Номер 626, страница 158 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

626. На двух скрещивающихся прямых отмечены по три точки: А₁, А₂, А₃ и В₁, В₂, В₃, причём A₁A₂ = k ⋅ A₁A₃, B₁B₂ = k ⋅ B₁B₃. Докажите, что прямые А₁В₁, А₂В₂, А₃В₃ параллельны некоторой плоскости.

Пусть даны две скрещивающиеся прямые $a$ и $b$. На прямой $a$ лежат точки $A_1, A_2, A_3$, а на прямой $b$ лежат точки $B_1, B_2, B_3$. По условию задачи, для этих точек выполняются векторные равенства:
$\overrightarrow{A_1A_2} = k \cdot \overrightarrow{A_1A_3}$
$\overrightarrow{B_1B_2} = k \cdot \overrightarrow{B_1B_3}$

Чтобы доказать, что прямые $A_1B_1$, $A_2B_2$ и $A_3B_3$ параллельны некоторой плоскости, необходимо и достаточно доказать, что их направляющие векторы $\overrightarrow{A_1B_1}$, $\overrightarrow{A_2B_2}$ и $\overrightarrow{A_3B_3}$ компланарны. Три вектора называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях. Это эквивалентно тому, что один из векторов можно выразить как линейную комбинацию двух других.

Выразим вектор $\overrightarrow{A_2B_2}$ через векторы $\overrightarrow{A_1B_1}$ и $\overrightarrow{A_3B_3}$. Для этого введем радиус-векторы точек, отложенные от произвольного начала отсчета $O$. Обозначим радиус-вектор точки $A_i$ как $\vec{a_i}$, а точки $B_i$ как $\vec{b_i}$.

Из первого условия $\overrightarrow{A_1A_2} = k \cdot \overrightarrow{A_1A_3}$ получаем:
$\vec{a_2} - \vec{a_1} = k(\vec{a_3} - \vec{a_1})$
$\vec{a_2} = \vec{a_1} + k\vec{a_3} - k\vec{a_1}$
$\vec{a_2} = (1-k)\vec{a_1} + k\vec{a_3}$

Аналогично, из второго условия $\overrightarrow{B_1B_2} = k \cdot \overrightarrow{B_1B_3}$ получаем:
$\vec{b_2} - \vec{b_1} = k(\vec{b_3} - \vec{b_1})$
$\vec{b_2} = \vec{b_1} + k\vec{b_3} - k\vec{b_1}$
$\vec{b_2} = (1-k)\vec{b_1} + k\vec{b_3}$

Теперь найдем выражение для вектора $\overrightarrow{A_2B_2}$:
$\overrightarrow{A_2B_2} = \vec{b_2} - \vec{a_2}$
Подставим в это равенство полученные выражения для $\vec{a_2}$ и $\vec{b_2}$:
$\overrightarrow{A_2B_2} = ((1-k)\vec{b_1} + k\vec{b_3}) - ((1-k)\vec{a_1} + k\vec{a_3})$
Сгруппируем слагаемые с общими коэффициентами:
$\overrightarrow{A_2B_2} = (1-k)\vec{b_1} - (1-k)\vec{a_1} + k\vec{b_3} - k\vec{a_3}$
$\overrightarrow{A_2B_2} = (1-k)(\vec{b_1} - \vec{a_1}) + k(\vec{b_3} - \vec{a_3})$

Заметим, что $\vec{b_1} - \vec{a_1} = \overrightarrow{A_1B_1}$ и $\vec{b_3} - \vec{a_3} = \overrightarrow{A_3B_3}$. Таким образом, мы получили итоговое соотношение:
$\overrightarrow{A_2B_2} = (1-k)\overrightarrow{A_1B_1} + k\overrightarrow{A_3B_3}$

Это равенство показывает, что вектор $\overrightarrow{A_2B_2}$ является линейной комбинацией векторов $\overrightarrow{A_1B_1}$ и $\overrightarrow{A_3B_3}$. Следовательно, три вектора $\overrightarrow{A_1B_1}$, $\overrightarrow{A_2B_2}$ и $\overrightarrow{A_3B_3}$ компланарны.

Так как исходные прямые $a$ и $b$ скрещиваются, то векторы $\overrightarrow{A_1B_1}$ и $\overrightarrow{A_3B_3}$ не коллинеарны. Эти два неколлинеарных вектора задают некоторую плоскость $\alpha$. Поскольку все три направляющих вектора $\overrightarrow{A_1B_1}$, $\overrightarrow{A_2B_2}$ и $\overrightarrow{A_3B_3}$ компланарны, то все три прямые $A_1B_1$, $A_2B_2$ и $A_3B_3$ параллельны этой плоскости $\alpha$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Векторы $\overrightarrow{A_1B_1}$, $\overrightarrow{A_2B_2}$ и $\overrightarrow{A_3B_3}$ компланарны, следовательно, прямые $A_1B_1$, $A_2B_2$, $A_3B_3$ параллельны некоторой плоскости.