Страница 157 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

9. Может ли длина разности двух ненулевых векторов быть равной разности длин этих векторов?

Да, может. Давайте разберемся, при каких условиях это возможно.

Пусть у нас есть два ненулевых вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Вопрос состоит в том, может ли выполняться равенство:$|\vec{a} - \vec{b}| = |\vec{a}| - |\vec{b}|$.

Длина вектора (модуль) — это неотрицательная величина, поэтому левая часть равенства $|\vec{a} - \vec{b}|$ всегда неотрицательна. Следовательно, для выполнения равенства правая часть также должна быть неотрицательной:$|\vec{a}| - |\vec{b}| \ge 0$, что означает $|\vec{a}| \ge |\vec{b}|$.

Возведем обе части исходного равенства в квадрат. Это допустимо, так как по нашему условию обе части неотрицательны.$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = (|\vec{a}| - |\vec{b}|)^2$.

Квадрат длины вектора равен скалярному квадрату этого вектора: $|\vec{v}|^2 = \vec{v} \cdot \vec{v}$. Раскроем левую часть:$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = (\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + \vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{a}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2$.

Раскроем правую часть по формуле квадрата разности:$(|\vec{a}| - |\vec{b}|)^2 = |\vec{a}|^2 - 2|\vec{a}||\vec{b}| + |\vec{b}|^2$.

Теперь приравняем полученные выражения:$|\vec{a}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 - 2|\vec{a}||\vec{b}| + |\vec{b}|^2$.

Упростим уравнение, сократив одинаковые члены с обеих сторон:$-2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = -2|\vec{a}||\vec{b}|$,что эквивалентно$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|$.

По определению скалярного произведения, $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos(\theta)$, где $\theta$ — это угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Подставим это в наше уравнение:$|\vec{a}||\vec{b}|\cos(\theta) = |\vec{a}||\vec{b}|$.

Поскольку векторы ненулевые, их длины $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ не равны нулю, поэтому мы можем разделить обе части на $|\vec{a}||\vec{b}|$:$\cos(\theta) = 1$.

Это означает, что угол $\theta$ между векторами равен $0^\circ$. Векторы с углом $0^\circ$ между ними являются сонаправленными (коллинеарными и направленными в одну сторону).

Таким образом, равенство выполняется при одновременном соблюдении двух условий: во-первых, векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ сонаправлены; во-вторых, длина вектора $\vec{a}$ (из которого вычитают) больше или равна длине вектора $\vec{b}$ (который вычитают), то есть $|\vec{a}| \ge |\vec{b}|$.

Приведем конкретный пример. Пусть вектор $\vec{a}$ имеет координаты $(5, 0)$, а вектор $\vec{b}$ — $(2, 0)$. Оба вектора ненулевые и сонаправлены (лежат на оси Ox и направлены в положительную сторону).

Найдем их длины:$|\vec{a}| = \sqrt{5^2 + 0^2} = 5$
$|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + 0^2} = 2$

Разность длин (правая часть исходного равенства):
$|\vec{a}| - |\vec{b}| = 5 - 2 = 3$.

Теперь найдем разность векторов и ее длину (левая часть исходного равенства):
$\vec{a} - \vec{b} = (5-2, 0-0) = (3, 0)$
$|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{3^2 + 0^2} = 3$.

Как мы видим, $3 = 3$, то есть равенство $|\vec{a} - \vec{b}| = |\vec{a}| - |\vec{b}|$ выполняется.

Ответ: Да, может. Это происходит в том случае, если два ненулевых вектора сонаправлены (т.е. коллинеарны и направлены в одну сторону), и вычитание производится из вектора, длина которого больше или равна длине второго вектора.

10. Может ли длина суммы двух ненулевых векторов быть равна длине разности этих векторов?

Да, длина суммы двух ненулевых векторов может быть равна длине их разности. Это происходит в том и только в том случае, если эти векторы взаимно перпендикулярны (ортогональны). Рассмотрим это утверждение с двух точек зрения: алгебраической и геометрической.

Алгебраическое доказательство

Пусть у нас есть два ненулевых вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$. По условию задачи требуется проверить, возможно ли равенство:$|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a} - \vec{b}|$Поскольку длина вектора — неотрицательная величина, мы можем возвести обе части этого равенства в квадрат, не нарушая его справедливости:$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{a} - \vec{b}|^2$Квадрат длины (модуля) вектора равен скалярному квадрату этого вектора, то есть $|\vec{v}|^2 = \vec{v} \cdot \vec{v}$. Применим это свойство к обеим частям нашего равенства:$(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = (\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b})$Раскроем скобки, используя свойства скалярного произведения (дистрибутивность и коммутативность):$\vec{a} \cdot \vec{a} + \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{a} + \vec{b} \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{a} - \vec{a} \cdot \vec{b} - \vec{b} \cdot \vec{a} + \vec{b} \cdot \vec{b}$$|\vec{a}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2$Сократим одинаковые члены $|\vec{a}|^2$ и $|\vec{b}|^2$ в обеих частях уравнения:$2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = -2(\vec{a} \cdot \vec{b})$Перенесем все в левую часть:$4(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 0$Отсюда следует, что скалярное произведение векторов равно нулю:$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда угол между ними составляет $90^\circ$, то есть когда векторы перпендикулярны.

Геометрическая интерпретация

Рассмотрим векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$, отложенные от одной точки. На этих векторах как на сторонах можно построить параллелограмм. Вектор суммы $\vec{a} + \vec{b}$ будет совпадать с одной из диагоналей этого параллелограмма (той, что выходит из общей начальной точки векторов), а вектор разности $\vec{a} - \vec{b}$ — с другой диагональю.Таким образом, условие, что длина суммы векторов равна длине их разности ($|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a} - \vec{b}|$), геометрически означает, что диагонали построенного на них параллелограмма равны.Параллелограмм, у которого диагонали равны, является прямоугольником. А у прямоугольника смежные стороны взаимно перпендикулярны. Следовательно, векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ должны быть перпендикулярны.

Пример

Возьмем два ненулевых перпендикулярных вектора на плоскости, например, $\vec{a} = \{3; 0\}$ и $\vec{b} = \{0; 4\}$.Найдем их сумму и ее длину:$\vec{a} + \vec{b} = \{3+0; 0+4\} = \{3; 4\}$$|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$Найдем их разность и ее длину:$\vec{a} - \vec{b} = \{3-0; 0-4\} = \{3; -4\}$$|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$Длины равны, что и требовалось показать.

Ответ: да, может, если данные ненулевые векторы взаимно перпендикулярны.

11. На какое число нужно умножить ненулевой вектор a, чтобы получить вектор b, удовлетворяющий следующим условиям:

Пусть искомое число равно $c$. Тогда по определению умножения вектора на число, мы ищем такое $c$, что $\vec{b} = c \cdot \vec{a}$. При этом, модуль вектора $\vec{b}$ связан с модулем вектора $\vec{a}$ соотношением $|\vec{b}| = |c| \cdot |\vec{a}|$. Направление вектора $\vec{b}$ совпадает с направлением $\vec{a}$ (сонаправлен, $\uparrow\uparrow$), если $c > 0$, и противоположно направлению $\vec{a}$ (противоположно направлен, $\uparrow\downarrow$), если $c < 0$. Если $c=0$, то $\vec{b}$ является нулевым вектором. Вектор $\vec{a}$ по условию является ненулевым, то есть $|\vec{a}| \neq 0$.

а) По условию, вектор $\vec{b}$ сонаправлен вектору $\vec{a}$ ($\vec{b} \uparrow\uparrow \vec{a}$). Это означает, что число $c$ должно быть положительным: $c > 0$. Также по условию, модули векторов равны: $|\vec{b}| = |\vec{a}|$. Подставим это в общую формулу для модулей: $|\vec{a}| = |c| \cdot |\vec{a}|$. Так как $\vec{a}$ — ненулевой вектор, $|\vec{a}| \neq 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $|\vec{a}|$. Получаем: $|c| = 1$. Учитывая, что $c > 0$, единственным решением является $c = 1$.
Ответ: $1$.

б) По условию, вектор $\vec{b}$ сонаправлен вектору $\vec{a}$ ($\vec{b} \uparrow\uparrow \vec{a}$). Это означает, что число $c$ должно быть положительным: $c > 0$. Также по условию, $|\vec{b}| = 3|\vec{a}|$. Подставим это в общую формулу для модулей: $3|\vec{a}| = |c| \cdot |\vec{a}|$. Так как $|\vec{a}| \neq 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $|\vec{a}|$. Получаем: $|c| = 3$. Учитывая, что $c > 0$, единственным решением является $c = 3$.
Ответ: $3$.

в) По условию, вектор $\vec{b}$ противоположно направлен вектору $\vec{a}$ ($\vec{b} \uparrow\downarrow \vec{a}$). Это означает, что число $c$ должно быть отрицательным: $c < 0$. Также по условию, $|\vec{b}| = k|\vec{a}|$. (Предполагается, что $k \ge 0$, так как модуль вектора — неотрицательная величина). Подставим это в общую формулу для модулей: $k|\vec{a}| = |c| \cdot |\vec{a}|$. Так как $|\vec{a}| \neq 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $|\vec{a}|$. Получаем: $|c| = k$. Учитывая, что $c < 0$, решением является $c = -k$.
Ответ: $-k$.

г) По условию, требуется получить нулевой вектор: $\vec{b} = \vec{0}$. Мы ищем такое число $c$, что $c \cdot \vec{a} = \vec{0}$. Так как вектор $\vec{a}$ по условию ненулевой ($\vec{a} \neq \vec{0}$), равенство возможно только в том случае, если скалярный множитель равен нулю. Следовательно, $c=0$.
Ответ: $0$.

12. Известно, что AB = k ⋅ CD, причём точки А, В и С не лежат на одной прямой. При каком значении k прямые АС и BD являются: а) параллельными; б) пересекающимися? Могут ли прямые АС и BD быть скрещивающимися?

Для решения задачи рассмотрим векторы, определяющие прямые AC и BD, а именно $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$. Выразим их через векторы, данные в условии, используя правило сложения векторов (правило замкнутой ломаной) для четырехугольника ACDB:

$\vec{AC} + \vec{CD} + \vec{DB} + \vec{BA} = \vec{0}$

Перепишем это равенство, выразив векторы $\vec{DB}$ и $\vec{BA}$ через $\vec{BD}$ и $\vec{AB}$ соответственно:

$\vec{AC} + \vec{CD} - \vec{BD} - \vec{AB} = \vec{0}$

Теперь подставим в это равенство данное в условии соотношение $\vec{AB} = k \cdot \vec{CD}$:

$\vec{AC} + \vec{CD} - \vec{BD} - k \cdot \vec{CD} = \vec{0}$

Сгруппируем слагаемые:

$\vec{AC} - \vec{BD} + (1 - k) \cdot \vec{CD} = \vec{0}$

Отсюда получаем ключевое соотношение для векторов $\vec{AC}$, $\vec{BD}$ и $\vec{CD}$:

$\vec{AC} - \vec{BD} = (k - 1) \cdot \vec{CD}$

Это равенство показывает, что вектор $\vec{AC}$ может быть выражен как линейная комбинация векторов $\vec{BD}$ и $\vec{CD}$ ($\vec{AC} = \vec{BD} + (k-1)\vec{CD}$). Это означает, что векторы $\vec{AC}$, $\vec{BD}$ и $\vec{CD}$ компланарны, то есть лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях. Так как эти векторы имеют общие точки (например, $\vec{AC}$ и $\vec{CD}$ исходят из/приходят в точку C), все четыре точки A, B, C, D лежат в одной плоскости.

Следовательно, прямые AC и BD, определённые этими точками, лежат в одной плоскости. Прямые, лежащие в одной плоскости, могут быть либо параллельными, либо пересекающимися. Они не могут быть скрещивающимися.

а) параллельными

Прямые AC и BD параллельны тогда и только тогда, когда их направляющие векторы $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$ коллинеарны. Это означает, что существует такое число $m \neq 0$, что $\vec{AC} = m \cdot \vec{BD}$.

