Номер 619, страница 158 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

619. При каких значениях k в равенстве a = kb, где b ≠ 0, векторы a и b:

а) коллинеарны;

б) сонаправлены;

в) противоположно направлены;

г) являются противоположными?

а) коллинеарны; Векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. По определению, два ненулевых вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда один из них можно выразить через другой путем умножения на некоторое число (скаляр). Равенство $\vec{a} = k\vec{b}$ как раз и является математической записью этого условия. Это означает, что для любого действительного числа $k$ вектор $\vec{a}$ будет коллинеарен вектору $\vec{b}$. Если $k=0$, то $\vec{a} = 0 \cdot \vec{b} = \vec{0}$. Нулевой вектор по определению считается коллинеарным любому вектору.
Ответ: $k$ — любое действительное число ($k \in \mathbb{R}$).

б) сонаправлены; Сонаправленные векторы ($\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{b}$) — это коллинеарные векторы, имеющие одинаковое направление. При умножении вектора на положительный скаляр его направление не меняется. Следовательно, для того чтобы вектор $\vec{a}$ был сонаправлен с вектором $\vec{b}$ в равенстве $\vec{a} = k\vec{b}$, коэффициент $k$ должен быть положительным.
Ответ: $k > 0$.

в) противоположно направлены; Противоположно направленные векторы ($\vec{a} \uparrow\downarrow \vec{b}$) — это коллинеарные векторы, имеющие противоположные направления. При умножении вектора на отрицательный скаляр его направление меняется на противоположное. Следовательно, для того чтобы вектор $\vec{a}$ был противоположно направлен вектору $\vec{b}$ в равенстве $\vec{a} = k\vec{b}$, коэффициент $k$ должен быть отрицательным.
Ответ: $k < 0$.

г) являются противоположными? Противоположные векторы — это векторы, которые имеют равные длины (модули) и противоположные направления. Таким образом, должны выполняться два условия: 1. Направления векторов противоположны. Как мы выяснили в пункте (в), это означает, что $k < 0$. 2. Длины векторов равны: $|\vec{a}| = |\vec{b}|$. Найдем длину вектора $\vec{a}$ из исходного равенства: $|\vec{a}| = |k\vec{b}| = |k| \cdot |\vec{b}|$. Подставим это в условие равенства длин: $|k| \cdot |\vec{b}| = |\vec{b}|$. Поскольку по условию $\vec{b} \neq \vec{0}$, то и $|\vec{b}| \neq 0$. Значит, мы можем разделить обе части равенства на $|\vec{b}|$, получив $|k| = 1$. Уравнение $|k|=1$ имеет два решения: $k=1$ и $k=-1$. Выбираем то решение, которое удовлетворяет первому условию ($k < 0$). Этим решением является $k=-1$. При $k=-1$ равенство принимает вид $\vec{a} = -\vec{b}$, что полностью соответствует определению противоположных векторов.
Ответ: $k = -1$.