Номер 9, страница 157 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

9. Может ли длина разности двух ненулевых векторов быть равной разности длин этих векторов?

Да, может. Давайте разберемся, при каких условиях это возможно.

Пусть у нас есть два ненулевых вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Вопрос состоит в том, может ли выполняться равенство:$|\vec{a} - \vec{b}| = |\vec{a}| - |\vec{b}|$.

Длина вектора (модуль) — это неотрицательная величина, поэтому левая часть равенства $|\vec{a} - \vec{b}|$ всегда неотрицательна. Следовательно, для выполнения равенства правая часть также должна быть неотрицательной:$|\vec{a}| - |\vec{b}| \ge 0$, что означает $|\vec{a}| \ge |\vec{b}|$.

Возведем обе части исходного равенства в квадрат. Это допустимо, так как по нашему условию обе части неотрицательны.$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = (|\vec{a}| - |\vec{b}|)^2$.

Квадрат длины вектора равен скалярному квадрату этого вектора: $|\vec{v}|^2 = \vec{v} \cdot \vec{v}$. Раскроем левую часть:$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = (\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + \vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{a}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2$.

Раскроем правую часть по формуле квадрата разности:$(|\vec{a}| - |\vec{b}|)^2 = |\vec{a}|^2 - 2|\vec{a}||\vec{b}| + |\vec{b}|^2$.

Теперь приравняем полученные выражения:$|\vec{a}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 - 2|\vec{a}||\vec{b}| + |\vec{b}|^2$.

Упростим уравнение, сократив одинаковые члены с обеих сторон:$-2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = -2|\vec{a}||\vec{b}|$,что эквивалентно$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|$.

По определению скалярного произведения, $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos(\theta)$, где $\theta$ — это угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Подставим это в наше уравнение:$|\vec{a}||\vec{b}|\cos(\theta) = |\vec{a}||\vec{b}|$.

Поскольку векторы ненулевые, их длины $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ не равны нулю, поэтому мы можем разделить обе части на $|\vec{a}||\vec{b}|$:$\cos(\theta) = 1$.

Это означает, что угол $\theta$ между векторами равен $0^\circ$. Векторы с углом $0^\circ$ между ними являются сонаправленными (коллинеарными и направленными в одну сторону).

Таким образом, равенство выполняется при одновременном соблюдении двух условий: во-первых, векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ сонаправлены; во-вторых, длина вектора $\vec{a}$ (из которого вычитают) больше или равна длине вектора $\vec{b}$ (который вычитают), то есть $|\vec{a}| \ge |\vec{b}|$.

Приведем конкретный пример. Пусть вектор $\vec{a}$ имеет координаты $(5, 0)$, а вектор $\vec{b}$ — $(2, 0)$. Оба вектора ненулевые и сонаправлены (лежат на оси Ox и направлены в положительную сторону).

Найдем их длины:$|\vec{a}| = \sqrt{5^2 + 0^2} = 5$
$|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + 0^2} = 2$

Разность длин (правая часть исходного равенства):
$|\vec{a}| - |\vec{b}| = 5 - 2 = 3$.

Теперь найдем разность векторов и ее длину (левая часть исходного равенства):
$\vec{a} - \vec{b} = (5-2, 0-0) = (3, 0)$
$|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{3^2 + 0^2} = 3$.

Как мы видим, $3 = 3$, то есть равенство $|\vec{a} - \vec{b}| = |\vec{a}| - |\vec{b}|$ выполняется.

Ответ: Да, может. Это происходит в том случае, если два ненулевых вектора сонаправлены (т.е. коллинеарны и направлены в одну сторону), и вычитание производится из вектора, длина которого больше или равна длине второго вектора.