Подставим это условие в наше ключевое соотношение $\vec{AC} - \vec{BD} = (k - 1) \cdot \vec{CD}$:

$m \cdot \vec{BD} - \vec{BD} = (k - 1) \cdot \vec{CD}$

$(m - 1) \cdot \vec{BD} = (k - 1) \cdot \vec{CD}$

Это векторное равенство возможно в двух случаях:

1. Векторы $\vec{BD}$ и $\vec{CD}$ коллинеарны. Это означало бы, что точки B, C, D лежат на одной прямой. Если точки B, C, D лежат на одной прямой, то векторы $\vec{CD}$ и $\vec{BC}$ коллинеарны. Из условия $\vec{AB} = k \cdot \vec{CD}$ следует, что вектор $\vec{AB}$ также коллинеарен вектору $\vec{CD}$, а значит, и вектору $\vec{BC}$. Коллинеарность векторов $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$ означает, что точки A, B и C лежат на одной прямой. Однако это противоречит условию задачи. Следовательно, этот случай невозможен.
2. Коэффициенты при неколлинеарных векторах равны нулю. Так как векторы $\vec{BD}$ и $\vec{CD}$ неколлинеарны, равенство возможно только если: $m - 1 = 0 \implies m = 1$ и $k - 1 = 0 \implies k = 1$.

Таким образом, прямые AC и BD параллельны только при $k=1$. При этом значении $k$ изначальное условие принимает вид $\vec{AB} = \vec{CD}$. Это, в свою очередь, равносильно равенству $\vec{AC} = \vec{BD}$, что и означает параллельность прямых AC и BD (и равенство их длин).

Ответ: при $k = 1$.

б) пересекающимися

Как было установлено ранее, прямые AC и BD всегда лежат в одной плоскости. Прямые в плоскости пересекаются, если они не параллельны.

Из пункта а) мы знаем, что прямые параллельны только при $k=1$. Следовательно, они будут пересекаться при всех остальных значениях $k$.

Необходимо также учесть, что по условию точки A, B, C не лежат на одной прямой. Это подразумевает, что A, B, C — различные точки, и вектор $\vec{AB} \neq \vec{0}$. Из равенства $\vec{AB} = k \cdot \vec{CD}$ следует, что $k \neq 0$ и $\vec{CD} \neq \vec{0}$ (то есть точка C не совпадает с D).

Таким образом, прямые AC и BD пересекаются при любом значении $k$, кроме $k=1$ (случай параллельности) и $k=0$ (случай вырождения вектора $\vec{AB}$).

Ответ: при $k \in (-\infty; 0) \cup (0; 1) \cup (1; +\infty)$, то есть при $k \ne 1$ и $k \ne 0$.

Могут ли прямые AC и BD быть скрещивающимися?

Как было показано в начальном анализе, из условия $\vec{AB} = k \cdot \vec{CD}$ следует компланарность векторов $\vec{AC}$, $\vec{BD}$ и $\vec{CD}$, а значит и компланарность точек A, B, C, D. То есть все четыре точки лежат в одной плоскости. Прямые AC и BD, проходящие через эти точки, также лежат в этой же плоскости. Прямые, лежащие в одной плоскости, не могут быть скрещивающимися. Они могут только пересекаться или быть параллельными.

Ответ: нет, не могут.

13. Компланарны ли векторы:

а) Векторы $\vec{a}, \vec{b}, 2\vec{a}, 3\vec{b}$.

Векторы называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях. Это означает, что если отложить все векторы от одной точки, они будут располагаться в одной плоскости.

Рассмотрим два возможных случая:

1. Векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны. Это значит, что они лежат на одной прямой или на параллельных прямых (т.е. $\vec{a} = k \cdot \vec{b}$ для некоторого числа $k$). Вектор $2\vec{a}$ коллинеарен вектору $\vec{a}$, а вектор $3\vec{b}$ коллинеарен вектору $\vec{b}$. Следовательно, все четыре вектора коллинеарны друг другу. Набор коллинеарных векторов всегда можно разместить в одной плоскости, поэтому они компланарны.

2. Векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ не коллинеарны. В этом случае они задают плоскость. Любой вектор, который является их линейной комбинацией (т.е. имеет вид $\alpha\vec{a} + \beta\vec{b}$), лежит в этой же плоскости. Проверим, являются ли векторы $2\vec{a}$ и $3\vec{b}$ линейными комбинациями векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$.
Вектор $\vec{a}$ можно представить как $1 \cdot \vec{a} + 0 \cdot \vec{b}$.
Вектор $\vec{b}$ можно представить как $0 \cdot \vec{a} + 1 \cdot \vec{b}$.
Вектор $2\vec{a}$ можно представить как $2 \cdot \vec{a} + 0 \cdot \vec{b}$. Это линейная комбинация $\vec{a}$ и $\vec{b}$.
Вектор $3\vec{b}$ можно представить как $0 \cdot \vec{a} + 3 \cdot \vec{b}$. Это также линейная комбинация $\vec{a}$ и $\vec{b}$.
Поскольку все четыре вектора ($\vec{a}$, $\vec{b}$, $2\vec{a}$ и $3\vec{b}$) являются линейными комбинациями векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, все они лежат в одной плоскости.

В обоих случаях векторы являются компланарными.

Ответ: да, векторы компланарны.

б) Векторы $\vec{a}, \vec{b}, \vec{a}+\vec{b}, \vec{a}-\vec{b}$.

Рассуждаем аналогично предыдущему пункту.

1. Если векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны (т.е. $\vec{a} = k \cdot \vec{b}$), то их линейные комбинации также будут им коллинеарны. Вектор $\vec{a}+\vec{b} = k\vec{b} + \vec{b} = (k+1)\vec{b}$ и вектор $\vec{a}-\vec{b} = k\vec{b} - \vec{b} = (k-1)\vec{b}$ коллинеарны вектору $\vec{b}$. Значит, все четыре вектора коллинеарны и, следовательно, компланарны.

2. Если векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ не коллинеарны, они задают плоскость. Проверим, лежат ли векторы $\vec{a}+\vec{b}$ и $\vec{a}-\vec{b}$ в этой плоскости. Для этого они должны быть линейными комбинациями векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$.
Вектор $\vec{a}+\vec{b}$ по определению является линейной комбинацией векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ с коэффициентами $1$ и $1$.
Вектор $\vec{a}-\vec{b}$ также является линейной комбинацией векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ с коэффициентами $1$ и $-1$.
Геометрически, если отложить векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ от одной точки, то векторы $\vec{a}+\vec{b}$ и $\vec{a}-\vec{b}$ будут диагоналями параллелограмма, построенного на этих векторах. Очевидно, что диагонали лежат в той же плоскости, что и стороны параллелограмма.

Таким образом, все четыре вектора — $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{a}+\vec{b}$ и $\vec{a}-\vec{b}$ — являются линейными комбинациями векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ и, следовательно, лежат в одной плоскости. Они компланарны.

Ответ: да, векторы компланарны.

14. Известно, что векторы a, b и c компланарны. Компланарны ли векторы:

Три вектора называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях. Это означает, что их можно привести к общему началу и расположить в одной плоскости.
Основным критерием компланарности трех векторов является равенство нулю их смешанного произведения. Если векторы $\vec{u}$, $\vec{v}$ и $\vec{w}$ компланарны, то их смешанное произведение $(\vec{u} \times \vec{v}) \cdot \vec{w} = 0$.
Другое важное свойство заключается в том, что если векторы лежат в одной плоскости, то любая их линейная комбинация (сумма или разность векторов, умножение на число) также будет вектором, лежащим в той же плоскости.
По условию задачи, векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ компланарны. Это означает, что они лежат в одной плоскости $P$ и их смешанное произведение $(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} = 0$.

а) Проверим компланарность векторов $\vec{a}$, $2\vec{b}$, $3\vec{c}$.

Способ 1: Геометрическое рассуждение.
Поскольку векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ лежат в одной плоскости $P$, то:

• Вектор $\vec{a}$ лежит в плоскости $P$.
• Вектор $2\vec{b}$ является результатом умножения вектора $\vec{b}$ на скаляр 2. Он коллинеарен вектору $\vec{b}$ и, следовательно, также лежит в плоскости $P$.
• Вектор $3\vec{c}$ является результатом умножения вектора $\vec{c}$ на скаляр 3. Он коллинеарен вектору $\vec{c}$ и, следовательно, также лежит в плоскости $P$.

Так как все три вектора $\vec{a}$, $2\vec{b}$ и $3\vec{c}$ лежат в одной и той же плоскости $P$, они компланарны.

Способ 2: Через смешанное произведение.
Вычислим смешанное произведение векторов $\vec{a}$, $2\vec{b}$ и $3\vec{c}$:
$(\vec{a} \times (2\vec{b})) \cdot (3\vec{c})$
Используя свойства скалярного и векторного произведений, вынесем константы:
$2 \cdot 3 \cdot ((\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}) = 6((\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c})$
Поскольку исходные векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ компланарны, их смешанное произведение равно нулю: $(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} = 0$.
Следовательно, смешанное произведение новых векторов равно $6 \cdot 0 = 0$. Это доказывает, что векторы $\vec{a}$, $2\vec{b}$ и $3\vec{c}$ компланарны.

Ответ: Да, компланарны.

б) Проверим компланарность векторов $\vec{a} + \vec{b}$, $\vec{a} + 2\vec{c}$, $2\vec{b} - 3\vec{c}$.

Способ 1: Геометрическое рассуждение.
Исходные векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ лежат в одной плоскости $P$. Любая линейная комбинация векторов, лежащих в плоскости, также является вектором, лежащим в этой же плоскости.

• Вектор $\vec{a} + \vec{b}$ является линейной комбинацией векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, поэтому он лежит в плоскости $P$.
• Вектор $\vec{a} + 2\vec{c}$ является линейной комбинацией векторов $\vec{a}$ и $\vec{c}$, поэтому он также лежит в плоскости $P$.
• Вектор $2\vec{b} - 3\vec{c}$ является линейной комбинацией векторов $\vec{b}$ и $\vec{c}$, поэтому он также лежит в плоскости $P$.

Поскольку все три новых вектора лежат в одной и той же плоскости $P$, они компланарны.

Способ 2: Через смешанное произведение.
Вычислим смешанное произведение новых векторов:
$((\vec{a} + \vec{b}) \times (\vec{a} + 2\vec{c})) \cdot (2\vec{b} - 3\vec{c})$
Сначала раскроем векторное произведение, используя его дистрибутивность и свойство $\vec{u} \times \vec{u} = \vec{0}$:
$(\vec{a} + \vec{b}) \times (\vec{a} + 2\vec{c}) = \vec{a} \times \vec{a} + \vec{a} \times 2\vec{c} + \vec{b} \times \vec{a} + \vec{b} \times 2\vec{c} = \vec{0} + 2(\vec{a} \times \vec{c}) - (\vec{a} \times \vec{b}) + 2(\vec{b} \times \vec{c})$
Теперь выполним скалярное произведение полученного вектора на $(2\vec{b} - 3\vec{c})$:
$(2(\vec{a} \times \vec{c}) - (\vec{a} \times \vec{b}) + 2(\vec{b} \times \vec{c})) \cdot (2\vec{b} - 3\vec{c})$
Раскроем скобки и воспользуемся тем, что смешанное произведение, содержащее два одинаковых вектора, равно нулю (например, $(\vec{a} \times \vec{c}) \cdot \vec{c} = 0$):
$2(\vec{a} \times \vec{c}) \cdot (2\vec{b}) - 2(\vec{a} \times \vec{c}) \cdot (3\vec{c}) - (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot (2\vec{b}) + (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot (3\vec{c}) + 2(\vec{b} \times \vec{c}) \cdot (2\vec{b}) - 2(\vec{b} \times \vec{c}) \cdot (3\vec{c})$
$= 4((\vec{a} \times \vec{c}) \cdot \vec{b}) - 6(0) - 2(0) + 3((\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}) + 4(0) - 6(0)$
$= 4((\vec{a} \times \vec{c}) \cdot \vec{b}) + 3((\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c})$
Используем свойство смешанного произведения: $(\vec{a} \times \vec{c}) \cdot \vec{b} = - (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}$.
$= -4((\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}) + 3((\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}) = - ((\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c})$
По условию, $(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} = 0$.
Значит, смешанное произведение новых векторов равно $-0 = 0$. Следовательно, они компланарны.

Ответ: Да, компланарны.

15. Точки А, В и С лежат на окружности, а точка О не лежит в плоскости этой окружности. Могут ли векторы OA, OB и OC быть компланарными?

По определению, три вектора называются компланарными, если, будучи отложенными от одной точки, они лежат в одной плоскости. Векторы $\vec{OA}$, $\vec{OB}$ и $\vec{OC}$ уже отложены от одной точки O. Следовательно, они будут компланарны тогда и только тогда, когда точки O, A, B и C лежат в одной плоскости.

Обозначим плоскость, в которой лежит окружность, через $\alpha$. По условию задачи точки A, B и C лежат на этой окружности, а значит, все три точки лежат в плоскости $\alpha$.

Также по условию точка O не лежит в плоскости $\alpha$.

