Номер 2, страница 156 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы к главе 6. Глава 6. Векторы в пространстве - номер 2, страница 156.

2. Точки А и С симметричны относительно точки О и AD = BC. Симметричны ли точки В и D относительно точки О?

Для решения этой задачи воспользуемся векторным методом. Пусть точка $O$ является началом координат. Тогда радиус-вектор любой точки $M$ будет равен вектору $\vec{OM}$.

Условие, что точки $A$ и $C$ симметричны относительно точки $O$, означает, что точка $O$ является серединой отрезка $AC$. В векторной форме это можно записать как равенство, где сумма радиус-векторов точек $A$ и $C$ равна нулевому вектору:

$\vec{OA} + \vec{OC} = \vec{0}$

Из этого следует, что $\vec{OC} = -\vec{OA}$.

Второе условие задачи — равенство векторов $\vec{AD}$ и $\vec{BC}$. Выразим эти векторы через радиус-векторы их начальных и конечных точек (правило разности векторов):

$\vec{AD} = \vec{OD} - \vec{OA}$

$\vec{BC} = \vec{OC} - \vec{OB}$

Поскольку по условию $\vec{AD} = \vec{BC}$, мы можем приравнять правые части этих выражений:

$\vec{OD} - \vec{OA} = \vec{OC} - \vec{OB}$

Теперь перегруппируем члены этого равенства так, чтобы векторы, относящиеся к точкам $B$ и $D$, оказались в одной части, а к точкам $A$ и $C$ — в другой:

$\vec{OD} + \vec{OB} = \vec{OC} + \vec{OA}$

Мы уже установили из первого условия, что сумма векторов $\vec{OA}$ и $\vec{OC}$ равна нулевому вектору: $\vec{OA} + \vec{OC} = \vec{0}$. Подставим это в полученное равенство:

$\vec{OD} + \vec{OB} = \vec{0}$

Это равенство является векторным определением того, что точки $B$ и $D$ симметричны относительно начала координат, то есть точки $O$. Другими словами, точка $O$ является серединой отрезка $BD$.

Таким образом, мы доказали, что точки $B$ и $D$ симметричны относительно точки $O$.

Ответ: Да, точки $B$ и $D$ симметричны относительно точки $O$.