Номер 4, страница 156 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

4. Точки А и С, а также точки В и D симметричны относительно плоскости α. Могут ли векторы AB и CD быть: а) равными; б) неравными?

а)

Да, векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ могут быть равными. Это произойдет в том случае, если прямая, содержащая отрезок $AB$, параллельна плоскости симметрии $\alpha$ (или лежит в ней).

Докажем это. Введем декартову систему координат так, чтобы плоскость $\alpha$ совпадала с координатной плоскостью $Oxy$. Тогда уравнение плоскости $\alpha$ будет $z=0$.

Пусть точка $A$ имеет координаты $(x_A, y_A, z_A)$. Поскольку точка $C$ симметрична точке $A$ относительно плоскости $z=0$, ее координаты будут $(x_A, y_A, -z_A)$.

Аналогично, пусть точка $B$ имеет координаты $(x_B, y_B, z_B)$. Тогда симметричная ей точка $D$ будет иметь координаты $(x_B, y_B, -z_B)$.

Найдем координаты векторов $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$:

$\vec{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A)$

$\vec{CD} = (x_B - x_A, y_B - y_A, -z_B - (-z_A)) = (x_B - x_A, y_B - y_A, z_A - z_B)$

Векторы равны, если равны их соответствующие координаты. Координаты по осям $x$ и $y$ у векторов $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ всегда совпадают. Для равенства векторов необходимо, чтобы совпадали и их координаты по оси $z$:

$z_B - z_A = z_A - z_B$

$2z_B = 2z_A$

$z_A = z_B$

Условие $z_A = z_B$ означает, что точки $A$ и $B$ находятся на одинаковом расстоянии от плоскости $\alpha$ и по одну сторону от нее (или на самой плоскости). Это и есть условие параллельности прямой $AB$ плоскости $\alpha$ (если точки $A$ и $B$ не совпадают). Если же точки лежат на самой плоскости $\alpha$, то $z_A = z_B = 0$, и условие также выполняется.

Ответ: Да, могут.

б)

Да, векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ могут быть неравными. Исходя из решения пункта а), это произойдет в том случае, если прямая $AB$ не параллельна плоскости симметрии $\alpha$.

Используем ту же систему координат, что и в пункте а). Векторы имеют координаты:

$\vec{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A)$

$\vec{CD} = (x_B - x_A, y_B - y_A, z_A - z_B)$

Если прямая $AB$ не параллельна плоскости $\alpha$, то точки $A$ и $B$ находятся на разном расстоянии от плоскости $\alpha$. В нашей системе координат это означает, что $z_A \neq z_B$.

В этом случае третья координата векторов не будет равна:

$z_B - z_A \neq z_A - z_B$ (так как это равенство, как мы показали выше, эквивалентно $z_A = z_B$).

Поскольку у векторов $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ не совпадают третьи координаты, сами векторы не равны.

Например, пусть плоскость $\alpha$ — это $z=0$. Возьмем точки $A(0, 0, 2)$ и $B(1, 1, 1)$. Прямая $AB$ не параллельна плоскости $\alpha$. Тогда симметричные им точки будут $C(0, 0, -2)$ и $D(1, 1, -1)$.

$\vec{AB} = (1-0, 1-0, 1-2) = (1, 1, -1)$

$\vec{CD} = (1-0, 1-0, -1-(-2)) = (1, 1, 1)$

Векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ не равны.

Ответ: Да, могут.