Теперь предположим, что векторы $\vec{OA}$, $\vec{OB}$ и $\vec{OC}$ компланарны. Как мы установили, это означает, что существует некоторая плоскость $\beta$, которой принадлежат все четыре точки: O, A, B и C.

Сравним плоскости $\alpha$ и $\beta$:

1. Точки A, B, C лежат и в плоскости $\alpha$, и в плоскости $\beta$.

2. Точка O лежит в плоскости $\beta$, но не лежит в плоскости $\alpha$.

Из пункта 2 следует, что плоскости $\alpha$ и $\beta$ не могут совпадать, то есть $\alpha \neq \beta$.

Поскольку $\alpha$ и $\beta$ — это две различные плоскости, их пересечение представляет собой прямую линию. Так как точки A, B и C принадлежат обеим плоскостям, они должны лежать на этой прямой пересечения. Это означает, что точки A, B и C коллинеарны (лежат на одной прямой).

Однако по условию точки A, B и C лежат на окружности. Три различные точки, лежащие на окружности, не могут быть коллинеарными, так как любая прямая может пересекать окружность не более чем в двух точках. Мы пришли к противоречию.

Следовательно, наше первоначальное предположение о том, что векторы $\vec{OA}$, $\vec{OB}$ и $\vec{OC}$ компланарны, было неверным.

Ответ: Нет, не могут.

613. Дан параллелепипед MNPQM₁N₁P₁Q₁. Докажите, что:

а) Докажем равенство $\vec{MQ} + \vec{M_1Q_1} = \vec{N_1P_1} + \vec{NP}$.

В параллелепипеде $MNPQM_1N_1P_1Q_1$ основания $MNPQ$ и $M_1N_1P_1Q_1$ являются параллелограммами. Боковые грани также являются параллелограммами.

Из свойств параллелограмма $MNPQ$ следует, что векторы, лежащие на противоположных сторонах, равны: $\vec{MQ} = \vec{NP}$.

Аналогично, для параллелограмма верхнего основания $M_1N_1P_1Q_1$ имеем: $\vec{M_1Q_1} = \vec{N_1P_1}$.

Рассмотрим боковую грань $MQQ_1M_1$. Она также является параллелограммом, поэтому $\vec{MQ} = \vec{M_1Q_1}$.

Из полученных равенств следует, что все четыре рассматриваемых вектора равны между собой: $\vec{MQ} = \vec{NP} = \vec{M_1Q_1} = \vec{N_1P_1}$.

Теперь преобразуем обе части доказываемого равенства, используя установленные соотношения.

Левая часть: $\vec{MQ} + \vec{M_1Q_1} = \vec{MQ} + \vec{MQ} = 2\vec{MQ}$.

Правая часть: $\vec{N_1P_1} + \vec{NP} = \vec{MQ} + \vec{MQ} = 2\vec{MQ}$.

Так как левая и правая части равенства равны одному и тому же вектору $2\vec{MQ}$, то исходное равенство доказано.

Ответ: Равенство $\vec{MQ} + \vec{M_1Q_1} = \vec{N_1P_1} + \vec{NP}$ доказано.

б) Докажем равенство $\vec{PQ} + \vec{NP_1} = \vec{NQ_1}$.

Преобразуем равенство, выразив вектор $\vec{PQ}$ через остальные: $\vec{PQ} = \vec{NQ_1} - \vec{NP_1}$.

Разность векторов $\vec{NQ_1} - \vec{NP_1}$ равна сумме векторов $\vec{NQ_1} + \vec{P_1N}$.

По правилу треугольника (правило Шаля) для сложения векторов: $\vec{P_1N} + \vec{NQ_1} = \vec{P_1Q_1}$.

Следовательно, исходное равенство эквивалентно равенству $\vec{PQ} = \vec{P_1Q_1}$.

Докажем справедливость этого равенства. В параллелограмме нижнего основания $MNPQ$ имеем $\vec{PQ} = \vec{NM}$.

В параллелограмме верхнего основания $M_1N_1P_1Q_1$ имеем $\vec{P_1Q_1} = \vec{N_1M_1}$.

В боковой грани $MNN_1M_1$, которая также является параллелограммом, стороны $NM$ и $N_1M_1$ параллельны и равны, поэтому $\vec{NM} = \vec{N_1M_1}$.

Из этих векторных равенств следует, что $\vec{PQ} = \vec{NM} = \vec{N_1M_1} = \vec{P_1Q_1}$.

Таким образом, равенство $\vec{PQ} = \vec{P_1Q_1}$ доказано, что подтверждает и справедливость исходного равенства.

Ответ: Равенство $\vec{PQ} + \vec{NP_1} = \vec{NQ_1}$ доказано.

в) Докажем равенство $\vec{Q_1P_1} + \vec{QQ_1} = \vec{QP_1}$.

Используя свойство коммутативности сложения векторов, запишем левую часть равенства в виде: $\vec{QQ_1} + \vec{Q_1P_1}$.

Рассмотрим вершины параллелепипеда $Q$, $Q_1$ и $P_1$. Они образуют треугольник $QQ_1P_1$.

По правилу треугольника сложения векторов, сумма векторов $\vec{QQ_1}$ и $\vec{Q_1P_1}$, где начало второго вектора совпадает с концом первого, равна вектору, соединяющему начало первого вектора ($Q$) и конец второго ($P_1$).

Таким образом, $\vec{QQ_1} + \vec{Q_1P_1} = \vec{QP_1}$.

Мы получили тождество, которое требовалось доказать.

Ответ: Равенство $\vec{Q_1P_1} + \vec{QQ_1} = \vec{QP_1}$ доказано.

