинах В₁ и D₁ помещены заряды q, а в вершине А — заряд 2q. Найдите абсолютную величину результирующей напряжённости электрического поля: а) в точке А₁; б) в точке С; в) в центре грани А₁B₁С₁D₁; г) в центре грани ABCD.

Для решения задачи введем декартову систему координат с началом в вершине $A$. Ось $x$ направим вдоль ребра $AB$, ось $y$ — вдоль $AD$, ось $z$ — вдоль $AA_1$. В этой системе координат расположение зарядов следующее:

• Заряд $q_A = 2q$ в точке $A(0, 0, 0)$.
• Заряд $q_{B_1} = q$ в точке $B_1(a, 0, 2a)$.
• Заряд $q_{D_1} = q$ в точке $D_1(0, a, 2a)$.

Напряженность электрического поля, создаваемого точечным зарядом $Q$ на расстоянии $r$, вычисляется по формуле $E = k \frac{|Q|}{r^2}$, где $k$ — постоянная Кулона. Результирующая напряженность поля в точке находится по принципу суперпозиции как векторная сумма полей от всех зарядов: $\vec{E}_{рез} = \sum_i \vec{E}_i$.

а) в точке $A_1$

Координаты точки $A_1$ равны $(0, 0, 2a)$. Найдем напряженность поля от каждого заряда в этой точке.

1. Поле от заряда $2q$ в точке $A(0,0,0)$. Расстояние $r_{A A_1} = 2a$. Вектор напряженности $\vec{E}_A$ направлен вертикально вверх вдоль оси $z$:$\vec{E}_A = k \frac{2q}{(2a)^2} \hat{k} = \frac{kq}{2a^2} \hat{k}$.

2. Поле от заряда $q$ в точке $B_1(a,0,2a)$. Расстояние $r_{B_1 A_1} = a$. Вектор напряженности $\vec{E}_{B_1}$ направлен от $B_1$ к $A_1$, то есть против оси $x$:$\vec{E}_{B_1} = k \frac{q}{a^2} (-\hat{i})$.

3. Поле от заряда $q$ в точке $D_1(0,a,2a)$. Расстояние $r_{D_1 A_1} = a$. Вектор напряженности $\vec{E}_{D_1}$ направлен от $D_1$ к $A_1$, то есть против оси $y$:$\vec{E}_{D_1} = k \frac{q}{a^2} (-\hat{j})$.

Результирующий вектор напряженности:$\vec{E}_{рез} = \vec{E}_{B_1} + \vec{E}_{D_1} + \vec{E}_A = -\frac{kq}{a^2} \hat{i} - \frac{kq}{a^2} \hat{j} + \frac{kq}{2a^2} \hat{k}$.

Абсолютная величина (модуль) результирующей напряженности:$E_{рез} = |\vec{E}_{рез}| = \sqrt{\left(-\frac{kq}{a^2}\right)^2 + \left(-\frac{kq}{a^2}\right)^2 + \left(\frac{kq}{2a^2}\right)^2} = \frac{kq}{a^2} \sqrt{1^2 + 1^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \frac{kq}{a^2} \sqrt{2 + \frac{1}{4}} = \frac{kq}{a^2} \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3kq}{2a^2}$.

Ответ: $E = \frac{3kq}{2a^2}$.

б) в точке $C$

Координаты точки $C$ равны $(a, a, 0)$.

1. Поле от заряда $2q$ в $A(0,0,0)$. Расстояние $r_{AC} = \sqrt{a^2+a^2} = a\sqrt{2}$. Модуль поля $E_A = k \frac{2q}{(a\sqrt{2})^2} = \frac{kq}{a^2}$. Вектор $\vec{E}_A$ направлен вдоль диагонали $AC$.

2. Поле от заряда $q$ в $B_1(a,0,2a)$. Расстояние $r_{B_1 C} = \sqrt{(a-a)^2+(a-0)^2+(0-2a)^2} = \sqrt{a^2+4a^2} = a\sqrt{5}$. Модуль поля $E_{B_1} = k \frac{q}{(a\sqrt{5})^2} = \frac{kq}{5a^2}$.

3. Поле от заряда $q$ в $D_1(0,a,2a)$. Расстояние $r_{D_1 C} = \sqrt{(a-0)^2+(a-a)^2+(0-2a)^2} = \sqrt{a^2+4a^2} = a\sqrt{5}$. Модуль поля $E_{D_1} = k \frac{q}{(a\sqrt{5})^2} = \frac{kq}{5a^2}$.

