Номер 609, страница 155 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

609. Докажите, что диагональ АС₁ параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ проходит через точки пересечения медиан треугольников A₁BD и CB₁D₁ и делится этими точками на три равных отрезка (рис. 171).

Решение

Обозначим через M₁ точку пересечения медиан треугольника А₁ВD. Применив формулу (5) к тетраэдру AA₁BD, получим AM₁ = $\frac{1}{3}$(AA₁ + AB + AD). По правилу параллелепипеда AA₁ + AB + AD = AC₁, поэтому AM₁ = $\frac{1}{3}$AC₁. Отсюда следует, что точка M₁ принадлежит диагонали АС₁ и AM₁ = $\frac{1}{3}$ AC₁. 

Точно так же можно доказать, что точка М₂ пересечения медиан треугольника CB₁D₁ принадлежит диагонали AC₁ и C₁M₂ = $\frac{1}{3}$ AC₁. Из равенств AM₁ = $\frac{1}{3}$AC₁ и C₁M₂ = $\frac{1}{3}$AC₁ следует, что точки М₁ и М₂ делят диагональ АС₁ параллелепипеда на три равных отрезка AM₁, M₁M₂ и M₂C₁.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся векторным методом. Введем векторный базис с началом в вершине $A$ параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Обозначим некомпланарные векторы, выходящие из этой вершины вдоль ребер: $\vec{AB} = \vec{a}$, $\vec{AD} = \vec{b}$ и $\vec{AA_1} = \vec{c}$.

В этом базисе вектор, соответствующий главной диагонали $AC_1$, выражается как сумма трех базисных векторов. По правилу параллелепипеда (или последовательно по правилу треугольника $\vec{AC_1} = \vec{AC} + \vec{CC_1} = (\vec{AB} + \vec{AD}) + \vec{AA_1}$), получаем:

$\vec{AC_1} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$

Пусть $M_1$ — точка пересечения медиан (центроид) треугольника $A_1BD$. Радиус-вектор центроида треугольника равен одной трети от суммы радиус-векторов его вершин. Выразим радиус-вектор точки $M_1$ относительно нашего начала отсчета, точки $A$. Вершины треугольника $A_1BD$ имеют радиус-векторы $\vec{AA_1}=\vec{c}$, $\vec{AB}=\vec{a}$, $\vec{AD}=\vec{b}$.

$\vec{AM_1} = \frac{1}{3}(\vec{AA_1} + \vec{AB} + \vec{AD}) = \frac{1}{3}(\vec{c} + \vec{a} + \vec{b}) = \frac{1}{3}(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$

Сравнивая полученное выражение с вектором диагонали $\vec{AC_1}$, мы видим, что $\vec{AM_1} = \frac{1}{3}\vec{AC_1}$. Из этого векторного равенства следует, что векторы $\vec{AM_1}$ и $\vec{AC_1}$ коллинеарны. Так как они отложены от одной и той же точки $A$, то точки $A$, $M_1$ и $C_1$ лежат на одной прямой. Это означает, что точка $M_1$ принадлежит диагонали $AC_1$. Кроме того, из этого же равенства следует, что длина отрезка $AM_1$ составляет одну треть длины диагонали $AC_1$: $AM_1 = \frac{1}{3}AC_1$.

Теперь рассмотрим точку $M_2$ — точку пересечения медиан треугольника $CB_1D_1$. Аналогично найдем ее радиус-вектор $\vec{AM_2}$ относительно вершины $A$. Для этого сначала выразим радиус-векторы вершин $C$, $B_1$ и $D_1$ через базисные векторы:

• $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD} = \vec{a} + \vec{b}$
• $\vec{AB_1} = \vec{AB} + \vec{AA_1} = \vec{a} + \vec{c}$
• $\vec{AD_1} = \vec{AD} + \vec{AA_1} = \vec{b} + \vec{c}$

Теперь можем найти радиус-вектор центроида $M_2$:

$\vec{AM_2} = \frac{1}{3}(\vec{AC} + \vec{AB_1} + \vec{AD_1}) = \frac{1}{3}((\vec{a} + \vec{b}) + (\vec{a} + \vec{c}) + (\vec{b} + \vec{c})) = \frac{1}{3}(2\vec{a} + 2\vec{b} + 2\vec{c}) = \frac{2}{3}(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$

Отсюда получаем, что $\vec{AM_2} = \frac{2}{3}\vec{AC_1}$. Это равенство доказывает, что точка $M_2$ также лежит на прямой $AC_1$. Кроме того, $AM_2 = \frac{2}{3}AC_1$.

Итак, мы доказали, что обе точки $M_1$ и $M_2$ лежат на диагонали $AC_1$. Найдем длины отрезков, на которые эти точки делят диагональ. Поскольку $AM_1 = \frac{1}{3}AC_1$ и $AM_2 = \frac{2}{3}AC_1$, точки на диагонали расположены в следующем порядке: $A, M_1, M_2, C_1$.

1. Длина первого отрезка: $AM_1 = \frac{1}{3}AC_1$.

2. Длина второго отрезка: $M_1M_2 = AM_2 - AM_1 = \frac{2}{3}AC_1 - \frac{1}{3}AC_1 = \frac{1}{3}AC_1$.

3. Длина третьего отрезка: $M_2C_1 = AC_1 - AM_2 = AC_1 - \frac{2}{3}AC_1 = \frac{1}{3}AC_1$.

Таким образом, мы получили, что $AM_1 = M_1M_2 = M_2C_1$. Это означает, что точки $M_1$ и $M_2$ делят диагональ $AC_1$ на три равные части, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.