614. На рисунке 173 изображён правильный октаэдр. Докажите, что:

а) Для доказательства равенства $\vec{AB} + \vec{FB} = \vec{DB}$ воспользуемся свойствами векторов в правильном октаэдре. Правильный октаэдр — это центрально-симметричная фигура. Его центр (точка пересечения диагоналей) является центром симметрии. Это означает, что для любой вершины существует противоположная, симметричная ей относительно центра. В данном октаэдре вершина A противоположна вершине F, а вершина B — вершине D. Из центральной симметрии следует, что вектор, соединяющий две вершины, равен вектору, соединяющему противоположные им вершины в том же порядке. Так, для вектора $\vec{FB}$ (от F к B) соответствующим будет вектор от противоположной вершины D к противоположной вершине A, то есть $\vec{DA}$. Таким образом, имеем векторное равенство: $\vec{FB} = \vec{DA}$. Теперь подставим это в левую часть исходного выражения: $\vec{AB} + \vec{FB} = \vec{AB} + \vec{DA}$ Используя коммутативное свойство сложения векторов (возможность менять слагаемые местами), получим: $\vec{AB} + \vec{DA} = \vec{DA} + \vec{AB}$ Согласно правилу треугольника (или правилу Шаля) для сложения векторов, сумма векторов $\vec{DA}$ и $\vec{AB}$ равна вектору, соединяющему начало первого вектора (D) с концом второго (B): $\vec{DA} + \vec{AB} = \vec{DB}$ Мы получили правую часть исходного равенства. Таким образом, тождество $\vec{AB} + \vec{FB} = \vec{DB}$ доказано. Ответ:

б) Для доказательства равенства $\vec{AC} - \vec{CF} = \vec{EC}$ преобразуем его. Замена вычитания вектора на сложение противоположного вектора дает: $\vec{AC} + (-\vec{CF}) = \vec{EC}$. Так как $-\vec{CF} = \vec{FC}$, равенство принимает вид $\vec{AC} + \vec{FC} = \vec{EC}$. Можно пойти другим путем и перенести вектор $\vec{CF}$ в правую часть уравнения, изменив его знак: $\vec{AC} = \vec{EC} + \vec{CF}$ Теперь применим правило треугольника к правой части. Сумма векторов $\vec{EC}$ и $\vec{CF}$ — это вектор, идущий из начала первого вектора (E) в конец второго (F): $\vec{EC} + \vec{CF} = \vec{EF}$ Таким образом, исходное равенство эквивалентно равенству: $\vec{AC} = \vec{EF}$ Докажем справедливость этого равенства для правильного октаэдра. Как и в пункте а), воспользуемся центральной симметрией. Вершина A противоположна вершине F, а вершина C — вершине E. Следовательно, вектор, направленный из A в C, равен вектору, направленному из противоположной C вершине E в противоположную A вершину F. То есть, $\vec{AC} = \vec{EF}$. Поскольку мы свели исходное тождество к верному равенству, тождество доказано. Ответ:

в) Для доказательства равенства $\vec{AB} + \vec{AC} + \vec{AD} + \vec{AE} = 2\vec{AF}$ сгруппируем векторы в левой части следующим образом: $(\vec{AB} + \vec{AD}) + (\vec{AC} + \vec{AE})$ Рассмотрим основание BCDE. В правильном октаэдре это основание является квадратом. Диагонали квадрата (BD и CE) пересекаются в своей середине. Эта точка пересечения также является центром всего октаэдра. Обозначим эту точку O. Таким образом, O — середина отрезка BD и середина отрезка CE. Рассмотрим сумму векторов $\vec{AB} + \vec{AD}$. В треугольнике ABD отрезок AO является медианой, так как O — середина стороны BD. По правилу сложения векторов (которое для данного случая известно как правило медианы), сумма векторов, выходящих из одной вершины треугольника к двум другим, равна удвоенному вектору медианы, проведенной из этой же вершины: $\vec{AB} + \vec{AD} = 2\vec{AO}$ Аналогично, в треугольнике ACE отрезок AO является медианой, так как O — середина стороны CE. Поэтому: $\vec{AC} + \vec{AE} = 2\vec{AO}$ Теперь подставим эти результаты в левую часть исходного равенства: $(\vec{AB} + \vec{AD}) + (\vec{AC} + \vec{AE}) = 2\vec{AO} + 2\vec{AO} = 4\vec{AO}$ Теперь рассмотрим правую часть равенства: $2\vec{AF}$. Точка O, центр октаэдра, является серединой главной диагонали AF. Следовательно, вектор $\vec{AF}$ можно выразить через вектор $\vec{AO}$ следующим образом: $\vec{AF} = 2\vec{AO}$ Подставим это выражение в правую часть: $2\vec{AF} = 2(2\vec{AO}) = 4\vec{AO}$ Мы получили, что и левая, и правая части исходного равенства равны одному и тому же вектору $4\vec{AO}$. Следовательно, равенство $\vec{AB} + \vec{AC} + \vec{AD} + \vec{AE} = 2\vec{AF}$ доказано. Ответ:

615. Докажите, что разность векторов a и b выражается формулой a − b = a + (−b).

Для доказательства данного утверждения воспользуемся определением разности векторов.

По определению, разностью векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ называется такой вектор $\vec{c}$, который в сумме с вектором $\vec{b}$ даёт вектор $\vec{a}$. Это можно записать в виде равенства:

$\vec{c} = \vec{a} - \vec{b} \quad \Leftrightarrow \quad \vec{c} + \vec{b} = \vec{a}$

Наша цель — показать, что вектор $\vec{c}$, равный разности $\vec{a} - \vec{b}$, также равен сумме вектора $\vec{a}$ и вектора $(-\vec{b})$. Вектор $(-\vec{b})$ является противоположным вектору $\vec{b}$.

Рассмотрим правую часть доказываемой формулы: $\vec{a} + (-\vec{b})$. Обозначим этот вектор как $\vec{d}$:

$\vec{d} = \vec{a} + (-\vec{b})$

Чтобы доказать, что $\vec{d} = \vec{c}$, то есть что $\vec{a} + (-\vec{b}) = \vec{a} - \vec{b}$, нам нужно показать, что вектор $\vec{d}$ удовлетворяет определению разности. Иными словами, нужно проверить, что $\vec{d} + \vec{b} = \vec{a}$.

Прибавим к вектору $\vec{d}$ вектор $\vec{b}$:

$\vec{d} + \vec{b} = (\vec{a} + (-\vec{b})) + \vec{b}$

Используя сочетательное (ассоциативное) свойство сложения векторов, мы можем перегруппировать слагаемые:

$\vec{d} + \vec{b} = \vec{a} + ((-\vec{b}) + \vec{b})$

Сумма противоположных векторов $(-\vec{b})$ и $\vec{b}$ по определению равна нулевому вектору $\vec{0}$:

$(-\vec{b}) + \vec{b} = \vec{0}$

Подставим это в наше выражение:

$\vec{d} + \vec{b} = \vec{a} + \vec{0}$

Сложение любого вектора с нулевым вектором даёт исходный вектор:

$\vec{d} + \vec{b} = \vec{a}$

Мы получили, что вектор $\vec{d} = \vec{a} + (-\vec{b})$ в сумме с вектором $\vec{b}$ дает вектор $\vec{a}$. Это в точности соответствует определению разности векторов $\vec{a} - \vec{b}$. Следовательно, вектор $\vec{d}$ и есть разность векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

$\vec{a} + (-\vec{b}) = \vec{a} - \vec{b}$

Таким образом, формула доказана.

