номер 609 (страница 155) гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов, Кадомцев

609. Докажите, что диагональ АС₁ параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ проходит через точки пересечения медиан треугольников A₁BD и CB₁D₁ и делится этими точками на три равных отрезка (рис. 171).

Решение

Обозначим через M₁ точку пересечения медиан треугольника А₁ВD. Применив формулу (5) к тетраэдру AA₁BD, получим AM₁ = 13(AA₁ + AB + AD). По правилу параллелепипеда AA₁ + AB + AD = AC₁, поэтому AM₁ = 13AC₁. Отсюда следует, что точка M₁ принадлежит диагонали АС₁ и AM₁ = 13 AC₁.

Точно так же можно доказать, что точка М₂ пересечения медиан треугольника CB₁D₁ принадлежит диагонали AC₁ и C₁M₂ = 13 AC₁. Из равенств AM₁ = 13AC₁ и C₁M₂ = 13AC₁ следует, что точки М₁ и М₂ делят диагональ АС₁ параллелепипеда на три равных отрезка AM₁, M₁M₂ и M₂C₁.