Номер 610, страница 156 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

610. Точки А₁, В₁, C₁ и М₁ — основания перпендикуляров, проведённых к плоскости α из вершин треугольника ABC и из точки М пересечения медиан этого треугольника (рис. 172). Докажите, что ММ₁ = $\frac{1}{3}$(AA₁ + BB₁ + CC₁). Останется ли верным равенство, если какие-то стороны треугольника ABC пересекаются с плоскостью α?

Докажите, что $MM_1 = \frac{1}{3}(AA_1 + BB_1 + CC_1)$.

По условию, отрезки $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ и $MM_1$ перпендикулярны плоскости $\alpha$. Следовательно, все эти отрезки параллельны друг другу.

1. Рассмотрим медиану $BK$ треугольника $ABC$, где $K$ — середина стороны $AC$. Точка $M$ — точка пересечения медиан, поэтому она лежит на медиане $BK$ и делит её в отношении $BM : MK = 2:1$.

2. Проведём перпендикуляр $KK_1$ к плоскости $\alpha$. Так как $AA_1 \parallel CC_1$, то точки $A, C, C_1, A_1$ лежат в одной плоскости, образуя трапецию $ACC_1A_1$ (или прямоугольник, если $AA_1 = CC_1$). Так как $K$ — середина $AC$, то по теореме Фалеса её проекция $K_1$ будет серединой отрезка $A_1C_1$. Отрезок $KK_1$ является средней линией трапеции $ACC_1A_1$. Длина средней линии трапеции равна полусумме её оснований:
$KK_1 = \frac{AA_1 + CC_1}{2}$

3. Теперь рассмотрим плоскость, в которой лежат параллельные отрезки $BB_1$ и $KK_1$. Эта плоскость образует трапецию $BKK_1B_1$. Точка $M$ лежит на отрезке $BK$, а её проекция $M_1$ лежит на отрезке $B_1K_1$. Отрезок $MM_1$ параллелен основаниям трапеции $BB_1$ и $KK_1$.

4. Используем свойство отрезка, параллельного основаниям трапеции и проходящего через точку, которая делит боковую сторону в заданном отношении. Так как точка $M$ делит сторону $BK$ в отношении $BM:MK=2:1$, то для длины отрезка $MM_1$ справедлива формула:
$MM_1 = \frac{1 \cdot BB_1 + 2 \cdot KK_1}{1+2} = \frac{BB_1 + 2KK_1}{3}$

5. Подставим в эту формулу выражение для $KK_1$ из пункта 2:
$MM_1 = \frac{BB_1 + 2 \cdot \frac{AA_1 + CC_1}{2}}{3} = \frac{BB_1 + AA_1 + CC_1}{3}$
Таким образом, мы доказали, что $MM_1 = \frac{1}{3}(AA_1 + BB_1 + CC_1)$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

Останется ли верным равенство, если какие-то стороны треугольника ABC пересекаются с плоскостью ??

Если какие-то стороны треугольника $ABC$ пересекают плоскость $\alpha$, это означает, что не все вершины треугольника находятся по одну сторону от плоскости.

Введём систему координат. Пусть плоскость $\alpha$ является плоскостью $Oxy$, то есть её уравнение $z=0$. Тогда высоты точек $A, B, C$ над этой плоскостью будут их $z$-координатами $z_A, z_B, z_C$. Длины перпендикуляров $AA_1, BB_1, CC_1$ равны модулям соответствующих координат: $AA_1 = |z_A|$, $BB_1 = |z_B|$, $CC_1 = |z_C|$.

Точка $M$ — центроид треугольника $ABC$, её координаты являются средним арифметическим координат вершин:
$M = \left( \frac{x_A+x_B+x_C}{3}, \frac{y_A+y_B+y_C}{3}, \frac{z_A+z_B+z_C}{3} \right)$

Длина перпендикуляра $MM_1$ равна модулю $z$-координаты точки $M$:
$MM_1 = \left| \frac{z_A+z_B+z_C}{3} \right| = \frac{1}{3}|z_A+z_B+z_C|$

Тогда исходное равенство $MM_1 = \frac{1}{3}(AA_1 + BB_1 + CC_1)$ в координатах примет вид:
$\frac{1}{3}|z_A+z_B+z_C| = \frac{1}{3}(|z_A| + |z_B| + |z_C|)$
$|z_A+z_B+z_C| = |z_A| + |z_B| + |z_C|$

Это равенство (вариант неравенства треугольника для модулей) выполняется тогда и только тогда, когда все числа $z_A, z_B, z_C$ имеют одинаковый знак (или некоторые из них равны нулю). Это означает, что все вершины треугольника $A, B, C$ лежат по одну сторону от плоскости $\alpha$ (или на самой плоскости).

Если же стороны треугольника пересекают плоскость $\alpha$, то некоторые вершины будут находиться по одну сторону (например, $z_A > 0$), а некоторые — по другую (например, $z_C < 0$). В этом случае знаки координат будут разными, и равенство, как правило, нарушается. Например, пусть $z_A = 3, z_B = 6, z_C = -3$.
Тогда левая часть: $|3+6-3| = |6| = 6$.
Правая часть: $|3|+|6|+|-3| = 3+6+3 = 12$.
Поскольку $6 \neq 12$, равенство не выполняется.

Ответ: Нет, в общем случае равенство не останется верным, если стороны треугольника $ABC$ пересекают плоскость $\alpha$.