Ответ: Равенство $\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b})$ доказано на основе определения разности векторов и свойств сложения векторов.

616. Дан тетраэдр ABCD. Найдите сумму векторов:

а)

Чтобы найти сумму векторов $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD} + \overrightarrow{DC}$, воспользуемся правилом многоугольника (или правилом треугольника) для сложения векторов. Это правило заключается в последовательном сложении векторов, где начало каждого следующего вектора совпадает с концом предыдущего.

1. Сначала сложим первые два вектора: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD}$. По правилу треугольника, их сумма — это вектор, который начинается в начальной точке первого вектора (A) и заканчивается в конечной точке второго вектора (D).

$ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AD} $

2. Теперь к полученному вектору $\overrightarrow{AD}$ прибавим оставшийся вектор $\overrightarrow{DC}$:

$ (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD}) + \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DC} $

3. Снова применяем правило треугольника. Суммой векторов $\overrightarrow{AD}$ и $\overrightarrow{DC}$ будет вектор, идущий из точки A в точку C.

$ \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AC} $

Таким образом, искомая сумма векторов равна $\overrightarrow{AC}$.

Ответ: $ \overrightarrow{AC} $.

б)

Для нахождения суммы $\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{DC}$ воспользуемся переместительным свойством сложения векторов ($\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$), чтобы сгруппировать их удобным для сложения образом.

1. Переставим слагаемые так, чтобы конец одного вектора совпадал с началом другого:

$ \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{CB} $

2. Теперь сложим первые два вектора в новой последовательности, используя правило треугольника:

$ \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AC} $

3. Подставим полученный результат в выражение и сложим с оставшимся вектором:

$ (\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DC}) + \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB} $

4. И снова применяем правило треугольника:

$ \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{AB} $

Следовательно, сумма векторов равна $\overrightarrow{AB}$.

Ответ: $ \overrightarrow{AB} $.

в)

Найдем сумму векторов $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{DA}$. Как и в предыдущем пункте, перегруппируем векторы, чтобы можно было последовательно применить правило треугольника (правило многоугольника).

1. Расположим векторы в следующем порядке:

$ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA} $

2. Последовательно сложим векторы:

$ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} $

3. Теперь выражение выглядит так:

$ \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA} $

4. Сложим результат с третьим вектором:

$ \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD} $

5. И, наконец, прибавим последний вектор:

$ \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DA} $

Сумма двух противоположно направленных векторов ($\overrightarrow{AD}$ и $\overrightarrow{DA} = -\overrightarrow{AD}$) равна нулевому вектору. Геометрически это означает, что мы вышли из точки A и вернулись в ту же точку A.

$ \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{AA} = \overrightarrow{0} $

Таким образом, сумма векторов, образующих замкнутый контур, всегда равна нулевому вектору.

Ответ: $ \overrightarrow{0} $.

617. Дан параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁. Найдите сумму векторов:

а) Найдём сумму векторов $ \vec{AB} + \vec{B_1C_1} + \vec{DD_1} + \vec{CD} $.

Для упрощения выражения воспользуемся свойствами векторов в параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Векторы, соответствующие параллельным и одинаково направленным рёбрам, равны. Векторы, соответствующие противоположным сторонам грани-параллелограмма, также связаны между собой.

1. Векторы $ \vec{AB} $ и $ \vec{DC} $ являются противоположными сторонами параллелограмма $ABCD$, поэтому $ \vec{AB} = \vec{DC} $. Отсюда следует, что $ \vec{CD} = -\vec{DC} = -\vec{AB} $ или $ \vec{CD} = \vec{BA} $.

2. Векторы $ \vec{B_1C_1} $ и $ \vec{AD} $ равны, так как $ \vec{B_1C_1} = \vec{BC} $ и $ \vec{BC} = \vec{AD} $.

3. Векторы $ \vec{DD_1} $ и $ \vec{AA_1} $ равны, так как они соответствуют параллельным боковым рёбрам.

Подставим эти соотношения в исходную сумму:

$ \vec{AB} + \vec{B_1C_1} + \vec{DD_1} + \vec{CD} = \vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA_1} + \vec{BA} $

Сгруппируем слагаемые:

$ (\vec{AB} + \vec{BA}) + (\vec{AD} + \vec{AA_1}) $

Сумма противоположных векторов $ \vec{AB} + \vec{BA} $ равна нулевому вектору $ \vec{0} $.

Выражение упрощается до $ \vec{AD} + \vec{AA_1} $.

По правилу параллелограмма для сложения векторов, приложенных к одной точке, сумма векторов $ \vec{AD} $ и $ \vec{AA_1} $ (стороны грани $ADD_1A_1$) равна вектору диагонали этой грани, исходящей из той же точки: $ \vec{AD} + \vec{AA_1} = \vec{AD_1} $.

Ответ: $ \vec{AD_1} $

б) Найдём сумму векторов $ \vec{B_1C_1} + \vec{AB} + \vec{DD_1} + \vec{CB_1} + \vec{BC} + \vec{A_1A} $.

Сначала найдём пары векторов, которые в сумме дают ноль. В параллелепипеде боковые рёбра равны и параллельны, поэтому $ \vec{DD_1} = \vec{AA_1} $. Вектор $ \vec{A_1A} $ является противоположным вектору $ \vec{AA_1} $, то есть $ \vec{A_1A} = -\vec{AA_1} $.

Таким образом, их сумма:

$ \vec{DD_1} + \vec{A_1A} = \vec{AA_1} + (-\vec{AA_1}) = \vec{0} $.

После этого исходное выражение упрощается до:

$ \vec{B_1C_1} + \vec{AB} + \vec{CB_1} + \vec{BC} $

Переставим слагаемые, чтобы воспользоваться правилом многоугольника (или правилом треугольника/цепным правилом) для последовательного сложения векторов:

$ \vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CB_1} + \vec{B_1C_1} $

Сложим векторы попарно:

$ (\vec{AB} + \vec{BC}) + (\vec{CB_1} + \vec{B_1C_1}) $

По правилу треугольника:

$ \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC} $

$ \vec{CB_1} + \vec{B_1C_1} = \vec{CC_1} $

Теперь сумма имеет вид: $ \vec{AC} + \vec{CC_1} $.