Для нахождения модуля суммы векторов найдем углы между ними. Суммарное поле от зарядов в $B_1$ и $D_1$ ($\vec{E}_{B_1 D_1} = \vec{E}_{B_1} + \vec{E}_{D_1}$). Угол $\theta$ между векторами $\vec{r}_{B_1 C}=(0,a,-2a)$ и $\vec{r}_{D_1 C}=(a,0,-2a)$ равен $\cos\theta = \frac{(0)(a)+(a)(0)+(-2a)(-2a)}{(a\sqrt{5})(a\sqrt{5})} = \frac{4}{5}$. Модуль их суммы: $E_{B_1 D_1} = \sqrt{E_{B_1}^2 + E_{D_1}^2 + 2E_{B_1} E_{D_1} \cos\theta} = E_{B_1}\sqrt{2(1+4/5)} = \frac{kq}{5a^2}\sqrt{18/5} = \frac{3\sqrt{10}kq}{25a^2}$. Направление этого вектора совпадает с $(1,1,-4)$. Вектор $\vec{E}_A$ направлен по $(1,1,0)$. Угол $\alpha$ между $\vec{E}_A$ и $\vec{E}_{B_1 D_1}$ равен $\cos\alpha = \frac{(1,1,0)\cdot(1,1,-4)}{\sqrt{2}\sqrt{18}} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

Модуль результирующего поля $E_{рез}^2 = E_A^2 + E_{B_1 D_1}^2 + 2E_A E_{B_1 D_1} \cos\alpha$:$E_{рез}^2 = \left(\frac{kq}{a^2}\right)^2 + \left(\frac{3\sqrt{10}kq}{25a^2}\right)^2 + 2\left(\frac{kq}{a^2}\right)\left(\frac{3\sqrt{10}kq}{25a^2}\right)\frac{1}{3} = \left(\frac{kq}{a^2}\right)^2 \left(1 + \frac{90}{625} + \frac{2\sqrt{10}}{25}\right) = \left(\frac{kq}{a^2}\right)^2 \left(\frac{143+10\sqrt{10}}{125}\right)$.

Ответ: $E = \frac{kq}{a^2} \sqrt{\frac{143+10\sqrt{10}}{125}}$.

в) в центре грани $A_1B_1C_1D_1$

Центр грани $P_c$ имеет координаты $(a/2, a/2, 2a)$.

1. Поля от зарядов $q$ в $B_1(a,0,2a)$ и $q$ в $D_1(0,a,2a)$. Точка $P_c$ равноудалена от $B_1$ и $D_1$. Векторы $\vec{r}_{B_1 P_c} = (-a/2, a/2, 0)$ и $\vec{r}_{D_1 P_c} = (a/2, -a/2, 0)$. Векторы напряженности $\vec{E}_{B_1}$ и $\vec{E}_{D_1}$ равны по модулю и противоположны по направлению, так что их сумма равна нулю: $\vec{E}_{B_1} + \vec{E}_{D_1} = \vec{0}$.

2. Таким образом, результирующее поле создается только зарядом $2q$ в точке $A(0,0,0)$.Расстояние $r_{AP_c} = \sqrt{(a/2)^2 + (a/2)^2 + (2a)^2} = \sqrt{\frac{a^2}{2} + 4a^2} = \sqrt{\frac{9a^2}{2}} = \frac{3a}{\sqrt{2}}$.

3. Модуль результирующего поля:$E_{рез} = E_A = k \frac{2q}{r_{AP_c}^2} = k \frac{2q}{(9a^2/2)} = \frac{4kq}{9a^2}$.

Ответ: $E = \frac{4kq}{9a^2}$.

г) в центре грани $ABCD$

Центр грани $P_d$ имеет координаты $(a/2, a/2, 0)$.

1. Поле от заряда $2q$ в $A(0,0,0)$. Расстояние $r_{AP_d} = \sqrt{(a/2)^2+(a/2)^2} = a/\sqrt{2}$. Модуль поля $E_A = k \frac{2q}{(a/\sqrt{2})^2} = \frac{4kq}{a^2}$. Вектор $\vec{E}_A$ направлен в плоскости $xy$ по диагонали.

2. Поля от зарядов $q$ в $B_1$ и $D_1$. Расстояния до точки $P_d$ одинаковы: $r_{B_1 P_d} = r_{D_1 P_d} = \sqrt{(a/2)^2+(a/2)^2+(-2a)^2} = \frac{3a}{\sqrt{2}}$. Суммарный вектор напряженности $\vec{E}_{B_1 D_1}$ от этих двух зарядов из соображений симметрии будет направлен вертикально вниз (против оси $z$). Его модуль можно рассчитать: $E_{B_1 D_1} = \frac{8\sqrt{2}kq}{27a^2}$.

3. Векторы $\vec{E}_A$ и $\vec{E}_{B_1 D_1}$ ортогональны, так как $\vec{E}_A$ лежит в плоскости $xy$, а $\vec{E}_{B_1 D_1}$ направлен вдоль оси $z$. Модуль результирующего поля найдем по теореме Пифагора:$E_{рез}^2 = E_A^2 + E_{B_1 D_1}^2 = \left(\frac{4kq}{a^2}\right)^2 + \left(\frac{8\sqrt{2}kq}{27a^2}\right)^2 = \left(\frac{kq}{a^2}\right)^2 \left(16 + \frac{128}{729}\right) = \left(\frac{kq}{a^2}\right)^2 \left(\frac{11664 + 128}{729}\right) = \left(\frac{kq}{a^2}\right)^2 \frac{11792}{729}$.$E_{рез} = \frac{kq}{a^2} \sqrt{\frac{11792}{729}} = \frac{kq}{a^2} \frac{\sqrt{16 \cdot 737}}{27} = \frac{4kq\sqrt{737}}{27a^2}$.

Ответ: $E = \frac{4kq\sqrt{737}}{27a^2}$.