Номер 5, страница 156 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы к главе 6. Глава 6. Векторы в пространстве - номер 5, страница 156.

5. Известно, что векторы a и a + b коллинеарны. Коллинеарны ли векторы a и b?

По определению, два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Математически это означает, что один вектор можно выразить через другой путем умножения на некоторое число (скаляр). Иными словами, векторы $\vec{x}$ и $\vec{y}$ коллинеарны, если существует такое число $k$, что $\vec{y} = k \vec{x}$. Также стоит помнить, что нулевой вектор ($\vec{0}$) по определению коллинеарен любому вектору.

По условию задачи дано, что векторы $\vec{a}$ и $\vec{a} + \vec{b}$ коллинеарны.

Рассмотрим два возможных случая.

1. Вектор $\vec{a}$ не является нулевым вектором ($\vec{a} \neq \vec{0}$).
Из условия коллинеарности векторов $\vec{a}$ и $\vec{a} + \vec{b}$ следует, что существует такое число $k$, что:
$\vec{a} + \vec{b} = k \vec{a}$
Выразим из этого равенства вектор $\vec{b}$:
$\vec{b} = k \vec{a} - \vec{a}$
Вынесем вектор $\vec{a}$ за скобки:
$\vec{b} = (k - 1) \vec{a}$
Обозначим выражение в скобках как $m = k - 1$. Так как $k$ — это число, то $m$ — также число. В результате мы получаем:
$\vec{b} = m \vec{a}$
Это равенство по определению означает, что векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны.

2. Вектор $\vec{a}$ является нулевым вектором ($\vec{a} = \vec{0}$).
В этом случае условие, что $\vec{a}$ и $\vec{a} + \vec{b}$ коллинеарны, превращается в условие, что $\vec{0}$ и $\vec{0} + \vec{b}$ (то есть $\vec{b}$) коллинеарны. По определению, нулевой вектор коллинеарен любому вектору, поэтому это условие выполняется для любого вектора $\vec{b}$.
Теперь ответим на вопрос, коллинеарны ли в этом случае векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Так как $\vec{a} = \vec{0}$, то он коллинеарен любому вектору $\vec{b}$ по определению.

Таким образом, в обоих рассмотренных случаях из того, что векторы $\vec{a}$ и $\vec{a} + \vec{b}$ коллинеарны, следует, что векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ также коллинеарны.

Ответ: да, коллинеарны.