Номер 618, страница 157 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

618. Даны треугольники ABC, A₁B₁C₁ и две точки О и Р пространства. Известно, что OA + OP = OA₁, OB + OP = OB₁, OC + OP = OC₁. Докажите, что стороны треугольника А₁В₁С₁ соответственно равны и параллельны сторонам треугольника ABC.

Чтобы доказать, что стороны треугольника $A_1B_1C_1$ соответственно равны и параллельны сторонам треугольника $ABC$, нам необходимо показать, что векторы, образующие стороны одного треугольника, равны соответствующим векторам, образующим стороны другого треугольника. Равенство векторов гарантирует как их параллельность (коллинеарность), так и равенство их длин (модулей).

Рассмотрим пару сторон $AB$ и $A_1B_1$. Вектор стороны $A_1B_1$ можно выразить через радиус-векторы его вершин, проведенные из точки $O$: $$ \vec{A_1B_1} = \vec{OB_1} - \vec{OA_1} $$ Из условия задачи нам известно, что: $$ \vec{OA_1} = \vec{OA} + \vec{OP} $$ $$ \vec{OB_1} = \vec{OB} + \vec{OP} $$ Подставим эти выражения в формулу для вектора $\vec{A_1B_1}$: $$ \vec{A_1B_1} = (\vec{OB} + \vec{OP}) - (\vec{OA} + \vec{OP}) $$ Раскроем скобки и приведем подобные члены: $$ \vec{A_1B_1} = \vec{OB} + \vec{OP} - \vec{OA} - \vec{OP} = \vec{OB} - \vec{OA} $$ По определению, разность векторов $\vec{OB}$ и $\vec{OA}$ равна вектору $\vec{AB}$. Таким образом, мы получаем: $$ \vec{A_1B_1} = \vec{AB} $$ Из этого равенства векторов следует, что сторона $A_1B_1$ параллельна стороне $AB$ и их длины равны, то есть $|A_1B_1| = |AB|$.

Проведем аналогичные рассуждения для двух других пар сторон.

Рассмотрим пару сторон $BC$ и $B_1C_1$. Вектор стороны $\vec{B_1C_1}$ равен: $$ \vec{B_1C_1} = \vec{OC_1} - \vec{OB_1} $$ Используя данные из условия $\vec{OC_1} = \vec{OC} + \vec{OP}$ и $\vec{OB_1} = \vec{OB} + \vec{OP}$, подставим их в выражение: $$ \vec{B_1C_1} = (\vec{OC} + \vec{OP}) - (\vec{OB} + \vec{OP}) $$ $$ \vec{B_1C_1} = \vec{OC} + \vec{OP} - \vec{OB} - \vec{OP} = \vec{OC} - \vec{OB} $$ Так как $\vec{BC} = \vec{OC} - \vec{OB}$, мы получаем: $$ \vec{B_1C_1} = \vec{BC} $$ Это доказывает, что сторона $B_1C_1$ параллельна стороне $BC$ и равна ей по длине ($|B_1C_1| = |BC|$).

Наконец, рассмотрим пару сторон $CA$ и $C_1A_1$. Вектор стороны $\vec{C_1A_1}$ равен: $$ \vec{C_1A_1} = \vec{OA_1} - \vec{OC_1} $$ Подставим выражения из условия $\vec{OA_1} = \vec{OA} + \vec{OP}$ и $\vec{OC_1} = \vec{OC} + \vec{OP}$: $$ \vec{C_1A_1} = (\vec{OA} + \vec{OP}) - (\vec{OC} + \vec{OP}) $$ $$ \vec{C_1A_1} = \vec{OA} + \vec{OP} - \vec{OC} - \vec{OP} = \vec{OA} - \vec{OC} $$ Так как $\vec{CA} = \vec{OA} - \vec{OC}$, мы получаем: $$ \vec{C_1A_1} = \vec{CA} $$ Это доказывает, что сторона $C_1A_1$ параллельна стороне $CA$ и равна ей по длине ($|C_1A_1| = |CA|$).

Таким образом, мы доказали, что $\vec{A_1B_1} = \vec{AB}$, $\vec{B_1C_1} = \vec{BC}$ и $\vec{C_1A_1} = \vec{CA}$. Это означает, что стороны треугольника $A_1B_1C_1$ соответственно равны и параллельны сторонам треугольника $ABC$.

Ответ: Поскольку для соответствующих сторон треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$ выполняются векторные равенства $\vec{A_1B_1} = \vec{AB}$, $\vec{B_1C_1} = \vec{BC}$ и $\vec{C_1A_1} = \vec{CA}$, то из определения равенства векторов следует, что эти стороны соответственно параллельны и равны по длине, что и требовалось доказать.