Номер 612, страница 156 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

612. В тетраэдре ABCD точки K и М — середины рёбер AB и CD. Докажите, что середины отрезков KС, KD, МА и MB являются вершинами некоторого параллелограмма.

Для доказательства воспользуемся векторным методом. Введем обозначения:

• P — середина отрезка KC
• Q — середина отрезка KD
• R — середина отрезка MA
• S — середина отрезка MB

Пусть O — произвольная точка в пространстве (начало координат). Тогда положение любой точки X можно задать ее радиус-вектором $\vec{OX}$. Обозначим радиус-векторы вершин тетраэдра как $\vec{OA} = \vec{a}$, $\vec{OB} = \vec{b}$, $\vec{OC} = \vec{c}$ и $\vec{OD} = \vec{d}$.

По условию, K — середина ребра AB, а M — середина ребра CD. Выразим их радиус-векторы:

$\vec{OK} = \frac{\vec{OA} + \vec{OB}}{2} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$

$\vec{OM} = \frac{\vec{OC} + \vec{OD}}{2} = \frac{\vec{c} + \vec{d}}{2}$

Теперь найдем радиус-векторы для точек P, Q, R и S, используя формулу для радиус-вектора середины отрезка:

$\vec{OP} = \frac{\vec{OK} + \vec{OC}}{2} = \frac{1}{2}\left(\frac{\vec{a} + \vec{b}}{2} + \vec{c}\right) = \frac{\vec{a} + \vec{b} + 2\vec{c}}{4}$

$\vec{OQ} = \frac{\vec{OK} + \vec{OD}}{2} = \frac{1}{2}\left(\frac{\vec{a} + \vec{b}}{2} + \vec{d}\right) = \frac{\vec{a} + \vec{b} + 2\vec{d}}{4}$

$\vec{OR} = \frac{\vec{OM} + \vec{OA}}{2} = \frac{1}{2}\left(\frac{\vec{c} + \vec{d}}{2} + \vec{a}\right) = \frac{2\vec{a} + \vec{c} + \vec{d}}{4}$

$\vec{OS} = \frac{\vec{OM} + \vec{OB}}{2} = \frac{1}{2}\left(\frac{\vec{c} + \vec{d}}{2} + \vec{b}\right) = \frac{2\vec{b} + \vec{c} + \vec{d}}{4}$

Чтобы доказать, что точки P, Q, R, S являются вершинами параллелограмма, достаточно показать, что середины его диагоналей совпадают. Рассмотрим четырехугольник PSQR. Его диагоналями являются отрезки PQ и SR.

Найдем радиус-вектор середины диагонали PQ. Обозначим эту точку $O_1$.

$\vec{OO_1} = \frac{\vec{OP} + \vec{OQ}}{2} = \frac{1}{2}\left(\frac{\vec{a} + \vec{b} + 2\vec{c}}{4} + \frac{\vec{a} + \vec{b} + 2\vec{d}}{4}\right) = \frac{1}{8}(2\vec{a} + 2\vec{b} + 2\vec{c} + 2\vec{d}) = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d}}{4}$

Найдем радиус-вектор середины диагонали SR. Обозначим эту точку $O_2$.

$\vec{OO_2} = \frac{\vec{OS} + \vec{OR}}{2} = \frac{1}{2}\left(\frac{2\vec{b} + \vec{c} + \vec{d}}{4} + \frac{2\vec{a} + \vec{c} + \vec{d}}{4}\right) = \frac{1}{8}(2\vec{a} + 2\vec{b} + 2\vec{c} + 2\vec{d}) = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d}}{4}$

Так как радиус-векторы середин диагоналей PQ и SR равны ($\vec{OO_1} = \vec{OO_2}$), эти точки совпадают. Это означает, что диагонали четырехугольника PSQR пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.

Следовательно, четырехугольник PSQR является параллелограммом, а точки P, S, Q, R (середины отрезков KC, MB, KD и MA) — его вершинами. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.