Номер 611, страница 156 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

Параграф 3. Компланарные векторы. Глава 6. Векторы в пространстве - номер 611, страница 156.

Условие.

611. Отрезки AB и CD не лежат в одной плоскости, точки М и N — середины этих отрезков. Докажите, что MN ‹ $\frac{1}{2}$(AC + BD).

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся векторным методом. Введем в рассмотрение радиус-векторы точек A, B, C, D, отложенные от произвольного начала координат O. Обозначим их соответственно как $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$.

По условию, точка M является серединой отрезка AB. Радиус-вектор точки M, обозначенный как $\vec{m}$, можно выразить через радиус-векторы ее концов:$\vec{m} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$

Аналогично, точка N является серединой отрезка CD, поэтому ее радиус-вектор $\vec{n}$ равен:$\vec{n} = \frac{\vec{c} + \vec{d}}{2}$

Теперь найдем вектор $\vec{MN}$, который соединяет точки M и N. Он равен разности радиус-векторов его конца и начала:$\vec{MN} = \vec{n} - \vec{m} = \frac{\vec{c} + \vec{d}}{2} - \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2} = \frac{1}{2}(\vec{c} + \vec{d} - \vec{a} - \vec{b})$

Перегруппируем слагаемые в скобках, чтобы выразить вектор $\vec{MN}$ через векторы $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$:$\vec{MN} = \frac{1}{2}((\vec{c} - \vec{a}) + (\vec{d} - \vec{b}))$

Учитывая, что $\vec{AC} = \vec{c} - \vec{a}$ и $\vec{BD} = \vec{d} - \vec{b}$, получаем выражение для вектора $\vec{MN}$:$\vec{MN} = \frac{1}{2}(\vec{AC} + \vec{BD})$

Длина отрезка MN есть модуль вектора $\vec{MN}$:$MN = |\vec{MN}| = \left|\frac{1}{2}(\vec{AC} + \vec{BD})\right| = \frac{1}{2}|\vec{AC} + \vec{BD}|$

Теперь применим неравенство треугольника для векторов, которое гласит, что модуль суммы двух векторов не превосходит сумму их модулей: $|\vec{x} + \vec{y}| \le |\vec{x}| + |\vec{y}|$.Применим это свойство к векторам $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$:$|\vec{AC} + \vec{BD}| \le |\vec{AC}| + |\vec{BD}|$

Отсюда следует неравенство для длины отрезка MN:$MN = \frac{1}{2}|\vec{AC} + \vec{BD}| \le \frac{1}{2}(|\vec{AC}| + |\vec{BD}|) = \frac{1}{2}(AC + BD)$

Равенство в неравенстве треугольника для векторов, $|\vec{x} + \vec{y}| = |\vec{x}| + |\vec{y}|$, достигается тогда и только тогда, когда векторы $\vec{x}$ и $\vec{y}$ коллинеарны и сонаправлены. В нашем случае это означало бы, что векторы $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$ должны быть коллинеарны.

Коллинеарность векторов $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$ означает, что прямые AC и BD параллельны. Если прямые AC и BD параллельны, то четыре точки A, C, B, D лежат в одной плоскости.

Однако по условию задачи отрезки AB и CD не лежат в одной плоскости. Это означает, что точки A, B, C, D не копланарны. Следовательно, прямые AC и BD не могут быть параллельными, а векторы $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$ не являются коллинеарными.

Поскольку векторы $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$ не коллинеарны, неравенство треугольника для них будет строгим:$|\vec{AC} + \vec{BD}| < |\vec{AC}| + |\vec{BD}|$

А значит, и для длины отрезка MN неравенство также будет строгим:$MN < \frac{1}{2}(AC + BD)$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано.