Номер 608, страница 155 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

608. В тетраэдре ABCD медианы грани BCD пересекаются в точке О. Докажите, что длина отрезка АО меньше одной трети суммы длин рёбер с общей вершиной А.

Для решения этой задачи воспользуемся векторным методом. Поместим начало координат в вершину A тетраэдра ABCD. Тогда положение вершин B, C и D будет задаваться радиус-векторами $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ и $\vec{AD}$ соответственно.

Точка O является точкой пересечения медиан грани BCD. Такая точка называется центроидом треугольника. По свойству центроида, его радиус-вектор равен среднему арифметическому радиус-векторов вершин треугольника. В нашей системе координат радиус-вектор точки O, то есть вектор $\vec{AO}$, выражается как:

$\vec{AO} = \frac{\vec{AB} + \vec{AC} + \vec{AD}}{3}$

Длина отрезка AO равна модулю (длине) вектора $\vec{AO}$:

$AO = |\vec{AO}| = |\frac{\vec{AB} + \vec{AC} + \vec{AD}}{3}| = \frac{1}{3}|\vec{AB} + \vec{AC} + \vec{AD}|$

Нам нужно доказать неравенство:

$AO < \frac{1}{3}(AB + AC + AD)$

Длины рёбер AB, AC и AD — это модули соответствующих векторов: $AB = |\vec{AB}|$, $AC = |\vec{AC}|$, $AD = |\vec{AD}|$. Подставим выражения для длин в доказываемое неравенство:

$\frac{1}{3}|\vec{AB} + \vec{AC} + \vec{AD}| < \frac{1}{3}(|\vec{AB}| + |\vec{AC}| + |\vec{AD}|)$

Умножим обе части неравенства на 3, чтобы его упростить:

$|\vec{AB} + \vec{AC} + \vec{AD}| < |\vec{AB}| + |\vec{AC}| + |\vec{AD}|$

Это неравенство является обобщенным неравенством треугольника для векторов, которое гласит, что модуль суммы векторов не превосходит суммы их модулей. В общем виде: $|\sum \vec{v_i}| \le \sum |\vec{v_i}|$.

Равенство в этом неравенстве достигается тогда и только тогда, когда все векторы коллинеарны (лежат на одной прямой или параллельных прямых) и сонаправлены.

В нашем случае, если бы векторы $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ и $\vec{AD}$ были коллинеарны, то точки A, B, C и D лежали бы на одной прямой. Однако ABCD — это тетраэдр, вершины которого по определению не лежат в одной плоскости, а значит, и не могут лежать на одной прямой.

Поскольку векторы $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ и $\vec{AD}$ не коллинеарны, для них выполняется строгое неравенство:

$|\vec{AB} + \vec{AC} + \vec{AD}| < |\vec{AB}| + |\vec{AC}| + |\vec{AD}|$

Разделив обе части этого верного неравенства на 3, мы получаем:

$\frac{1}{3}|\vec{AB} + \vec{AC} + \vec{AD}| < \frac{1}{3}(|\vec{AB}| + |\vec{AC}| + |\vec{AD}|)$

Возвращаясь к обозначениям длин отрезков, имеем:

$AO < \frac{1}{3}(AB + AC + AD)$

Таким образом, мы доказали, что длина отрезка AO меньше одной трети суммы длин рёбер с общей вершиной A.

Ответ: Что и требовалось доказать.