Ещё раз применив правило треугольника, получаем:

$ \vec{AC} + \vec{CC_1} = \vec{AC_1} $

Это вектор главной диагонали параллелепипеда.

Ответ: $ \vec{AC_1} $

в) Найдём сумму векторов $ \vec{BA} + \vec{AC} + \vec{CB} + \vec{DC} + \vec{DA} $.

Заметим, что все точки A, B, C, D лежат в одной плоскости и образуют основание параллелепипеда, которое является параллелограммом.

Применим правило треугольника для сложения первых двух векторов:

$ \vec{BA} + \vec{AC} = \vec{BC} $

Подставим этот результат в исходное выражение:

$ \vec{BC} + \vec{CB} + \vec{DC} + \vec{DA} $

Векторы $ \vec{BC} $ и $ \vec{CB} $ противоположны, их сумма равна нулевому вектору:

$ \vec{BC} + \vec{CB} = \vec{0} $

Таким образом, выражение сводится к сумме $ \vec{DC} + \vec{DA} $.

Для нахождения этой суммы воспользуемся правилом параллелограмма. В параллелограмме $ABCD$ сумма векторов, соответствующих сторонам, исходящим из одной вершины, равна вектору диагонали, исходящей из той же вершины. В нашем случае векторы $ \vec{DA} $ и $ \vec{DC} $ исходят из вершины D. Их суммой будет вектор диагонали $ \vec{DB} $.

Математически это можно доказать так: $ \vec{DB} = \vec{DA} + \vec{AB} $. Поскольку $ABCD$ — параллелограмм, $ \vec{AB} = \vec{DC} $. Заменив, получаем $ \vec{DB} = \vec{DA} + \vec{DC} $.

Ответ: $ \vec{DB} $

618. Даны треугольники ABC, A₁B₁C₁ и две точки О и Р пространства. Известно, что OA + OP = OA₁, OB + OP = OB₁, OC + OP = OC₁. Докажите, что стороны треугольника А₁В₁С₁ соответственно равны и параллельны сторонам треугольника ABC.

Чтобы доказать, что стороны треугольника $A_1B_1C_1$ соответственно равны и параллельны сторонам треугольника $ABC$, нам необходимо показать, что векторы, образующие стороны одного треугольника, равны соответствующим векторам, образующим стороны другого треугольника. Равенство векторов гарантирует как их параллельность (коллинеарность), так и равенство их длин (модулей).

Рассмотрим пару сторон $AB$ и $A_1B_1$. Вектор стороны $A_1B_1$ можно выразить через радиус-векторы его вершин, проведенные из точки $O$: $$ \vec{A_1B_1} = \vec{OB_1} - \vec{OA_1} $$ Из условия задачи нам известно, что: $$ \vec{OA_1} = \vec{OA} + \vec{OP} $$ $$ \vec{OB_1} = \vec{OB} + \vec{OP} $$ Подставим эти выражения в формулу для вектора $\vec{A_1B_1}$: $$ \vec{A_1B_1} = (\vec{OB} + \vec{OP}) - (\vec{OA} + \vec{OP}) $$ Раскроем скобки и приведем подобные члены: $$ \vec{A_1B_1} = \vec{OB} + \vec{OP} - \vec{OA} - \vec{OP} = \vec{OB} - \vec{OA} $$ По определению, разность векторов $\vec{OB}$ и $\vec{OA}$ равна вектору $\vec{AB}$. Таким образом, мы получаем: $$ \vec{A_1B_1} = \vec{AB} $$ Из этого равенства векторов следует, что сторона $A_1B_1$ параллельна стороне $AB$ и их длины равны, то есть $|A_1B_1| = |AB|$.

Проведем аналогичные рассуждения для двух других пар сторон.

Рассмотрим пару сторон $BC$ и $B_1C_1$. Вектор стороны $\vec{B_1C_1}$ равен: $$ \vec{B_1C_1} = \vec{OC_1} - \vec{OB_1} $$ Используя данные из условия $\vec{OC_1} = \vec{OC} + \vec{OP}$ и $\vec{OB_1} = \vec{OB} + \vec{OP}$, подставим их в выражение: $$ \vec{B_1C_1} = (\vec{OC} + \vec{OP}) - (\vec{OB} + \vec{OP}) $$ $$ \vec{B_1C_1} = \vec{OC} + \vec{OP} - \vec{OB} - \vec{OP} = \vec{OC} - \vec{OB} $$ Так как $\vec{BC} = \vec{OC} - \vec{OB}$, мы получаем: $$ \vec{B_1C_1} = \vec{BC} $$ Это доказывает, что сторона $B_1C_1$ параллельна стороне $BC$ и равна ей по длине ($|B_1C_1| = |BC|$).

Наконец, рассмотрим пару сторон $CA$ и $C_1A_1$. Вектор стороны $\vec{C_1A_1}$ равен: $$ \vec{C_1A_1} = \vec{OA_1} - \vec{OC_1} $$ Подставим выражения из условия $\vec{OA_1} = \vec{OA} + \vec{OP}$ и $\vec{OC_1} = \vec{OC} + \vec{OP}$: $$ \vec{C_1A_1} = (\vec{OA} + \vec{OP}) - (\vec{OC} + \vec{OP}) $$ $$ \vec{C_1A_1} = \vec{OA} + \vec{OP} - \vec{OC} - \vec{OP} = \vec{OA} - \vec{OC} $$ Так как $\vec{CA} = \vec{OA} - \vec{OC}$, мы получаем: $$ \vec{C_1A_1} = \vec{CA} $$ Это доказывает, что сторона $C_1A_1$ параллельна стороне $CA$ и равна ей по длине ($|C_1A_1| = |CA|$).

Таким образом, мы доказали, что $\vec{A_1B_1} = \vec{AB}$, $\vec{B_1C_1} = \vec{BC}$ и $\vec{C_1A_1} = \vec{CA}$. Это означает, что стороны треугольника $A_1B_1C_1$ соответственно равны и параллельны сторонам треугольника $ABC$.

Ответ: Поскольку для соответствующих сторон треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$ выполняются векторные равенства $\vec{A_1B_1} = \vec{AB}$, $\vec{B_1C_1} = \vec{BC}$ и $\vec{C_1A_1} = \vec{CA}$, то из определения равенства векторов следует, что эти стороны соответственно параллельны и равны по длине, что и требовалось доказать.